Hướng dẫn giải bài tập Xác suất, thống kê - Đại học Quốc gia Hà Nội

Nội dung text: Hướng dẫn giải bài tập Xác suất, thống kê - Đại học Quốc gia Hà Nội

1. Cập nhật_07/12/2015 (1,3); (3,1); (2, 4); (4, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 6); (6, 4) 8 2 Xác suất để số nốt hơn kém nhau 2 là: 36 9 Bài 2/37: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ. Ngƣời quản lý chọn ngẫu nhiên 6 ngƣời. Tìm xác suất để trong đó: a) Cả 6 ngƣời đều là nam; b) Có 4 nam và 2 nữ; c) Có ít nhất hai nữ. a) Xác suất cả 6 người đều là nam1: 6 Tổng số kết quả có thể xảy ra: C10 210 6 0 Số kết quả thuận lợi: C6.C4 1 1 Xác suất để 6 người đều là nam: 210 b) Xác suất có 4 nam và 2 nữ: C4. C2 90 3 6 4 210 210 7 c) Xác suất có ít nhất 2 nữ: C0 . C6 C1 . C5 25 Xác suất có nhiều nhất 1 nữ: 4 6 4 6 210 210 210 25 185 37 Xác suất có ít nhất 2 nữ: 1 210 210 42 Bài 3/37: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 ngƣời nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng đƣợc tuyển của mỗi ngƣời là nhƣ nhau. a) Tính xác suất để cả hai ngƣời đƣợc chọn là nữ; b) Tính xác suất để ít nhất một nữ đƣợc chọn; c) Tính xác suất để cả hai nữ đƣợc chọn nếu biết rằng có ít nhất một nữ đã đƣợc chọn; d) Giả sử Hoa là một trong 4 nữ. Tính xác suất để Hoa đƣợc chọn. Tính xác suất để Hoa đƣợc chọn nếu biết rằng có ít nhất một nữ đƣợc chọn. 0 2 C2.C4 6 2 a) Xác suất cả hai người được chọn đều là nữ: 2 C6 15 5 1 Xem lại kiến thức giải tích tổ hợp ở phần “Phụ lục” P.1, trang 160. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 5
2. Cập nhật_07/12/2015 b) Xác suất để ít nhất một nữ được chọn: 2 0 C2.C4 1 Xác suất không có nữ nào được chọn: 2 C6 15 1 14 Xác suất để ít nhất một nữ được chọn: 1 15 15 c) Xác suất cả 2 nữ được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn1: A = “Cả 2 nữ được chọn” B = “Ít nhất một nữ được chọn” P(AB) P(A) P(A | B) (Vì A  B) P(B) P(B) 2 / 5 3 14 /15 7 d) Xác suất Hoa được chọn và xác suất Hoa được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn: C = “Hoa được chọn” Giả sử trong 6 người bao gồm Hoa và 5 người khác theo thứ tự: 1, 2, 3, 4, 5. Có 5 kết quả có thể xảy ra trong đó có Hoa: (Hoa, 1); (Hoa, 2); (Hoa, 3); (Hoa, 4); (Hoa, 5) 5 1 Xác suất để Hoa được chọn: P(C) 15 3 Xác suất để Hoa được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn: P(CB) P(C) 1/ 3 5 P(C | B) (Vì C  B)2 P(B) P(B) 14 /15 14 Bài 4/37: Một hòm có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. 2 Tổng số kết quả có thể xảy ra: C9 36 Để tích số trên hai tấm thẻ là một số chẵn thì phải có ít nhất một trong hai tấm thẻ mang số chẵn. Nếu cả hai tấm thẻ đều mang số lẻ (1, 3, 5, 7, 9) thì tích của chúng là một số lẻ. C2 5 Xác suất để tích 2 số là một số lẻ: 5 36 18 1 Thông thường, nếu trong câu hỏi mà xuất hiện cụm từ “biết rằng”, “nếu biết”, thì sử dụng công thức xác suất có điều kiện để giải. 2 Biến cố A và C đều là con của biến cố B vì: cả 2 nữ được chọn hay mình Hoa được chọn cũng đều suy ra có ít nhất một nữ được chọn. Giao của một biến cố với biến cố con của nó thì bằng chính biến cố con đó. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 6
3. Cập nhật_07/12/2015 5 13 Xác suất để tích 2 số là một số chẵn: 1 18 18 Bài 5/37: Ở một nƣớc có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có hai đại biểu Quốc hội. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một Ủy ban. Tính xác suất để: a) Trong Ủy ban có ít nhất một đại biểu của Thủ đô; b) Mỗi tỉnh đều có đúng một đại biểu trong Ủy ban. a) Xác suất trong Ủy ban có ít nhất một đại biểu của Thủ đô: A = “Có ít nhất một đại biểu của Thủ đô” 0 50 C2. C98 Xác suất để không có đại biểu của Thủ đô: P(A) 50 0,2475 C100 Xác suất có ít nhất một đại biểu của Thủ đô: P(A) 1 P(A) 0,7525 b) Xác suất mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong Ủy ban: B = “Mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong Ủy ban” 1 1 1 Số cách chọn mỗi tỉnh một đại biểu: C2. C2 C2 (50 số hạng) C1 . C1 C1 250 Xác suất cần tìm: P(B) 2 2 2 1,116.10 14 C50 C50 100 100 Bài 6/38: Trong tuần lễ vừa qua ở thành phố có 7 tai nạn giao thông. Xác suất để mỗi ngày xảy ra đúng một tai nạn là bao nhiêu? Mỗi một tai nạn giao thông có thể rơi vào 1 trong 7 ngày trong tuần. Số cách xảy ra của 7 tai nạn giao thông trong tuần: 7 7 cách Số cách xảy ra đúng 1 tai nạn giao thông trong mỗi ngày: 7! cách Xác suất để mỗi ngày xảy ra đúng một tai nạn giao thông: 7! 0,00612 77 Bài 7/38: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở một sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi ngƣời độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để một toa có 3 ngƣời, một toa có 1 ngƣời còn hai toa còn lại không có ai lên. Hướng dẫn: Chọn người xong rồi chọn toa. Đầu tiên chọn nhóm 3 người, tiếp theo chọn toa tàu cho nhóm này, người cuối cùng thì chọn trong các toa còn lại. Mỗi người có 4 lựa chọn toa tàu. Tổng số kết quả có thể xảy ra là: 44 = 256 3 Đầu tiên, chọn 3 trong số 4 người: C4 cách. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 7
4. Cập nhật_07/12/2015 Có 4 cách chọn toa tàu cho nhóm 3 người trên. Người thứ tư có 3 cách chọn trong ba toa còn lại. Xác suất để một toa có 3 người, một toa có 1 người và hai toa còn lại không có ai lên: C3 . 4. 3 48 3 4 256 256 16 Bài 8/38: Một máy bay có ba bộ phận A, B, C với tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc một viên đạn trúng vào A, hoặc hai viên đạn trúng B, hoặc ba viên đạn trúng C. Giả sử các bộ phận A, B và C lần lƣợt chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tìm xác suất để máy bay rơi nếu: a) Máy bay bị trúng hai viên đạn; b) Máy bay bị trúng ba viên đạn. a) Xác suất máy bay rơi nếu trúng 2 viên đạn: D = “Máy bay rơi” Máy bay rơi khi có ít nhất 1 viên trúng bộ phận A hoặc cả hai viên trúng B: + Xác suất để ít nhất 1 viên trúng A (biến cố này là đối của biến cố: không viên nào trúng A): 1 (0,3 0,55)2 0,2775 + Xác suất để cả 2 viên trúng B: 0,32 = 0,09 Xác suất để máy bay rơi: P(D) = 0,2775 + 0,09 = 0,3675 b) Xác suất máy bay rơi nếu trúng 3 viên đạn: Máy bay không rơi chỉ khi 1 viên trúng B và 2 viên còn lại phải trúng C. Xác suất để máy bay không rơi: 3. (0,3. 0,552) = 0,27225 (có 3 cách chọn viên đạn trúng B) Xác suất để máy bay rơi: P(D) = 1 – 0,27225 = 0,72775 Bài 9/38: Trong một thành phố nào đó 65% dân cƣ thích xem đá bóng. Chọn ngẫu nhiên 12 ngƣời, hãy tính xác suất để trong đó có đúng 5 ngƣời thích xem đá bóng. Hướng dẫn: Tỷ lệ người dân thích xem bóng đá là 65% nên khi chọn ngẫu nhiên một người thì xác suất để người đó thích xem bóng đá là 0,65. Chọn ngẫu nhiên 12 người tương đương với 12 phép thử lặp Bernoulli. Xác suất để có đúng 5 người thích xem bóng đá trong 12 người được chọn ngẫu nhiên: 5 5 7 P5 (12; 0,65) C12 . 0,65 . (1 0,65) 0,0591 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 8
5. Cập nhật_07/12/2015 Bài 10/38: Một sọt cam rất lớn đƣợc phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện. Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam đƣợc xếp loại 1. Nếu mẫu có một hoặc hai quả hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong trƣờng hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam đƣợc xếp loại 3. Trên thực tế 3% số cam trong sọt bị hỏng. Tìm xác suất để sọt cam đƣợc xếp loại: a) Loại 1; b) Loại 2; c) Loại 3. Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam, xác suất chọn được quả hỏng trong mỗi lần là 0,03. a) Xác suất sọt cam xếp loại 1: Mẫu không chứa quả cam nào hỏng. 0 0 20 20 P0 (20; 0,03) C20 . 0,03 . (1 0,03) 0,97 0,5438 b) Xác suất sọt cam xếp loại 2: Mẫu chứa 1 hoặc 2 quả cam hỏng. P1(20; 0,03) P2 (20; 0,03) 1 1 19 2 2 18 C20 . 0,03 . (1 0,03) C20 . 0,03 . (1 0,03) 0,4352 c) Xác suất sọt cam xếp loại 3: Mẫu chứa từ 3 quả cam hỏng trở lên. 1 P0 (20; 0,03) P1(20; 0,03) P2 (20; 0,03) 1 – (0,5438 + 0,4352) = 0,021 Bài 11/38: Một bài thi trắc nghiệm (multiple – choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng đƣợc 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để: a) Anh ta đƣợc 13 điểm; b) Anh ta đƣợc điểm âm. Giả sử học sinh đó làm đúng x câu và sai (12 – x) câu thì số điểm đạt được là: 4x – (12 – x) = 5x – 12 a) Xác suất để học sinh được 13 điểm: Ta có: 5x – 12 = 13 x = 5. Học sinh chỉ làm đúng 5 câu và sai 7 câu. Chọn hú họa 12 câu tương đương với 12 lần thử độc lập, xác suất chọn đúng 5 câu là: 5 5 7 P5 (12; 0,2) C12 .0,2 .0,8 0,0532 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 9
6. Cập nhật_07/12/2015 b) Xác suất để học sinh bị điểm âm: Ta có: 5x – 12 < 0 5x < 12 x < 2,4. Vậy để bị điểm âm thì học sinh chỉ làm đúng nhiều nhất 2 câu. Xác suất để học sinh làm đúng 0, 1, 2 câu lần lượt là: 0 0 12 P0 (12; 0,2) C12 . 0,2 . (1 0,2) 0,0687 1 1 11 P1(12; 0,2) C12 . 0,2 . (1 0,2) 0,2062 2 2 10 P2 (12; 0,2) C12 . 0,2 . (1 0,2) 0,2835 Xác suất để học sinh bị điểm âm: 0,0687 + 0,2062 + 0,2835 = 0,5584 Bài 12/39: Gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để: a) Tổng số nốt xuất hiện là 8 nếu biết rằng ít nhất có một con ra nốt 1; b) Có ít nhất một con ra nốt 6 nếu biết rằng số nốt trên 3 con là khác nhau. Tổng số kết quả có thể xảy ra: 63 = 216 a) Xác suất tổng số nốt xuất hiện là 8 biết rằng ít nhất có một con ra nốt 1: A = “Tổng số nốt xuất hiện là 8” B = “Có ít nhất một con ra nốt 1” Do đó: AB = “Tổng số nốt xuất hiện là 8 trong đó có một con ra nốt 1” Số kết quả thuận lợi cho biến cố AB: (1, 2, 5) và 5 hoán vị khác nữa (1, 3, 4) và 5 hoán vị khác nữa (1, 1, 6) và 2 hoán vị khác nữa 6 6 3 15 P(AB) 216 216 Biến cố B là biến cố đối của biến cố: “Không có con nào ra nốt 1” 3 5 91 P(B) 1 6 216 P(AB) 15 91 15 Vậy: P(A | B) : P(B) 216 216 91 b) Xác suất có ít nhất 1 con ra nốt 6 nếu biết rằng số nốt trên 3 con là khác nhau: C = “Ít nhất một con ra nốt 6” D = “Số nốt trên 3 con là khác nhau” Do đó: CD = “Số nốt trên 3 con là khác nhau trong đó có 1 con ra nốt 6” Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố CD: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 10
7. Cập nhật_07/12/2015 + Chọn vị trí cho nốt 6: có 3 cách + Chọn nốt xuất hiện thứ hai mà khác nốt 6: có 5 cách + Chọn nốt xuất hiện thứ ba mà khác hai nốt trên: có 4 cách. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố CD: 3.5.4 = 60 (cách) 60 P(CD) 216 A3 120 Mà: P(D) 6 (lấy 3 con khác nhau trong số 6 con, có tính đến thứ tự) 216 216 P(CD) 60 120 1 P(C) : P(D) 216 216 2 Bài 13/39: Một gia đình có hai đứa con. Tìm xác suất để cả hai đều là con trai nếu biết rằng ít nhất trong hai đứa có một đứa là trai. A = “Cả hai đứa là con trai” B = “Ít nhất một trong hai đứa là con trai” Ta có: P(AB) = P(A) (vì A  B) = 0,52 = 0,25 P(B) = 1 – 0,52 = 0,75 (B là biến cố đối của biến cố: “cả hai đứa là con gái”) Vậy xác suất để cả hai đứa là con trai nếu biết rằng ít nhất một trong hai đứa là con trai: P(AB) 0,25 1 P(A | B) P(B) 0,75 3 Bài 14/39: Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai1. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. a) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật; b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong tổng số cặp sinh đôi cùng giới tính. Gọi: A = “Cặp sinh đôi thật” (cùng trứng) B = “Cặp sinh đôi có cùng giới tính” 1 Đối với bài dạng công thức xác suất đầy đủ thì nên vẽ sơ đồ cây để giải cho đơn giản. Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 11
8. Cập nhật_07/12/2015 Sinh đôi x 1 x Cùng trứng Khác trứng 1 0 0,5 0,5 Cùng giới Khác giới Cùng giới Khác giới a) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật: Gọi x là tỷ lệ cặp sinh đôi thật thì (1 – x) là tỷ lệ cặp sinh đôi giả. Theo công thức xác suất đầy đủ thì tỷ lệ các cặp sinh đôi khác giới là: x.0 + (1 – x).0,5 = 0,5(1 – x) Mà theo giả thiết, có 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Do đó: 0,5(1 – x) = 0,36 1 – x = 0,72 x = 0,28 Vậy, tỷ lệ cặp sinh đôi thật: P(A) 0,28 b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong tổng số cặp sinh đôi cùng giới tính: Tỷ lệ cặp sinh đôi cùng giới tính: P(B) = 0,34 + 0,30 = 0,64 Tỷ lệ cần tìm: P(AB) P(A) 0,28 P(A | B) 0,4375 (vì A  B) P(B) P(B) 0,64 Bài 15/39: Có hai chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng thứ hai có 3 thỏ trắng và 7 thỏ đen. Từ chuồng thứ hai ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ cho vào chuồng thứ nhất và sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ nhất ra thì đƣợc một chú thỏ trắng. Tính xác suất để con thỏ trắng này là của chuồng thứ nhất. Hướng dẫn: Biết trước kết quả ở lần bắt thứ hai là một chú thỏ trắng. Đề bài yêu cầu tìm xác suất để con thỏ trắng này có nguồn gốc của chuồng I (xác suất của một nguyên nhân nào đó dẫn đến kết quả đã biết). Áp dụng công thức Bayes. Gọi: A = “Thỏ bắt ra lần thứ hai là của chuồng I” B = “Thỏ bắt ra lần thứ hai là của chuồng II” C = “Thỏ bắt lần thứ nhất từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng” H = “Thỏ bắt lần thứ hai là thỏ trắng” Theo công thức xác suất đầy đủ: P(H) = P(HA) + P(HB) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 12
9. Cập nhật_07/12/2015 Mà: P(HA) P(HA | C).P(C) P(HA | C).P(C) (xác suất của biến cố HA còn phụ thuộc vào việc lần bắt thứ nhất từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng hay đen). Do đó: 10 3 10 7 10 100 P(HA) . . 16 10 16 10 16 160 Tương tự: P(HB) P(HB | C). P(C) P(HB | C). P(C) 1 3 7 3 . 0. 16 10 10 160 Xác suất để con thỏ trắng bắt ở lần thứ hai là của chuồng I: 100 P(HA) P(HA) 100 P(A | H) 160 100 3 P(H) P(HA) P(HB) 103 160 160 Bài 16/39: Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra một con đem bán. Các con gà còn lại đƣợc dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên một con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt đƣợc con gà trống là bao nhiêu? Hướng dẫn: Xác suất bắt được gà trống ở chuồng III còn phụ thuộc vào hành động bắt trước đó ở chuồng I và chuồng II. Khi bắt ở hai chuồng I và II thì có các khả năng xảy ra: bắt được hai con trống, bắt được hai con mái, bắt được 1 trống 1 mái. Chuồng I Chuồng II 1/10 9 /10 5 / 6 1/ 6 Trống Mái Trống Mái Gọi: A1 = “Bắt được con trống ở chuồng I” B1 = “Bắt được con mái ở chuồng I” A2 = “Bắt được con trống ở chuồng II” B2 = “Bắt được con mái ở chuồng II” H = “Bắt được con trống ở chuồng III” Xác suất bắt được 2 con trống từ hai chuồng I và II: P(A1A2 ) P(A1).P(A2 ) (việc bắt gà ở mỗi chuồng là độc lập với nhau) 1 5 5 . 10 6 60 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 13
10. Cập nhật_07/12/2015 Xác suất bắt được 2 con mái từ hai chuồng I và II: 9 1 9 P(B B ) P(B ). P(B ) . 1 2 1 2 10 6 60 Xác suất bắt được 1 trống 1 mái từ hai chuồng I và II: 5 9 46 P(A B ) P(A B ) 1 P(A A ) P(B B ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 60 60 60 Xác suất để bắt được con gà trống từ chuồng III: P(H) P(HA1A2 ) P(HB1B2 ) P(HA1B2 ) P(HA 2B1) 4 5 6 9 5 46 38 . . . 0,3619 14 60 14 60 14 60 105 Bài 17/39: Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/3 và ở vị trí B với xác suất 1/3. Có ba phƣơng án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay nhƣ sau: Phƣơng án I: 3 khẩu đặt tại A, 1 khẩu đặt tại B. Phƣơng án II: 2 khẩu đặt tại A, 2 khẩu đặt tại B. Phƣơng án III: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy chọn phƣơng án tốt nhất. Hướng dẫn: Phương án tốt nhất là phương án cho xác suất bắn trúng máy bay cao nhất. Ứng với mỗi phương án, áp dụng công thức xác suất đầy đủ để tính xác suất bắn trúng máy bay. * Phương án I: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng. Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay: 1 – 0,33 = 0,973 (tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng) Máy bay 2 1 3 3 Xuất hiện ở A Xuất hiện ở B 0,973 0,027 0,7 0,3 Trúng Trượt Trúng Trượt Xác suất để máy bay rơi trong phương án I: 2 1 P .0,973 .0,7 0,882 (1) 1 3 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 14
11. Cập nhật_07/12/2015 * Phương án II: 2 khẩu đặt tại A và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng. Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay: 1 – 0,32 = 0,91 Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay: 1 – 0,32 = 0,91 2 Máy bay 1 3 3 Xuất hiện ở A Xuất hiện ở B 0,91 0,09 0,91 0,09 Trúng Trượt Trúng Trượt Xác suất để máy bay rơi trong phương án II: 2 1 P .0,91 .0,91 0,91 (2) 2 3 3 * Phương án III: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng. Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay: 1 – 0,33 = 0,973 Máy bay Xuất hiện ở A Xuất hiện ở B 0,7 0,3 0,973 0,027 Trúng Trượt Trúng Trượt Xác suất để máy bay rơi trong phương án III: 2 1 P .0,7 .0,973 0,791 (3) 3 3 3 Từ (1), (2) và (3) suy ra: phương án II có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất. Chọn phương án II để đạt hiệu quả tốt nhất. Bài 18/40: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trƣớc khi xuất ra thị trƣờng, mỗi bóng đèn đều đƣợc qua kiểm tra chất lƣợng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 15
12. Cập nhật_07/12/2015 suất 0,9 đƣợc công nhận là tốt và một bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bị loại bỏ. Hãy tính tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lƣợng. Hướng dẫn: Sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng ta được một tỷ lệ bóng đèn tốt. Trong số những bóng đèn tốt này bao gồm cả những bóng đèn đạt chuẩn và không đạt chuẩn. Ta tính xác suất bóng đèn đạt chuẩn trong số những bóng đèn tốt. Dấu hiệu để áp dụng công thức Bayes. Bóng đèn 0,8 0,2 Đạt chuẩn Không chuẩn 0,9 0,1 0,05 0,95 Tốt Hỏng Tốt Hỏng Gọi: A = “Bóng đèn đạt chuẩn” H = “Bóng đèn được công nhận là tốt” Tỷ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn sau khi đã qua khâu kiểm tra chất lượng: P(HA) 0,8.0,9 0,72 P(A | H) 0,9863 P(HA) P(HA) 0,8.0,9 0,2.0,05 0,73 Bài 19/40: Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5 ngƣời, nhóm thứ hai có 7 ngƣời, nhóm thứ ba có 4 ngƣời và nhóm thứ tƣ có 2 ngƣời. Xác suất bắn trúng đích của mỗi ngƣời trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tƣ theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trƣợt. Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất. Hướng dẫn: Xạ thủ bắn trượt có thể thuộc một trong bốn nhóm. Áp dụng công thức Bayes để kiểm tra xem xác suất xạ thủ bắn trượt này thuộc từng nhóm là bao nhiêu. Từ đó so sánh các kết quả với nhau và đưa ra kết luận. Gọi: A = “Xạ thủ thuộc nhóm 1” B = “Xạ thủ thuộc nhóm 2” C = “Xạ thủ thuộc nhóm 3” D = “Xạ thủ thuộc nhóm 4” H = “Xạ thủ bắn trượt” Theo bài ra ta có: 5 7 4 2 P(A) ; P(B) ; P(C) ; P(D) 18 18 18 18 P(H | A) 0,2; P(H | B) 0,3; P(H | C) 0,4; P(H | D) 0,5 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 16
13. Cập nhật_07/12/2015 + Xác suất để xạ thủ bắn trượt này thuộc nhóm thứ nhất: P(HA) P(A | H) P(HA) P(HB) P(HC) P(HD) P(H | A).P(A) P(A | H) P(H | A).P(A) P(H | B).P(B) P(H | C).P(C) P(H | D).P(D) 5 1 0,2 10 P(A | H) 18 18 (1) 5 7 4 2 19 0,2 0,3 0,4 0,5 57 18 18 18 18 60 + Xác suất để xạ thủ bắn trượt này thuộc nhóm thứ hai: P(HB) P(B | H) P(HA) P(HB) P(HC) P(HD) P(H | B).P(B) P(B | H) P(H | A).P(A) P(H | B).P(B) P(H | C).P(C) P(H | D).P(D) 7 7 0,3 21 P(B | H) 18 60 (2) 5 7 4 2 19 0,2 0,3 0,4 0,5 57 18 18 18 18 60 + Xác suất để xạ thủ bắn trượt này thuộc nhóm thứ ba: P(HC) P(C | H) P(HA) P(HB) P(HC) P(HD) P(H | C).P(C) P(C | H) P(H | A).P(A) P(H | B).P(B) P(H | C).P(C) P(H | D).P(D) 4 4 0,4 16 P(C | H) 18 45 (3) 5 7 4 2 19 0,2 0,3 0,4 0,5 57 18 18 18 18 60 + Xác suất để xạ thủ bắn trượt này thuộc nhóm thứ tư: P(HD) P(D | H) P(HA) P(HB) P(HC) P(HD) P(H | D).P(D) P(D | H) P(H | A).P(A) P(H | B).P(B) P(H | C).P(C) P(H | D).P(D) 2 1 0,5 10 P(D | H) 18 18 (4) 5 7 4 2 19 0,2 0,3 0,4 0,5 57 18 18 18 18 60 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 17