Giáo trình Xác suất và thống kê (Phần 1) - Trường Đại học Thành Đông

Nội dung text: Giáo trình Xác suất và thống kê (Phần 1) - Trường Đại học Thành Đông

1. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 6 Ví dụ 1.12. Từ một bộ bài tây (4 chất, 52 lá), rút ngẫu nhiên ra 2 lá. Tính xác suất: a) Rút được hai lá bài cơ. b) Rút được 2 lá bài cơ biết rằng 2 lá bài này màu đỏ. Giải. Ví dụ 1.13. Một nhóm 100 người có: + 20 người hút thuốc.
2. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 7 + 30 nữ, trong đó có 5 người hút thuốc. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác suất: a. Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ. b. Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc. 30 nữ 20 người hút thuốc 5 nữ hút thuốc Giải. Công thức xác suất điều kiện P (AB) P (A B)= , P (B) > 0 | P (B) Tính chất 1.4. Xác suất có điều kiện có các tính chất: i. 0 P (A B) 1 với mọi biến cố A. ≤ | ≤ ii. Nếu A A′ thì P (A B) P (A′ B). ⊂ | ≤ | iii. P (A B)=1 P A¯ B . | − | Ví dụ 1.14. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 10 người nộp đơn dự tuyển, trong đó có 4 nữ (khả năng trúng tuyển của các ứng cử viên là như nhau). Tính xác suất:
3. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 8 a) Cả 4 nữ trúng tuyển. b) Có ít nhất một nữ trúng tuyển. c) Cả 4 nữ trúng tuyển, biết rằng có ít nhất một nữ đã trúng tuyển. Giải. 1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là: P (A B)= P (A) hoặc P (B A)= P (B) | | Nhận xét: Nếu hai biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố A và B¯; A¯ và B; A¯ và B¯ độc lập. Ví dụ 1.15. Tung một xúc sắc 2 lần. Gọi các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Lần 1 xuất hiện mặt 6 chấm” B: “Lần 2 xuất hiện mặt 6 chấm” Hai biến cố A và B có độc lập?
4. 1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập 9 Giải. Ví dụ 1.16. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi. Mỗi lần lấy 1 bi (lấy không hoàn lại). Đặt các biến cố: Gọi các biến cố: A: “Lần 1 lấy được bi đen” B: “Lần 2 lấy được bi trắng” Hai biến cố A và B có độc lập? Giải.
5. 1.5 Các công thức tính xác suất 10 1.5 Các công thức tính xác suất 1.5.1 Công thức cộng P (A + B)= P (A)+ P (B) P (AB) − Chú ý: Nếu A và B xung khắc (AB = ) thì ∅ P (A + B)= P (A)+ P (B) Ví dụ 1.17. Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất học sinh này giỏi ít nhất một môn. Giải. Công thức cộng 3 biến cố: P (A + B + C)=P (A)+ P (B)+ P (C) P (AB) P (AC) P (BC) − − − + P (ABC) Chú ý: Nếu A,B,C xung khắc từng đôi một thì P (A + B + C)= P (A)+ P (B)+ P (C) 1.5.2 Công thức nhân P (AB)= P (A) P (B A)= P (B) P (A B) | |
6. 1.5 Các công thức tính xác suất 11 Chú ý: Nếu A và B độc lập thì P (AB)= P (A) P (B) Mở rộng công thức nhân: Cho n biến cố A1,A2, ,An P (A1A2 An)= P (A1) P (A2 A1) P (An A1A2 An 1) | | − Chú ý: Nếu Ai,i =1, ,n độc lập toàn bộ thì P (A1 An)= P (A1) P (An) Ví dụ 1.18. Một người có 4 con gà mái, 6 con gà trống nhốt trong một lồng. Hai người đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người thứ hai mua, mỗi người mua 2 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ lồng. Tính xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống. Giải. Ví dụ 1.19. Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Tính xác suất sinh viên A: a. Đạt môn thứ hai. b. Đạt i môn, i =0, 1, 2.
7. 1.5 Các công thức tính xác suất 12 c. Đạt ít nhất một môn. d. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một môn. e. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một môn. Giải.
8. 1.5 Các công thức tính xác suất 13 Ví dụ 1.20. Một người có 3 con gà mái, xác suất đẻ trứng trong ngày của con gà I, II, III lần lượt là 0,4; 0,7; 0,8. Tính xác suất: a) Có i con gà đẻ trứng trong ngày, i =0, 1, 2, 3. b) Có ít nhất 1 con gà đẻ trứng trong ngày. c) Có nhiếu nhất 2 con gà đẻ trứng trong ngày. d) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có 1 con đẻ trứng. e) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít nhất 1 con đẻ trứng. f) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có nhiều nhất 2 con đẻ trứng. Giải.
9. 1.5 Các công thức tính xác suất 14 1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.5 (Hệ đầy đủ). n biến cố A1,A2, ,An được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là Ai Aj = , i = j ∩ ∅ ∀ A1 + A2 + + An =Ω Ví dụ 1.21. Từ một lọ có 4 bi trắng và 6 bi đen lấy ra 2 bi. Gọi các biến cố:
10. 1.5 Các công thức tính xác suất 15 A0: “Lấy được 0 bi đen” A1: “Lấy được 1 bi đen” A2: “Lấy được 2 bi đen” Khi đó A0; A1; A2 là hệ đầy đủ. Công thức xác suất đầy đủ: Cho A1; A2; ; An (P (Ai) > 0 ) là hệ đầy đủ các biến cố và B là một biến cố bất kỳ. Xác suất xảy ra biến cố B P (B)= P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A )+ + P (An) P (B An) 1 | 1 2 | 2 | Ví dụ 1.22. Một đám đông có số đàn ông bằng nửa số đàn bà. Xác suất để đàn ông bị bệnh tim là 0,06 và đàn bà là 0,036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ đám đông, tính xác suất để người này bị bệnh tim. Giải. 1.5.4 Công thức xác suất Bayes Gải thiết giống công thức xác suất đầy đủ. Xác suất: P (AiB) P (Ai) P (B Ai) P (Ai B)= = | , i =1, 2, ,n | P (B) P (B)
11. 1.5 Các công thức tính xác suất 16 Ví dụ 1.23. Một lớp có số học sinh nam bằng 3 lần số học sinh nữ. Tỷ lệ học sinh nữ giỏi toán là 30% và tỷ lệ học sinh nam giỏi toán là 40%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này. Tính xác suất: a. Học sinh này giỏi toán. b. Học sinh này là nam biết rằng học sinh này giỏi toán. Giải. Ví dụ 1.24. Có hai chuồng gà: Chuồng I có 10 gà trống và 8 gà mái; Chuồng II có 12 trống và 10 mái. Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II. Sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II. Tính xác suất: a. Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con trống và hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống. b. Hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống. c. Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống, tính xác suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống.
12. 1.6 Bài tập chương 1 17 Giải. 1.6 Bài tập chương 1 Bài tập 1.1. Một nhóm khảo sát sở thích tiết lộ thông tin là trong năm qua: 45% người xem Tivi thích xem phim tình cảm Hàn quốc. • 25% người xem Tivi thích xem phim hành động Mỹ. • 10% thích xem cả hai thể loại trên. •
13. 1.6 Bài tập chương 1 18 Tính tỷ lệ nhóm người thích xem ít nhất một trong hai thể loại trên. (60%) Giải. Bài tập 1.2. Có ba lô hàng mỗi lô có 20 sản phẩm, số sản phẩm loại A có trong lô I, II, III lần lượt là: 12; 14; 16. Bên mua chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng 3 sản phẩm, nếu lô nào cả 3 sản phẩm đều loại A thì bên mua nhận mua lô hàng đó. Tính xác suất: a. Lô thứ i được mua, i =1, 2, 3. (0,193; 0,3193; 0,4912) b. Có i lô được mua, i =0, 1, 2, 3. (0,2795; 0,4678; 0,2225; 0,0303) c. Có nhiều nhất hai lô được mua. (0,9697) d. Có ít nhất một lô được mua.(0,7205) e. Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô II được mua. (0,4432) f. Giả sử có ít nhất một lô được mua. Tính xác suất trong đó lô I và II được mua.(0,0855) g. Giả sử có một lô được mua. Tính xác suất lô II được mua. (0,2803) Giải.
