Giáo trình Toán kỹ thuật - Học viện Bưu chính viến thông

Nội dung text: Giáo trình Toán kỹ thuật - Học viện Bưu chính viến thông

1. 1 i 1 i 1 1 D 1 2 i ; D 2 i ; D i 1 . 2 1 z 1 i 1 w 2 1 i 2 i (2 i )(1 2 i ) 4 3 i i 1 ( i 1)(1 2 i ) 3 i z , w . 1 2i 5 5 1 2i 5 5 Ví dụ 1.5: Giải phương trình z2 2 z 5 0 . 2 2 2 Giải: z2 2 z 5 z 1 4 z 1 2 i z 1 2 i z 1 2 i . Vậy phương trình có hai nghiệm z1 1 2 i , z 2 1 2 i . C. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là   i và j . Mỗi điểm M trong mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (;)x y của nó xác    định bởi OM x i y j (Hình 1.1). y y M j O i x x Hình 1.1: Mt phng phc Số phức z x iy cũng hoàn toàn được xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. Vì vậy có tương ứng 1-1 giữa các số phức và các điểm trong mặt phẳng. Người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ (;)x y với số phức z x iy , lúc đó mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành Ox biểu diễn các số thực nên được gọi là trục thực, trục tung Oy biểu diễn các số thuần ảo nên được gọi là trục ảo. Tập hợp các véc tơ trong mặt phẳng với phép toán cộng véc tơ, phép nhân một số thực  với véc tơ tạo thành không gian véc tơ. Khi ta đồng nhất điểm M hay véc tơ OM có tọa độ (;)x y với số phức z x iy thì hai phép toán trên hoàn toàn tương thích với phép cộng hai số phức và phép nhân số thực với số phức.  OM1 (,) x 1 y 1 tương ứng với số phức z1 x 1 iy 1 .  OM2 (,) x 2 y 2 tương ứng với số phức z2 x 2 iy 2 .    Thì OM1 OM 2 tương ứng với số phức z1 z 2 và k. OM1 tương ứng với số phức kz1 .
2. Ngoài ra trong tập hợp các số phức còn có phép nhân và phép chia hai số phức, điều này cho phép biểu diễn thêm nhiều phép biến đổi hình học mà không có đối với các phép toán của véc tơ. D. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , ta chọn Ox làm trục cực khi đó điểm M(;) x y có tọa độ cực r; xác định bởi   x r cos r OM,, Ox OM thỏa mãn (1.11) y r sin  Ta ký hiệu và gọi z r OM x2 y 2 (1.12) là mô đun và Argz k 2 , k  (1.13) là argument của số phức z x iy . y y M  j r  O i x x Hình 1.2: Mô đun và Argument của số phức Góc của số phức z x iy 0 được xác định theo công thức sau tan y / x (1.14) cos x / x2 y 2 Giá trị của Argz nằm giữa và được gọi là argument chính, ký hiệu argz . Vậy arg z . Từ công thức (1.11) ta có z x iy r cos i sin (1.15) gọi là dạng lượng giác của số phức. Áp dụng khai triển Mac Laurin 2n 2 n 1 n n cos  1 , sin  1 n 0 2n ! n 0 2 n 1 !
