›

Bài giảng Phương pháp định lượng trong quản lý - Chương 4: Bài toán tối ưu và ứng dụng trong quản lý

Khái niệm và phân loại mô hình
 Có nhiều khái niệm khác nhau về mô hình (trên 30 cách giải
thích)
 Sự thống nhất trong giải thích "Thể hiện sự nhận thức của
con người đối với đối tượng nghiên cứu"
 Mô hình là cái thay thế, cái đại diện cho đối tượng nghiên
cứu. Mô hình có những thuộc tính, đặc trưng cơ bản, quan
hệ chủ yếu giống hay tương tự với đối tượng nghiên cứu.
 Khi nghiên cứu mô hình có thể thu được kiến thức mới về
đối tượng.
 Bản chất mô hình là hình ảnh chủ quan của thế giới khách
quan 
 Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức và
nghiên cứu khoa học xuất hiện từ lâu.
 Phương pháp mô hình hóa ứng dụng rộng rãi trong
khoa học và thực tiễn
 Phương pháp nghiên cứu đối tượng thông qua mô hình
gọi là phương pháp mô hình hóa
 Khi tiến hành mô hình hóa các thuộc tính, các đặc trưng
quan trọng, các mối quan hệ chủ yếu của đối tượng
được tái hiện trong mô hình, các yếu tố ít quan trọng
được tạm thời bỏ qua 
pdf 37 trang hoanghoa 08/11/2022 4500
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp định lượng trong quản lý - Chương 4: Bài toán tối ưu và ứng dụng trong quản lý", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_dinh_luong_trong_quan_ly_chuong_4_bai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp định lượng trong quản lý - Chương 4: Bài toán tối ưu và ứng dụng trong quản lý

  1. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Ví dụ: Một hãng dệt có 2 sản phẩm chính là A và B. Hàm chi phí sản xuất của hãng được xác định như sau: 2 2 TC = QA +QB -2QA -4QB +20 Hãy xác định cơ cấu sản xuất tối ưu cho hãng sao cho chi phí của hãng đạt cực tiểu? . Giải: Để chi phí sản xuất của hãng đạt cực tiểu cần thỏa mãn điều kiện: * ∂TC/ ∂QA = 0 2QA – 2 = 0 QA = 1 * ∂TC/ ∂QB = 0 2QB– 4 = 0 QB = 2 2 2 2 2 2 f11 = ∂ TC/∂QA = 2 f12 = ∂ TC/∂QA∂QB = 0 f22 = ∂ TC/∂QB = 2 H1 = 2 >0 H2 = 4 >0 * * Vậy tại (QA = 1; QB = 2) hàm tổng chi phí của hãng đạt cực tiểu TC min = 1+4 - 2*1-4*2+20 = 15
  2. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Bài toán tối ưu có ràng buộc . Bài toán tối ưu có (n) biến và 1 ràng buộc đẳng thức Hàm mục tiêu: f(x1, x2, xn) → max (min) Ràng buộc: g(x1, x2, xn) = r . Phương pháp nhân tử Lagrăng L(x1, x2, xn , λ) = f(x1, x2, xn) + λ [r – g(x1, x2, xn)] → max(min) λ: Nhân tử Lagrăng . Điều kiện cần: L f g  0 x1 x1 x1 L f g  0 x2 x2 x2 L f g  0 xn xn xn L r g(x , x x ) 0  1 2 n
  3. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học * * * * . Giải hệ phương trình trên tìm nghiệm (x1 , x2 , xn , λ ) * * * . f (x1 , x2 , xn ) có thể đạt (max) hoặc (min) . Điều kiện đủ: 0 g g  g 1 2 1 0 g g g 0 g g 1 2 3 g1 L11 L12  L1n 1 2 g L L L H H g L L H 1 11 12 12 H H g2 L21 L22  L2n 2 1 11 12 3 g L L L n 2 21 22 23      g2 L21 L22 g3 L31 L32 L33 gn Ln1 Ln2  Lnn 2 Với fi =∂f/∂xi gi = ∂f/∂xi Li = ∂L/∂xi Lij = ∂ L/∂xi∂xj n * * * H 0 ; H 0  H ( 1) Cực đại . Tại (x1 , x2 , xn ) có 2 3 n H2 0 ; H3 0  Hn 0 Cực tiểu . Trường hợp có 2 biến có thể sử dụng phương pháp thế hoặc đồ thị
  4. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Ví dụ: Hàm sản xuất của một hãng được biểu diễn qua vốn (K) và lao động (L): Q = K0.75L0.25 Giá sử dụng vốn là 10 (đvgt/K) và sử dụng lao động là 5(đvgt/L). Chi phí sử dụng vốn và lao động chỉ được hạn định là 50(đvgt). Hãy xác định cơ cấu phối hợp tối ưu các đầu vào sao cho sản lượng sản xuất đạt cực đại? . Giải: Hàm mục tiêu: Q = K0.75L0.25 max Ràng buộc: C = 10*K+5*L = 50 Hàm Lagrăng: L = K0.75L0.25 + λ[ 50 - (10*K +5*L)] max
  5. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Điều kiện cần đạt cực trị: L Q 0.75K 0.75 1L0.25 10 0 0.75 10 K K L 0.75 0.25 1 Q * * 0.25K L 5 0 0.25 5 L 2.5 K 3.75 L L L 50 10K 5L 0 10K 5L 50  . g1 = 10; g2 = 5; L11 = -0.04518; L12 = L21 = -0.04518; L22 = -0.04518 0 10 5 H2 10 0.04518 0.06777 18.07204 0 5 0.06777 0.10166 . Tại điểm tối ưu hàm mục tiêu đạt cực đại *0.75 *0.25 Qmax = K L = 3.388508
  6. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Ví dụ trên có thể giải bằng phương pháp thế Hàm mục tiêu: Q = K0.75L0.25 → max Ràng buộc: C = 10*K+5*L = 50 10*K+5*L = 50 → L = 10-2K Thay vào hàm mục tiêu Q = K0.75(10-2K)0.25 → max Trở về bài toán tìm cực trị có 1 biến và không có ràng buộc Lấy đạo hàm theo (K) và cho bằng 0, tìm (K*) Tìm đạo hàm bậc 2 kiểm tra điều kiện đủ 0? lnQ = 0.75 lnK +0.25 ln(10-2K) d(lnQ)/dK = 0.75d(lnK)/dK+0.25d(ln(10-2K))/dK = 0.75/K +0.25*[(-2)/(10-2K)]=0 K* = 3.75 ; L* = 2.5 d2(lnQ)/dK2= -0.75/K2 +0.25*(-2)*(2)/(10-2K)2 =-0.75/K2 -1/(10-2K)2 < 0 Hàm mục tiêu đạt cực đại tại điểm tối ưu K*và L* ; Q* = 3.388508
  7. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Bài toán tối ưu có (n) biến và (m) ràng buộc đẳng thức Hàm mục tiêu: f(x1, x2, xn) → max (min) 1 Ràng buộc: g (x1, x2, xn) = r1 2 g (x1, x2, xn) = r2 m g (x1, x2, xn) = rm i . Hàm Lagrăng: L = f + ∑λi[ri- g (x1, x2, xn)] → max (min) L f m g i i 0 x1 x1 1 x1 L f m g i i 0 x2 x2 1 x 2  L f m g i i 0 xn xn 1 x n L 1 r1 g (x1, x2 , ,xn ) 0 1  L m rm g (x1, x2 , ,xn ) 0 m
  8. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Bài toán tối ưu có (n) biến và (m) ràng buộc bất đẳng thức Hàm mục tiêu: f(x1, x2, xn) → max 1 Ràng buộc: g (x1, x2, xn) ≤ r1 2 g (x1, x2, xn) ≤ r2 m g (x1, x2, xn) ≤ rm x1, x2, xn ≥ 0 i . Hàm Lagrăng: L = f +∑ λi[ri- g (x1, x2, xn)] → max L(x,) 0 x i L(x,) xi 0 xi x 0; 0 L(x,) i j 0  j L(x,) 0  j
  9. 4.3. Mô hình bài toán tối ưu Bổ trợ toán học . Bài toán tối ưu có (n) biến và (m) ràng buộc bất đẳng thức Hàm mục tiêu: f(x1, x2, xn) → min 1 Ràng buộc: g (x1, x2, xn) ≥ r1 2 g (x1, x2, xn) ≥ r2 m g (x1, x2, xn) ≥ rm x1, x2, xn ≥ 0 i . Hàm Lagrăng: L = f +∑ λi[ri- g (x1, x2, xn)] → min L(x,) 0 x i L(x,) xi 0 xi x 0; 0 L(x,) i j 0  j L(x,) 0  j
  10. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Bổ trợ toán học . Quy hoạch tuyến tính là bài toán tối ưu được ứng dụng rộng rãi n . Bài toán quy hoạch tuyến tính: c j x j max j 1 n aij x j bi j 1 x j 0 . Bài toán dạng chuẩn ∑aijxj ≤ bi . Bài toán dạng chính tắc ∑aijxj = bi . Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính nào cũng có thể chuyển về dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các biến đổi thích hợp . Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình, phương pháp Lagrăng, đồ thị (2 biến), sử dụng phần mềm Excel/Tool/Solver
  11. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Ví dụ: Một công ty muốn sản xuất 2 loại sản phẩm A và B bằng 3 loại nguyên liệu I, II và III. Suất tiêu hao nguyên liệu để sản xuất 2 sản phẩm được cho ở Bảng: Nguyên liệu Sản phẩm A B I 2 1 II 1 2 III 0 1 . Dự trữ nguyên liệu I, II và III tương ứng là 8, 7 và 3 . Tiền lãi từ 1 đơn vị sản phẩm A là 4(đvgt), B: 5(đvgt) . Hãy xác định sản lượng sản xuất sản phẩm A và B để công ty đạt được lợi nhuận cực đại và không bị thiếu hụt nguyên vật liệu dự trữ các loại. . Với mức lợi nhuận yêu cầu tối thiểu là 20 (đvgt) Công ty có thể đạt được tại điểm phối hợp sản xuất tối ưu không?