14. 1.6 Bài tập chương 1 19 Bài tập 1.3. Một hộp bóng bàn có 15 bóng mới và 8 bóng cũ. Lần thứ I lấy ra 2 bóng để sử dụng sau đó cho vào lại hộp; lần thứ II lấy ra 3 bóng. Tính xác suất a. Lần thứ I lấy được i bóng cũ, i =0, 1, 2. (0,4150; 0,4743; 0,1107) b. Lần I lấy 1 bóng cũ và lần II là 3 bóng mới. (0,0975) c. Lần thứ II lấy được 3 bóng mới. (0,1929) d. Biết lần thứ II lấy được 3 bóng mới, tính xác suất lần thứ I lấy được 1 bóng cũ. (0,5054) Giải.
15. 1.6 Bài tập chương 1 20 Bài tập 1.4. Có 3 bình đựng bi: bình I có 4 bi trắng và 6 bi đen; bình II có 7 bi trắng và 3 bi đen; bình III có 6 bi trắng và 8 bi đen. Từ bình I và bình II, mỗi bình lấy 1 bi và bỏ sang bình III. Tiếp theo, từ bình III lấy ra tiếp 3 bi. Tính xác suất: a. Hai bi lấy ra từ bình I và II có i bi trắng, i =0, 1, 2. (0,18; 0,54; 0,28) b. Ba bi lấy ra từ bình III có hai bi trắng. (0,3424) c. Giả sử ba bi lấy từ bình III có hai bi trắng, tính xác suất hai bi lấy từ bình I và II là hai bi đen. (0,1408) Giải.
16. 1.6 Bài tập chương 1 21 Bài tập 1.5. Một thùng kín đựng 2 loại thuốc: Số lượng lọ thuốc loại A bằng 2/3 thuốc số lượng lọ thuốc loại B. Tỉ lệ lọ thuốc A, B đã hết hạn sử dụng lần lượt là 10% và 8%. Từ thùng lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc. a. Tính xác suất lấy được lọ thuốc A hết hạn sử dụng. (0,04) b. Tính xác suất lọ thuốc lấy ra từ thùng đã hết hạn sử dụng. (0,088) c. Giả sử lấy được lọ thuốc còn hạn sữ dụng, tính xác suất lọ này là lọ thuốc B. (0,6053)
17. 1.6 Bài tập chương 1 22 Giải. Bài tập 1.6. ∗ Một người bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi phát lần lượt là 0,55; 0,6; 0,7. Xác suất mục tiêu bị hạ khi bi trúng 1, 2, 3 phát đạn lần lượt là 0,2; 0,4; 0,8. Tính xác suất: a. Có i phát trúng mục tiêu, i =0, 1, 2, 3. (0,054; 0,273; 0,442; 0,231) b. Có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu. (0,769) c. Tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,4162) d. Giả sử có 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất phát thứ I trúng mục tiêu. (0,5724) e. Giả sử mục tiêu bị hạ. Tính xác suất phat thứ nhất trúng mục tiêu. (0,7189) f. Biết rằng có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu, tính xác suất mục tiêu bị hạ. (0,3575) ∗Sinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, e, f.
18. 1.6 Bài tập chương 1 23 Giải. Bài tập 1.7. Nhà máy có hai phân xưởng, sản lượng của phân xưởng I gấp
19. 1.6 Bài tập chương 1 24 3 lần sản lượng của phân xưởng II. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I, II lần lượt là 7% và 12%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính: a. Xác suất chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất. (0,6975) b. Xác suất chọn được phế phẩm. (0,0825) c. Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất. (0,7602) Giải. Bài tập 1.8. Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán một mảnh đất lớn. Ông ta tin rằng nếu nền kinh tế tiếp tục phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%; ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển, ông ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó với xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng là 65%. Tính xác suất để bán được mảnh đất. (0,66) Giải.
20. 1.6 Bài tập chương 1 25 Bài tập 1.9. † Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ra 1 bi. Tính xác suất a. Bi lấy từ hộp II là bi trắng. (7/12) b. Giả sử bi lấy từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi lấy từ hộp I là bi trắng. (5/11) c. Giả sử bi lấy ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp I. 5 1 7 12 11/12 d. Giả sử bi lấy ra từ hộp II là bi trắng, tính xác suất bi này của hộp II. 6 7 11/12 Giải. †Sinh viên hệ cao đẳng không phải làm các câu c, d.
21. 1.6 Bài tập chương 1 26
22. Chương 2 Biến ngẫu nhiên 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp Ω. Đặt X : Ω R −→ ω X(ω)= x −→ X được gọi là biến ngẫu nhiên, x gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X. X  X I { ∈ } I R Ω X I = ω : X(ω) I = A Ω { ∈ } { ∈ } ⊂ Hình 2.1: Biến ngẫu nhiên X Ví dụ 2.1. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối, chúng ta có không gian các biến cố sơ cấp Ω= N N ; N S ; S N ; S S { 1 2 1 2 1 2 1 2} Đặt X(ω) là số đồng xu sấp khi kết quả phép thử là ω. Ta có: X(N1N2)=0; X(N1S2)=1; X(S1N2)=1; X(S1S2)=2 Khi đó ta gọi X là biến ngẫu nhiên số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu.
23. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 28 Có hai loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó là • một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể của nó lấp • đầy một khoảng trên trục số. Ví dụ 2.2. Số chấm trên mặt xuất hiện khi tung một xúc sắc là biến ngẫu nhiên • rời rạc (giá trị của X là tập hữu hạn). Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên rời • rạc (giá trị của X là tập vô hạn đếm được). Thời gian hoàn thành 1 sản phẩn của một công nhân là biến ngẫu nhiên • liên tục. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2.2.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc Để mô tả phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc người ta sử dụng bảng phân phối xác suất: X x x xn 1 2 P f(x ) f(x ) f(xn) 1 2 Trong đó: Dòng 1 liệt kê giá trị có thể của X. • f(xi)= P (X = xi) ,i =1, 2, gọi là xác suất X nhận giá trị xi. • Nếu x / x , ,xn, thì f(x )=0. • 0 ∈{ 1 } 0 Ví dụ 2.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc sắc. X có bảng phân phối như sau: X 123456 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
24. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 29 Nhận xét: f(x )+ f(x )+ + f(xn)+ =1. • 1 2 P (a<X<b)= f(xi). • a<xi<b Ví dụ 2.4. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X 11 3 5 − P a 2a 3a 4a a. Xác định a. b. Xác định P (X = 2) . c. Xác định P ( 1 <X< 4) . − Giải. Ví dụ 2.5. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có một viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X. Giải.
25. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 30 Ví dụ 2.6. Một xạ thủ có 6 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có 3 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn, lập bảng phân phối xác suất của X. Giải. Ví dụ 2.7. Một lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen. Từ lọ này lấy ra ngẫu nhiên 4 bi. Gọi X là số bi đen lẫn trong 4 bi lấy ra, lập bảng phân phối xác suất của X. Giải.
26. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 31 2.2.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.1 (Hàm mật độ). Hàm số f(x) 0, x R được gọi là hàm ≥ ∀ ∈ mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu P (X A)= f(x)dx, A R ∈ ∀ ⊂ A Chú ý. Với định nghĩa hàm mật độ ta có i. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì xác suất X thuộc một tập A R ⊂ được tính bằng tích phân của hàm mật độ f(x) trên tập A. + ii. Mọi hàm mật độ phải thỏa hai điều kiện f(x) 0 và ∞f(x)dx =1 ≥ −∞ Ví dụ 2.8. Cho hàm số 3 x2 khi 0 x 2 f(x)= 8 ≤ ≤ 0 nơi khác a. Chứng tỏ f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. b. Tính xác suất P (1 X 3/2) . ≤ ≤ c. Tính xác suất P (1 X 3) . ≤ ≤
27. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 32 Giải. 2 1 0 2 1 0 1 2 x 2.2.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.2 (Hàm phân phối xác suất). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F (x) F (x)= P (X<x)
28. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 33 Nhận xét: Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì • F (x)= P (X<x)= f(xi) xi<x Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì • x F (x)= P (X<x)= f(t)dt −∞ Ví dụ 2.9. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối như sau: X 1 2 3 P 0, 2 0, 5 0, 3 a. Tìm hàm phân phối F (x) của X. b. Vẽ đồ thị của F (x). 1,0 0,8 0,6 F (x) 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 x Giải.
29. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 34 Ví dụ 2.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ kx3 khi 0 x 1 f(x)= ≤ ≤ 0 nơi khác a. Xác định k. b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x). c. Vẽ đồ thị hàm phân phối F (x). F (x) 1,0 0,5 0,0 2 1 0 1 2 3 x Giải.
30. 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 35 Tính chất 2.3. Hàm phân phối xác suất F (x) có các tính chất: i. 0 F (x) 1, x R; F ( )=0; F (+ )=1 ≤ ≤ ∀ ∈ −∞ ∞ ii. F (x) là hàm không giảm (nếu x <x thì F (x ) F (x )). 1 2 1 ≤ 2 iii. P (a X<b)= F (b) F (a). ≤ − iv. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì: F ′(x)= f(x) • P (X = x)=0, x R và • ∀ ∈ P (b X < a) = P (a<X<b) ≤ = P (a < X b) ≤ = P (a X b)= F (b) F (a) ≤ ≤ − Ví dụ 2.11. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,3 và 0,4. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc. a. Lập bảng phân phối xác suất của X. b. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
31. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 36 Giải. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 2.3.1 Kỳ vọng EX Định nghĩa 2.4 (Kỳ vọng). Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu EX : X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất • X x x xn 1 2 P f(x ) f(x ) f(xn) 1 2 Kỳ vọng EX = x f(x )+ + xnf(xn)+ 1 1 X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) •
32. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 37 + Kỳ vọng EX = ∞xf(x)dx −∞ Ví dụ 2.12. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. a. Lập bảng phân phối xác suất của X. b. Tính kỳ vọng của X. c. Lập bảng phân phối xác suất của X2. d. Tính kỳ vọng của X2. Giải. Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng của X là trung bình các giá trị của X theo xác suất. Tính chất 2.5. Kỳ vọng có các tính chất:
33. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 38 i. Ec = c, c là hằng số. ii. E(cX)= cEX. iii. E(X + Y )= EX + EY. iv. E(XY )= EX EY khi X và Y độc lập. v. Cho Y = h(X) là hàm của biến ngẫu nhiên X. Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc • EY = Eh(X)= h(x )f(x )+ + h(xn)f(xn)+ 1 1 Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì • + ∞ EY = Eh(X)= h(x)f(x)dx −∞ Ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên X (năm) có hàm mật độ. 9 1 x2 + khi x (0;2) f(x)= 40 5 ∈ 0 khi x / (0;2)  ∈  a. Tính thời gian trung bình một người học rành nghề sửa tivi. b. Tính E(2X + 3). c. Tính E(X2). Giải.
34. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 39 2.3.2 Phương sai VarX Định nghĩa 2.6 (Phương sai). Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX VarX = E (EX X)2 = EX2 (EX)2 − − Ví dụ 2.14. Anh A nuôi 5 con lợn có cân nặng (kg) 55, 55, 60, 70, 70. Chọn ngẫu nhiên một con và mang cân, gọi X là cân nặng. Tính phương sai của X. Giải. Ý nghĩa phương sai: Phương sai là trung bình của bình phương sai khác giữa các giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó phương sai dùng để đo độ phân tán các giá trị của X so với trung bình của nó. Nghĩa là phương sai lớn thì độ phân tán lớn và ngược lại.
35. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 40 Do đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của X. Để có cùng đơn vị, ta định nghĩa độ lệch chuẩn σ = √VarX Ví dụ 2.15. Giả thiết giống ví dụ 2.13. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến ngẫu nhiên X (năm) có hàm mật độ. 9 1 x2 + khi x (0;2) f(x)= 40 5 ∈ 0 khi x / (0;2)  ∈ Tính phương sai của X.  Giải. σ =1/2 σ =1 σ =2 3 2 1 01234 x − − − Tính chất 2.7. Phương sai có các tính chất: i. Var(c)=0, c là hằng số. ii. Var(cX)= c2VarX. iii. Var(X + Y )= VarX + VarY, nếu X và Y độc lập. 2.3.3 ModX Định nghĩa 2.8. Mod của biến ngẫu nhiên S, ký hiệu ModX
36. 2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 41 X là biến ngẫu nhiên rời rạc • ModX = xi P (X = xi)max { | } X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) • ModX = x f(x )max { 0| 0 } Ví dụ 2.16. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất cho như sau: X 1 2 3 4 P 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2 ModX =3 vì P (X = 3)max Ví dụ 2.17. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ x3 x khi x [0;2] f(x)= − 4 ∈ 0 khi x / [0;2]  ∈ Xác định ModX.  Giải.
37. 2.4 Bài tập chương 2 42 2.4 Bài tập chương 2 Bài tập 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X a 0, 1 0, 3 0, 4 2 P 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2 0, 1 a. Giá trị của tham số a để EX =0, 3. (0,2) b. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Giải.