3. n 2n n 2 n 1 cos i sin  1 i  1 n 0 2n ! n 0 2 n 1 ! 2n 2 n 1 n i i i    ei . n 0 2n ! n 0 2 n 1 ! n 0 n ! Vậy ta có công thức Euler ei cos i sin  (1.16) ei e i e i e i cos , sin . (1.17) 2 2i Từ (1.15)-(1.16) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ z z ei (1.18) Hình 1.3: Dạng cực của số phức. Đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức được biểu diễn bởi ei . Số phức bất kỳ có dạng rei Tính chất 1.2: z z z z . z z 1 2 1 2 (1.19) 1 2 argz arg z Arg z Arg z k 2 , k  1 2 1 2 2 z z z . zz z , 1 1 2 . (1.20) 2 z2 z2 z z . z z z z,,1 1 z z z z . (1.21) 1 2 1 2z 1 2 1 2 2 z2 z . Argz z Arg z Arg z , Arg 1 Arg z Arg z (1.22) 1 2 1 2 1 2 z2 x z . z x iy và z x y (1.23) y z
4. Ví dụ 1.6: a. Tập các số phức z thỏa mãn z 2 3 tương ứng với tập các điểm có khoảng cách đến I(2;0) bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3. b. Tập các số phức z thỏa mãn z 2 z i tương ứng với tập các điểm cách đều A(2;0) và B(0;1) đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình 4x 2 y 3 0 . c. Tập các số phức z thỏa mãn z 3 z 3 10 tương ứng với tập các điểm có tổng khoảng cách đến F1( 3;0) và F2(3;0) bằng 10, đó là đường elip có phương trình x2 y 2 1. 25 16 y y y B 4 1 2 x A x 5 x a) b) c) Hình 1.4: Đồ thị các đường của ví dụ 1.6 Ví dụ 1.7: Áp dụng công thức (1.22) và số phức viết dưới dạng mũ (1.18) ta có thể kiểm chứng lại các công thức cộng góc của các hàm lượng giác: i 1 i 2 i() 1 2 e e e cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) Mặt khác i i e1 e 2 cos i sin cos i sin 1 1 2 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 , Đồng nhất phần thực và phần ảo tương ứng theo công thức (1.1) ta được cos( 1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 sin( 1 2 ) cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 E. Lũy thừa và căn của số phức 1) Lũy thừa n * Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức z zz z ; n  n lÇ n Từ công thức (1.21)-(1.22) ta có n zn z cos n i sin n với Argz k 2 (1.24)
5. Đặc biệt, khi z 1 ta có n cos i sin cos n i sin n (1.25) Gọi (1.25) là Công thức Moivre. Ví dụ 1.8: Tính (1 i )8 . i 8 i8 Giải: Ta có 1 i 2 e 4 , do đó (1 i )8 2 e4 16 ei 2 16  . 10 Ví dụ 1.9: Tính 1 3i . Giải: 10 10 10 1 3 2 2 10 20 20 13 i 2 i 2cos i sin 2cos i sin 2 2 3 3 3 3 2 2 1 3 10 10 9 2cos i sin 2 i 2(1 i 3). 3 3 2 2 9 Vậy ta cũng có 1 3i 29  . Ví dụ 1.10: Tính các tổng S cos cos2  cos n , T sin sin 2  sin n . Giải: Đặt z cos i sin , trường hợp z 1 ta có zn 1 z n 1 z S iT z z2 zn z(1 z  z n 1 ) z z 1 z 1 n 1 z z z 1 zn zz zz z n 1 z z n 1 z n 1 z z 1 z 1 zz z z 1 1 z z 1 cosn 1 cos( n 1) cos i sin n sin( n 1) sin 2 1 cos cosn 1 cos( n 1) cos sinn sin( n 1) sin S , T . 2 1 cos 2 1 cos 2) Căn của số phức 1 Số phức  được gọi là căn bậc n của z nếu n z , ký hiệu  n z hay  z n . Biểu diễn dưới dạng mũ: z rei ,  e i  ta có n ne in ; do đó
6. n n r n r z  k2 (1.26) n k2 , k   , k  n Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của 2 nên với mỗi số phức z 0 có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun và Argument nhận các giá trị ứng với k 0, 1, , n 1. Vì vậy các căn bậc n nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính n . r y 4 Ví dụ 1.11: Tính 1 i 1 0 Giải: 1 i 2 cos i sin . 4 4 4 Các căn bậc 4 tương ứng là: O 2 x 2 8 0 2 cos i sin ,  16 16 3 8 Hình 1.5: Các cn bc bn 4 1 i 1 2cos( ) i sin( ) i  0 , 16 2 16 2 8 y 2 2cos( ) i sin( )  0 , 16 16 i 3 3 8  3 2cos( ) i sin( ) i  0 . 1 0 16 2 16 2 4 Ví dụ 1.12: Giải phương trình z 4 1 0 O 1 x Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 của 1 cos i sin tương ứng là: 2 3 1 i 0 cos i sin , 4 4 2 Hình 1.6: Các cn bc bn 4 1 1 i 1 i 1 i 1 i  0 , 2  0 , 3 i  0 . 2 2 2 1.1.2 Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức Trong 1.1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức  bằng cách đồng nhất mỗi số phức z x iy với điểm M có tọa độ (;)x y trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt khác nếu ta dựng mặt cầu ()S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm  là giao điểm của tia Pz và mặt cầu ()S , P là điểm cực bắc của ()S .
7. Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu ()S ngoại trừ điểm cực bắc P. P (S )  O y x z Hình 1.7: Mt cu phc Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng . Tập hợp số phức  thêm số phức vô cùng được gọi là tập số phức mở rộng  . Như vậy toàn bộ mặt cầu ()S là một biểu diễn hình học của tập số phức mở rộng. z Quy ước: (z 0), z  ( z 0), z , z . 0 1.1.3 Lân cận, miền A. Lân cận Khái niệm  lân cận của một điểm trong mặt phẳng phức được định nghĩa hoàn toàn tương tự với  lân cận trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng  .  lân cận của z0  và N lân cận  lần lượt là B z0 z  z z 0  (1.27) BN z  z N    (1.28) B. Điểm trong, tập mở Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm z0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E . Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. C. Điểm biên Điểm z1 , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của z1 đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E . Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu E .
8. Hình tròn mở z  z z0 r và phần bù của hình tròn đóng z  z z0 r là các tập mở có biên lần lượt là z  z z0 r và z  z z0 r   . Hình tròn đóng z  z z0 r không phải là tập mở vì các điểm trên biên z z0 r không phải là điểm trong. D. Tập liên thông, miền Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường liên tục nằm hoàn toàn trongD . Một tập mở và liên thông được gọi là miền. Miền D cùng biên D của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu D , vậy DDD   . Miền chỉ có một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên. Ta chỉ xét các miền hoặc miền đóng có biên là đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó thì miền D ở bên tay trái. Miền D được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại R 0 sao cho z R,  z D . 1.2 HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con D của  hoặc  là một quy luật cho tương ứng mỗi số phức z D với một hoặc nhiều số phức w , ta ký hiệu w f( z ), z D . Biến z được gọi là biến độc lập hay đối số, còn w là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. Nếu với mỗi z chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị w thì f() z được gọi là hàm đơn trị, lúc này f là ánh xạ từ D vào  hoặc  . Trường hợp ngược lại f được gọi là hàm đa trị. Hàm số w f( z ) z 2 3 là một hàm đơn trị, còn hàm số w f() z 3 z là một hàm đa trị. Tập D trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định D là một miền, vì vậy D được gọi là miền xác định. Thông thường người ta cho hàm biến phức dưới dạng công thức xác định ảnh f() z , khi đó miền xác định D là tập các số phức z sao cho biểu thức f() z có nghĩa. z Hàm số w f() z có miền xác định là D z  z i  . z 2 1
9. Một hàm biến phức có thể được biểu diễn bởi hai hàm thực của hai biến (,)x y như sau: w f()() z f x iy u u(,) x y ; (1.29) w u iv uxy ( , ) ivxy ( , ) v v(,) x y Chẳng hạn, hàm số wfzz ( ) 2 3 ( xiy ) 2 3 ( xy 2 2 3) ixy 2 có 2 2 u x y 3 . v 2 xy Trường hợp hàm biến phức biến số thực, nghĩa là miền xác định D   , ta ký hiệu w f() t , biến số là t thay cho biến số z . Trường hợp miền xác định D là tập số tự nhiên hoặc tập con của tập số tự nhiên  thì ta có dãy số phức z f( n ), n  , ta ký hiệu dãy số là z hay z . n n n  n n 0 Nếu zn f( n ); n  , n n0 , ta ký hiệu zn . n n0 1.2.2 Giới hạn, liên tục Định nghĩa 1.2: Dãy số phức z hội tụ về số phứcL , ký hiệu lim z L , nếu n n 0 n n limzn L 0 , nghĩa là n  0, N 0 : n N zn L  (1.30) Dãy số z có giới hạn là , ký hiệu lim z , nếu n n 0 n n A 0,  N 0 :  n N zn A (1.31) Giả sử zn x n iy n , L a ib . Khi đó từ (1.23) suy ra rằng lim xn a lim z L n (1.32) n lim y b n n n Thật vậy: lim xn a Từ bất đẳng thức z L x a y b suy ra n lim z L . n n n lim y b n n n n
10. lim x a x a z L n n n Bất đẳng thức suy ra lim z L n . y b z L n lim y b n n n n n Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm biến phức w f() z xác định trong một lân cận của z0 có giới hạn là L khi z tiến đến z0 , ký hiệu limf ( z ) L , nếu với mọi lân cận BL tồn tại lân z z0 cận B z0 sao cho với mọi z B z0 , z z 0 thì f() z B L . Định nghĩa này phát biểu cho tất cả các trường hợp z0 , L là các số phức hữu hạn hoặc . Cụ thể: Trường hợp z0 , L  là hai số phức hữu hạn: limf z L    0,  0 : z , 0 z z0  f z L  (1.33) z z0 Từ (1.23), (1.27) và tương tự (1.32) ta có: limu ( x , y ) u 0 (,)(,)x y x0 y 0 lim f z L (1.34) limv ( x , y ) v 0 z z0 (,)(,)x y x y 0 0 Trong đó z xiyz ,,0 x 0 iy 0 L u 0 iv 0 . Trường hợp z0 , L  : limf z    L 0, N 0 : z , z N f z L  (1.35) z Trường hợp z0 , L : limf z   N 0, 0 :  z , 0 z z0  f z N (1.36) z z0 Trường hợp z0 , L : limf z    M 0, N 0 : z , z N f z M (1.37) z Định lý 1.1: lim f z L khi và chỉ khi với mọi dãy z , z z thì f z L . n n 1 n 0 n z z0 Như vậy giới hạn của hàm số khi z z0 không phụ thuộc vào đường đi khi z tiến đến z0 . Định nghĩa 1.4: Hàm biến phức w f z xác định trong miền chứa điểm z0 được gọi là liên tục tại z0 nếu lim f z f z0 . z z0
11. Hàm biến phức w f z liên tục tại mọi điểm của miền D được gọi là liên tục trong D . Từ (1.34) suy ra rằng một hàm biến phức liên tục khi và chỉ khi hai hàm thực hai biến xác định bởi (1.29) là liên tục. Do đó ta có thể áp dụng các tính chất liên tục của hàm thực hai biến cho tính chất liên tục của hàm biến phức. 1.2.3 Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann Giả sử z x iy là một điểm thuộc miền xác định D của hàm biến phức đơn trị w f z . Với số gia của biến z x i y thỏa mãn z z D , ta được số gia của hàm w f()() z z f z . w Định nghĩa 1.5: Nếu có giới hạn hữu hạn khi z 0 thì ta nói hàm w f z khả vi z (hay có đạo hàm) tại z , giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại z , ký hiệu f' z hoặc w' z . Vậy f()() z z f z f' z lim (1.38) z 0 z Rõ ràng nếu hàm số có đạo hàm tại z thì liên tục tại z . Ví dụ 1.13: Cho w z2 C , tính w' z . 2 2 2 w Giải: wzzCzCzzz ( ) 2 2 zz , z w Do đó w' z lim lim 2 z z 2 z . z 0 z z 0 Định lý 1.2: Nếu hàm biến phức w f()(,)(,) z u x y iv x y khả vi tại z x iy thì phần thực u(,) x y và phần ảo v(,) x y có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (,)x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann: u  v (,)(,)x y x y x  y (1.39) u  v (,)(,)x y x y y  x Ngược lại, nếu phần thực u(,) x y , phần ảo v(,) x y khả vi tại (,)x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w f() z khả vi tại z x iy và u  v  v  u fz'(,)(,)(,)(,) xyi xy xyi xy . (1.40) x  x  y  y Chứng minh: Hàm biến phức w f() z có đạo hàm tại z x iy , do đó tồn tại giới hạn w f' z lim z 0 z
12. không phụ thuộc đường đi của z tiến đến 0 . Xét trường hợp z x ta có: ux(,)(,)(,)(,) xy uxy ivx xy vxy f' z lim x 0 x u  v x,, y i x y (1.41) x  x Tương tự nếu z i y thì: uxy(,)(,)(,)(,) y uxy ivxy y vxy f' z lim y 0 i y 1 u  v  v  u (,)(,)(,)(,)x y x y x y i x y (1.42) i y  y  y  y So sánh (1.41)-(1.42) ta có điều kiện (1.39). Ngược lại, từ giả thiết u(,) x y , v(,) x y khả vi tại (,)x y suy ra u  u u x y  z x  y 1 v  v v x y  z x  y 2 2 2 trong đó z x y và 1,  2 0 khi z 0 . u  u  v  v x y i x y 1 i  2 z w u i v x  y  x  y Do đó z x i y x i y u  v  u  v Thay (,)x y (,), x y (,) x y (,) x y x  y  y  x w  u  v z  u  v Ta được i 1 i  2 i , khi z 0. z  x  x z  x  x Ví dụ 1.14: Hàm w z2 C ( x 2 y 2 ) C i (2 xy ) ở ví dụ 1.13 có u  v 2x x  y , u  v 2y y  x do đó hàm khả vi tại mọi điểm và w' z 2 x i 2 y 2 z . u  v Ví dụ 1.15: Hàm w z x iy có 1, 1 , các đạo hàm riêng không thỏa x  y mãn điều kiện Cauchy-Riemann, do đó hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào.
13. Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w f() z khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích (analytic) hay chỉnh hình (holomorphe) tại z . Nếu f() z khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f() z giải tích trong D. f() z giải tích trong miền đóng D nếu nó giải tích trong một miền chứa D . Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm biến phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm thực và công thức tính đạo hàm của biến phức có thể tính qua các đạo hàm riêng (1.40), vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với hàm biến phức. Cụ thể f()()()() z g z f z g z . (1.43) fzgz()()' fzgz '()() fzgz ()'(). (1.44) f() z f '()() z g z f ()'() z g z ,g ( z ) 0 . (1.45) 2 g() z g() z f u( z ) f '( u ). u '( z ). (1.46) 1.2.4 Các hàm biến phức sơ cấp cơ bản A. Hàm lũy thừa w zn , n nguyên dương 2. Hàm số lũy thừa xác định và giải tích với mọi z , có đạo hàm w nz n 1 . Nếu z r cos i sin thì w rn cos n i sin n . Vậy ảnh của đường tròn z R là đường tròn w Rn . Ảnh cúa tia Argz k 2 là tia Argw n k 2 . 2 Ảnh cúa hình quạt 0 argz là mặt phẳng w bỏ đi trục thực dương. n v y 2 n u O x Mt phng Z Mt phng W Hình 1.8: nh hình qut qua hàm ly tha
14. B. Hàm căn w n z Hàm căn bậc n : w n z là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n . Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n , vì vậy hàm căn là một hàm đa trị. C. Hàm mũ w ez Từ công thức Euler (1.16) ta có thể định nghĩa hàm mũ xác định như sau w ez e x iy e x e iy e x cos y i sin y (1.47)  ez e x, Arg( e z ) y k 2 .  Hàm mũ giải tích tại mọi điểm và ez e z . v y x a b y b a O e u O x Mt phng Mt Hình 1.9: nh ng thng qua hàm m z z z z z e 1 z z n  e1 e 2 e 1 2 , e 1 2 , ez e nz , ez ik2 e z ,  k . (1.48) z e 2 i  e0 1 , e2 i , ei 1 .  Qua phép biến hình w ez , ảnh của đường thẳng x a là đường tròn w ea , ảnh của đường thẳng y b là tia Argw b k 2 . Ảnh của băng 0 y 2 là mặt phẳng w bỏ đi nửa trục thực dương. D. Hàm lôgarit Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ xác định như sau: w Ln z z ew u e z w Ln zuiv zee w u iv e u cos viv sin v arg z k 2 Rew ln z w Ln z (1.49) Imw arg z k 2
15. Điều này chứng tỏ hàm lôgarit phức là hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của w , những giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau bội số nguyên của 2 . Ứng với mỗi k ở trên ta có một nhánh của hàm lôgarit. Để tiện cho việc khảo sát, đôi khi người ta tách hàm w Ln z thành các nhánh đơn trị như sau. Trong công thức (1.49) nếu ta cố định k k0 khi đó w ln z i arg z k0 2 trở thành một nhánh đơn trị của hàm lôgarit. Nhánh này biến miền arg z của mặt phẳng Z thành băng 2k0 1 Im w 2 k 0 1 của mặt phẳng W. Nhánh đơn trị ứng với k 0 được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu lnz . Vậy lnz ln z i arg z trong đó ln ở vế trái là hàm lôgarit chính biến phức và ln ở vế phải là hàm lôgarit biến thực. . