Bài giảng Phương pháp định lượng trong quản lý - Chương 2: Phân phối xác suất và thống kê toán

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp định lượng trong quản lý - Chương 2: Phân phối xác suất và thống kê toán

1. 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất . Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là xác suất để biến X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là số thực bất kỳ. . Hàm phân phối xác suất áp dụng được đối với cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. F(x) = P(X 4 biến cố (X<x) sẽ xảy ra khi x =1 hoặc x = 3 hoặc x = 4, do đó F(x) = 0.1+0.5+0.4 = 1
2. 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất . F(x) = 0 với x ≤1 0.1 với 1 4 . Tính chất của Hàm phân phối xác suất . 0 ≤ F(x) ≤ 1 . x2 > x1 thì F(x2) > F(x1) . F(-∞) = 0 F(∞) = 1 . Hệ quả của Hàm phân phối xác suất: . P(a ≤ x ≤ b) = F(b) - F(a) . Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục P(X= x) = 0 P(a≤X≤b) = P(a≤ X< b) = P(a<X≤ b) = P(a<X<b)
3. 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất . Hàm phân phối xác suất không thể đặc trưng cho xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị xác định và khó xác định. . Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là f(x), được xác định theo biểu thức: f(x) = F'(x) . Hàm mật độ xác suất chỉ áp dụng với biến ngẫu nhiên liên tục. x F(x) f (x)dx b P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) f(x)dx a . Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên (X) tại mỗi điểm (x) cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó.
4. 2.2. Quy luật phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất P(a≤X≤b) = P(a<X<b) = f(x) P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = b F(b)-F(a) = f (x)dx a a b x
5. 2.3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên được chia thành 3 loại: . Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm . Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên . Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất . Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm . Kỳ vọng toán, Trung vị, Mốt . Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên . Phương sai, Độ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên . Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất . Hệ số bất đối xứng . Hệ số nhọn
6. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Định nghĩa: Cho X là 1 biến ngẫu nhiên, giá trị trung bình hay kỳ vọng toán học (gọi tắt là kỳ vọng) của X được ký hiệu là E(X) và được tính theo công thức: n E(X ) xf (x)dx Biến liên tục E(X )   xi pi Biến rời rạc i 1 . Chú ý: Nếu mẫu ngẫu nhiên cho dưới dạng tần suất X X1 X2 X5 Xk ni n1 n2 n3 nk thì trung bình mẫu được tính: n ni X i n1X1 n2 X 2 n3 X 3 nk X k i 1 X n n1 n2 n3 nk ni i 1
7. 2.3.1. Tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Các tính chất của kỳ vọng toán: 1. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(W + X + Y + Z) = E(W) + E(X) + E(Y) + E(Z) 2. E(bX) = bE(X) b: const 3. E(b) = b 4. E(X.Y) = E(X)*E(Y) X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập . (Hai biến ngẫu nhiên độc lập với nhau nếu quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên này không phụ thuộc gì vào việc biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị bao nhiêu).
8. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Ví dụ 1: Cho mẫu quan sát (Xi) với i = 1, 2, , 10 của biến ngẫu nhiên X X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ni 3 7 5 6 5 8 4 2 6 4 n ni X i i 1 n1 X 1 n2 X 2 n3 X 3 nk X k E(X ) n n1 n2 n3 nk ni i 1 1*3 2 * 7 3*5 4 * 6 5*5 6 *8 7 * 4 8* 2 9 * 6 10 * 4 E(X ) 5.34 3 7 5 6 5 8 4 2 6 4
9. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Ví dụ 2: Một người mua 10nghìn đồng xổ số lôtô 2 số. Anh ta sẽ ta sẽ thắng gấp 70 lần tiền mua nếu trùng với 2 số cuối của giải độc đắc gần nhất sắp tới. Anh ta sẽ không được đồng nào nếu không trùng. Hãy tìm số tiền thắng trung bình của một lần chơi như vậy? Biết thêm rằng xác suất thắng và thua là 1% và 99%. Xác suất trúng tối thiểu là bao nhiêu thì anh ta có cơ hội hòa sau mỗi lần chơi? . Giải: Kỳ vọng số tiền thắng trung bình: E(X) = 0đ*99%+700000đ*1% = 7000đ Số tiền mất trung bình của một lần chơi: 10000đ – 7000đ = 3000đ E(X) = 0đ*q% + 700000đ*(1-q%) = 10000đ q% = 1 – 1/70 = 0.9857 (98.57%) p% = 1 – 0.9857 = 0.0143 (1.43%)
10. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Ví dụ 3: Một dự án được Viện thiết kế C soạn thảo cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất để A và B chấp nhận dự án khi xét duyệt là 0.7 và 0.8. Nếu chấp nhận dự án thì A phải trả cho C 4 triệu USD còn ngược lại thì phải trả 1 triệu USD. Với B nếu chấp nhận dự án phải trả cho C là 10 triệu USD, ngược lại phải trả 3 triệu USD. Chi phí cho thiết kế là 10 triệu USD và thuế 10% trên doanh thu. Hỏi C có nên nhận thiết kế hay không? . Giải: Để quyết định xem có nên nhận thiết kế hay không, thì C phải tính số lãi kỳ vọng mà C có thể nhận được từ A và B. . Gọi X là số lãi mà C có thể nhận được sau khi trừ mọi chi phí và P là xác suất các trường hợp có thể có của X (phụ thuộc quyết định của A và B). P. án AkBk ABk AkB AB X -6.4 -3.7 -0.1 2.6 P 0.06 0.14 0.24 0.56 . E(X) = 0.53 > 0 C vẫn có thể chấp nhận thiết kế
11. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Ví dụ 4: Một cửa hàng sách dự định nhập vào một số cuốn niên giám thống kê. Nhu cầu hàng năm về loại sách này cho trong Bảng phân phối xác suất Nhu cầu j (cuốn) 20 21 22 23 24 25 Xác suất Pj 0.30 0.25 0.18 0.14 0.10 0.03 Cửa hàng này mua vào với giá 7$/cuốn và bán ra với giá 10$/cuốn, song đến cuối năm thì phải bán hạ giá còn 4$/cuốn trước khi niên giám thống kê năm tới được xuất bản. Cửa hàng muốn xác định số lượng nhập vào sao cho lợi nhuận kỳ vọng là lớn nhất? . Giải: Gọi (i) là số lượng sách cần nhập và (j) là nhu cầu. Lợi nhuận (Pij) sẽ phụ thuộc vào số lượng sách nhập và nhu cầu thực tế về loại sách đó. Có thể xây dựng Bảng liệt kê các kết quả khác có thể có từ những chiến lược nhập hàng khác nhau. Bảng lợi nhuận có điều kiện
12. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Lợi nhuận có điều kiện được xác định bằng biểu thức: . Pij = 10.j – 7.i +4(i-j) Với j ≤ i = 10.i – 7.i = 3.i Với j > i Nhu Pj 0.3 0.25 0.18 0.14 0.10 0.03 cầu i 20 21 22 23 24 25 Lượng 20 60 60 60 60 60 60 21 57 63 63 63 63 63 Hàng Nhập Hàng 22 54 60 66 66 66 66 23 51 57 63 69 69 69 24 48 54 60 66 72 72 25 45 51 57 63 69 75
13. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên . Chiến lược của cửa hàng phải chọn số lượng sách cần nhập (i) để cực đại lợi nhuận kỳ vọng. Với mỗi lượng nhập (i) lợi nhuận kỳ vọng (PE) được tính: PE = ∑ Pj*Pij j . Giá trị lợi nhuận kỳ vọng tùy thuộc vào số lượng nhập Số lượng nhập (i) 20 21 22 23 24 25 LN kỳ vọng PE(i) 60.00 61.20 60.90 59.52 57.30 54.48 . Vậy chiến lược mang lại lợi nhuận kỳ vọng tối đa là nhập 21 cuốn sách
14. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm MỐT (Mode) Mo . Khái niệm: Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với . Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc . Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục . Có thể gặp biến ngẫu nhiên không có Mốt hoặc nhiều giá trị Mốt . Đối với dãy số lượng biến, Mốt là lượng biến có tần số lớn nhất . Cách xác định Mốt: . Không có khoảng cách tổ: Mốt là lượng biến có tần số lớn nhất . Có khoảng cách tổ: • Khoảng cách tổ đều: – Xác định tổ chứa Mốt: Tổ có tần số lớn nhất – Xác định giá trị gần đúng của Mốt theo công thức f f M x h M0 M0 1 0 M0 min M0 ( f f ) ( f f ) M0 M0 1 M0 M0 1
15. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm MỐT (Mode) Mo • Khoảng cách tổ không đều: – Xác định tổ chứa Mốt: Tổ có mật độ phân phối lớn nhất (Tỷ số giữa tần số và khoảng cách tổ) – Xác định giá trị gần đúng của Mốt theo công thức d d f M x h M0 M0 1 ; d i 0 M0 min M0 (d d ) (d d ) i h M0 M0 1 M0 M0 1 i . Ví dụ: Có tài liệu về doanh số bán của 50 trạm xăng dầu thuộc 1 Tỉnh trong tháng 12 như sau. Xác định Mốt về doanh số bán của 50 cửa hàng trên? Doanh số (triệu đồng) Số trạm 200-300 8 300-400 10 400-500 20 Tổ chứa Mốt 500-600 7 600-700 5 Tổng 50
16. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm MỐT (Mode) Mo f f 20 10 M x h M0 M0 1 400 100 443.48trđ 0 M0 min M0 ( f f ) ( f f ) (20 10) (20 7) M0 M0 1 M0 M0 1 . Như vậy đa số các trạm xăng dầu được khảo sát trên có mức doanh số trong tháng 12 khoảng 443.48 triệu đồng Ví dụ: Có tài liệu về doanh thu của 79 cửa hàng trong tháng 12 như sau. Hãy xác định Mốt của doanh thu các cửa hàng. Doanh thu (triệu đồng) Cửa hàng Khoảng cách tổ Mật độ phân phối 200-400 8 200 0.04 400-500 12 100 0.12 500-600 25 100 0.25 600-800 25 200 0.125 800-1000 9 200 0.045 Tổng 79 * Mật độ phân phối di = fi/hi
17. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm MỐT (Mode) Mo d d f M x h M0 M0 1 ; d i 0 M0 min M0 (d d ) (d d ) i h M0 M0 1 M0 M0 1 i 0.25 0.12 M 500 100 550.9trđ 0 (0.25 0.12) (0.25 0.125) . Như vậy đa số các cửa hàng có mức doanh thu trong tháng 12 khoảng 550.9 triệu đồng. . Mốt có ưu điểm không chịu ảnh hưởng của các lượng biến đột biến . Mốt kém nhạy bén với sự biến thiên của tiêu thức . Mốt cho biết đa số, khuynh hướng, phong trào. . Mốt ứng dụng nhiều nhất trong nghiên cứu nhu cầu của thị trường về kích cỡ loại sản phẩm nào đó (quần áo, giày dép ) . Mốt ứng dụng ít hơn số trung bình và số trung vị
18. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Số trung vị (Median) Me . Số trung vị (Median): Số trung vị (Me) là giá trị nằm chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. Đó là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên thành 2 phần bằng nhau. F(Xi) ≤ 0.5 ≤ F(Xi+1) X biến ngẫu nhiên rời rạc Me X biến ngẫu nhiên liên tục f (x)dx 0.5 . Xác định Số trung vị khi biến ngẫu nhiên rời rạc cho ở dạng Bảng tần suất • Không có khoảng cách tổ: Giá trị của lượng biến ở vị trí (n+1)/2 - Nếu (n) lẻ thì số trung vị là lượng biến đứng vị trí chính giữa - Nếu (n) chẵn thì số trung vị là trung bình hai lượng biến của hai đơn vị đứng giữa • Có khoảng cách tổ: - Xác định tổ chứa trung vị (Tổ đầu tiên có tần số tích lũy tiến lớn hơn hoặc bằng (∑fi+1)/2 - Xác định trị số gần đúng của trung vị theo công thức n f / 2 S  i M e 1 M x h i 1 e M e min M e f M e
19. 2.3.1 Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm Số trung vị (Median) Me . Ví dụ: Doanh thu (triệu đồng) Cửa hàng Tần số tích lũy 200-400 8 8 400-500 12 20 500-600 25 45 600-800 25 70 800-1000 9 79 Tổ chứa Trung vị là tổ thứ 3 vì Tần số tích lũy > (79+1)/2 n f / 2 S  i Me 1 79 / 2 20 M x h i 1 500 100 578 e Me min Me f 25 M e . Như vậy là một nửa số cửa hàng có doanh thu dưới 578 triệu đồng và một nửa số cửa hàng có doanh thu trên 578 triệu đồng. . Số trung vị biểu hiện mức độ đại biểu của hiện tượng nhưng không san bằng bù trừ chênh lệch gữa các lượng biến. Số trung vị có thể dùng thay thế số trung bình cộng.
20. 2.3.2 Các tham số đặc trưng cho độ phân tán Phương sai . Định nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu V(X) được định nghĩa như sau: V(X) = E[X-E(X)]2 n n n V (X ) [x E(X )]2 p x2 p ( x p )2  i i  i i  i i Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc i 1 i 1 i 1 V (X ) [x E(X )] f (x)dx Nếu biến ngẫu nhiên liên tục V(X) = σ2 = E(X2) – [E(X)]2 Công thức hay được dùng . Ý nghĩa: Phương sai đo độ phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng (giá trị trung bình) của nó. . Ứng dụng thực tế: . Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của các kích thước chi tiết gia công, hay sai số của thiết bị . Trong quản trị và kinh doanh phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định đầu tư.
21. 2.3.2 Các tham số đặc trưng cho độ phân tán Phương sai . Các tính chất của phương sai: 1. V(C) = 0 C: const 2. V(CX) = C2V(X) 3. V(C+X) = V(X) 4. V(X±Y) = V(X)+V(Y) X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập 5. V(X.Y) = [E(Y)]2V(X)+[E(X)]2V(Y)+V(X)V(Y) X, Y là 2 biến NN độc lập 6. V∑Xi = ∑V(Xi) Xi là các biến NN độc lập 7. V(X±Y) = V(X) + V(Y)±2Cov(X,Y) X, Y là 2 biến NN phụ thuộc 8. V(aX±bY) = a2V(X)+b2V(Y) ± 2abCov(X,Y) X,Y là 2 biến NN phụ thuộc
22. 2.3.2 Các tham số đặc trưng cho độ phân tán Phương sai . Ví dụ: Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào 2 dự án A và B trong 2 lĩnh vực độc lập với nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm (tính bằng %) của 2 dự án là các biến ngẫu nhiên có Bảng phân phối xác suất như sau. Chọn phương án có tỷ lệ thu hồi vốn đầu tư kỳ vọng cao hơn? Phương án ít rủi ro hơn? XA 65 67 68 69 70 71 73 PA 0.04 0.12 0.16 0.28 0.24 0.08 0.08 XB 66 68 69 70 71 PB 0.12 0.28 0.32 0.20 0.08 2 . E(XA) = ∑XA*PA = 69.16% V(XA) = E[(XA) -E(XA)] =3.0944 2 . E(XB) = ∑XB*PB = 68.72% V(XB) = E[(XB)-E(XB)] =1.8016
23. 2.3.2 Các tham số đặc trưng cho độ phân tán Độ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên . Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σX được định nghĩa như sau:  X V(X ) . Khi đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của biến ngẫu nhiên thường tính độ lệch chuẩn chứ không dùng phương sai (Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên). . Hệ số biến thiên: Hệ số biến thiên, ký hiệu CV, được xác định theo công thức: CV=│σX/E(X)│(%) . Đo lường mức độ quan trọng tương đối của độ phân tán . So sánh độ phân tán giữa các hiện tượng có đơn vị tính khác nhau hoặc giữa các hiện tượng cùng loại và có số trung bình bằng nhau
24. 2.3.3 Các tham số đặc trưng cho dạng phân phối xác suất Hệ số bất đối xứng, Hệ số nhọn . Định nghĩa: Hệ số bất đối xứng, ký hiệu α3, được xác định bằng công 3 thức: α3 = μ3 / σ 3 3 3 μ3 = E[X-E(X) ] và σ = (σX) . Nếu α3 0, phân phối bất đối xứng, đồ thị xuôi về bên phải nhiều hơn . Định nghĩa: Hệ số nhọn, ký hiệu α4, được xác định bằng công thức: 4 α4 = μ4 / σ 4 4 4 μ4 = E[X-E(X) ] và σ = (σX) . Khi phân phối xác suất được tập trung ở mức bình thường α4 =3, nếu tập trung mức cao α4 >3 còn phân phối tập trung mức thấp α4 <3
25. 2.4 Các tham số đặc trưng cho hệ hai biến ngẫu nhiên Hiệp phương sai . Đối với hệ hai biến ngẫu nhiên, ngoài các tham số đặc trưng là kỳ vọng và phương sai các thành phần còn hai tham số quan trọng là Hiệp phương sai và Hệ số tương quan. . Hiệp phương sai: Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X,Y), được xác định theo công thức: Cov(X,Y) = E{[X-E(X) ].[Y-E(Y)]} Cov(X,Y) = σXY = E(XY) - μX. μY Với E(X) = μX E(Y) = μY . Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc: n m Cov(X ,Y )  xi y j P(xi , y j ) E(X )E(Y ) i 1 j 1 . Đối với biến ngẫu nhiên liên tục: Cov(X ,Y ) xyf (x, y)dxdy E(X )E(Y )
26. 2.4 Các tham số đặc trưng cho hệ hai biến ngẫu nhiên Hiệp phương sai . Một số tính chất của Hiệp phương sai: . Nếu Y = V + W, Cov(X, Y) = Cov(X, V) + Cov(X, W) . Nếu Y = b, b là hằng số, Cov(X, Y) = Cov(X, b) = 0 . Nếu Y = bZ, b là hằng số Cov(X, Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z) . Hiệp phương sai và hệ số tương quan được dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ của mối liên hệ phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên X và Y. . Hiệp phương sai có đơn vị đo lường bằng tích đơn vị đo lường của biến X và Y. . Hiệp phương sai có giá trị khác nhau tùy thuộc vào đơn vị đo lường của các biến X và Y.
27. 2.4 Các tham số đặc trưng cho hệ hai biến ngẫu nhiên Hệ số tương quan . Hệ số tương quan: Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu ρxy, được xác định bằng công thức: ρxy = Cov(X,Y)/σxσy . Hệ số tương quan không có đơn vị đo; -1 < ρ <1 . Hệ số tương quan đo lường mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến. . X và Y gọi là tương quan nếu Cov(X,Y) ≠ 0 hoặc ρxy ≠ 0 . X và Y gọi là không có tương quan nếu Cov(X,Y) = 0 hoặc ρxy = 0 . Nếu X, Y độc lập thì ρxy = 0 (ngược lại chưa chắc đúng) . Hệ số tương quan có tính đối xứng ρxy = ρyx . Nếu ρxy = ±1: X và Y phụ thuộc hàm số với nhau . Nếu ρxy = -1 : Mối quan hệ là nghịch biến hoàn hảo . Nếu ρxy = 1 : Mối quan hệ là đồng biến hoàn hảo.
28. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng . Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) . Phân phối chuẩn (Normal Distribution) . Phân phối chuẩn hoá (z-Distribution) . Phân phối T (t-Distribution) . Phân phối F (F-Distribution) . Phân phối chi bình phương (Chi-Square Distribution)
29. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.1 Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) . Biến ngẫu nhiên liên tục X có quy luật phân phối đều trong khoảng (a,b) nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng f(x) = 1/(b-a) a ≤ x ≤ b 0 x b . Phân phối đều liên tục là phân phối có xác suất xảy ra như nhau cho mọi kết cục của biến ngẫu nhiên liên tục. . Phân phối đều liên tục còn gọi là phân phối hình chữ nhật. . Giá trị kỳ vọng E(X) = (a+b)/2 . Phương sai V(X) = (b-a)2/12
30. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.1 Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) f(x) c=1/(b-a) b f (x)dx cdx 1 a a b X
31. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.1 Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) Ví dụ: X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất đều liên tục trong khoảng 2 ≤ x ≤ 6, hãy xác định các tham số đặc trưng cho phân phối E(X) và V(X) 1 1 f (x) 0.25 2 x 6 b a 6 2 a b 2 6 E(X ) 4.00 f(x) 2 2 (b a)2 (6 2)2 V (X ) 1.33 12 12 c=1/(b-a)=0.25 a=2 b=6 X
32. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.1 Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) . Ví dụ: Lượng xăng bán hàng ngày ở một cửa hàng tối thiểu là 2000 lít và tối đa là 5000 lít, Tìm xác suất bán trong ngày nằm trong khoảng 2500 lít đến 3000 lít. Giả thiết rằng lượng xăng bán trong ngày tuân theo quy luật phân phối đều liên tục. f(x) P(2500 ≤ X ≤ 3000) c=1/(b-a)= 1/(5000-2000) 2000 2500 3000 5000 X . P(2500≤ X ≤ 3000) = (3000-2500)*1/3000 = 0.1667 . Xác suất lượng bán trong ngày từ 2500-3000lít là 16.67%
33. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.1 Phân phối đều liên tục (Uniform Distribution) . Ví dụ: Khi thâm nhập vào thị trường mới, một Doanh nghiệp dự kiến doanh số tối thiểu sẽ là 200triệu đồng/tháng và tối đa là 400triệu đồng/tháng. Tìm xác suất để DN đạt được doanh số tối thiểu là 350 triệu đồng/tháng. Giả thiết rằng doanh số của DN đạt hàng tháng là biến ngẫu nhiên có phân phối đều liên tục trong khoảng [200,400] triệu đồng. . Giải: Doanh số hàng tháng có hàm mật độ xác suất f(x) P( 350≤X≤400) f(x) = 1/(400-200) = 0.005 200≤x≤400 0.005 0 x 400 P(350 ≤X ≤ 400) = 0.005*(400-350)= 0.25 200 350 400 X
34. 2.5 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 2.5.2 Phân phối chuẩn (Normal Distribution) . Biến ngẫu nhiên liên tục X trong khoảng (-∞, +∞), ký hiệu X~N(μ,σ2) gọi là phân phối chuẩn với các tham số μ và σ2, nếu hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất có dạng: Trong đó: ( x  )2 . e = 2.71828 1 2 2 f (x) e . π = 3.14159  2 . μ = Giá trị kỳ vọng = E(X) x ( x  )2 . σ = Độ lệch chuẩn 1 2 F(x) e 2 dx . x = Giá trị bất kỳ của biến  2 - ∞< x < +∞ . Phân phối chuẩn có dạng giống nhau chỉ khác nhau tham số μ và σ Khi tham số μ và σ thay đổi thì vị trí và hình dáng của đồ thị hàm mật độ phân phối xác suất sẽ thay đổi.