  12. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Giải: . Xây dựng bài toán: . Gọi X1 và X2 là sản lượng sản xuất sản phẩm A và B của công ty . Hàm mục tiêu (Cực đại hóa Lợi nhuận): f(X1,X2) = 4X1+5X2 max . Ràng buộc (Ràng buộc về dự trữ các loại nguyên vật liệu: 2X1 + X2 ≤ 8 (Ràng buộc nguyên vật liệu I) X1 + 2X2 ≤ 7 (Ràng buộc nguyên vật liệu II) X2 ≤ 3 (Ràng buộc nguyên vật liệu III) X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 . Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị: . Xác định miền khả thi thỏa mãn các điều kiện ràng buộc . Cho đường biểu diễn hàm mục tiêu dịch chuyển dần đến điểm tối ưu . Các điểm tối ưu thuộc 1 hoặc 1số các đỉnh của miền ràng buộc
  13. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý (3,2) 9/5 Miền khả thi 9/4 4X*1+5X*2 = 22 4X1+5X2 = 9
  14. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Phân tích độ nhạy . Nghiên cứu sự thay đổi của mức độ đóng góp của mỗi biến vào hàm mục tiêu (Các hệ số của các biến số trong hàm mục tiêu) - Các hệ số này thay đổi trong phạm vi nào thì điểm tối ưu không thay đổi? .Nghiên cứu sự thay đổi của hệ số trong các ràng buộc (Các hệ số vế trái của ràng buộc) - Các hệ số này thay đổi (Miền khả thi thay đổi) thì phương án tối ưu sẽ thay đổi như thế nào? .Nghiên cứu sự thay đổi các hằng số của ràng buộc (Các hằng số vế phải ràng buộc) - thường trong kinh tế là sự thay đổi các ràng buộc nguồn lực sẵn có sẽ làm thay đổi hàm mục tiêu như thế nào? Tăng hoặc giảm 1 đơn vị nguồn lực sẵn có sẽ làm hàm mục tiêu thay đổi như thế nào?
  15. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Nếu giữ nguyên hệ số X2 thì X1 biến đổi từ (2.5-10) không làm thay đổi kết quả tối ưu là (3,2); X1 không đổi X2 (2-8) (3,2) Miền khả thi 4X*1+5X*2 = 22
  16. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Giá mờ của nguyên vật liệu I là 1(đvgt) (11/3; 5/3) 4X*1 + 5X*2 = 23
  17. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý . Việc dịch chuyển song song hàm mục tiêu đến các đỉnh có thể thay bằng việc tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền giới hạn (Miền khả thi) và chọn giá trị lớn nhất (max) hoặc nhỏ nhất (min). . Các đỉnh cần tính (0,0); (0,3); (1,3); (3,2); (4,0) . Tính giá trị hàm mục tiêu tương ứng, chọn giá trị lớn nhất (0); (15); (19); (22); (16) . Vậy giá trị cực đại nằm ở đỉnh có tọa độ (3,2)
  18. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Sử dụng phần mềm Excel giải bài toán QHTT . Để giải bài toán quy hoạch tuyến tính có thể sử dụng Excel/Tool/Solver . Cài Add-in Solver . Đặt bài toán trên Excel . f(X1,X2) = 4X1+5X2 max . Ràng buộc (Ràng buộc về dự trữ các loại nguyên vật liệu: 2X1 + X2 ≤ 8 (Ràng buộc nguyên vật liệu I) X1 + 2X2 ≤ 7 (Ràng buộc nguyên vật liệu II) X2 ≤ 3 (Ràng buộc nguyên vật liệu III) X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 . Dùng Excel/Tool/Solver để giải tìm phương án tối ưu và phân tích độ nhạy
  19. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Sử dụng phần mềm Excel giải bài toán QHTT
  20. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Sử dụng phần mềm Excel giải bài toán QHTT
  21. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Sử dụng phần mềm Excel giải bài toán QHTT
  22. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Sử dụng phần mềm Excel giải bài toán QHTT
  23. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý
  24. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý
  25. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý
  26. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý
  27. 4.4. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính Ứng dụng trong quản lý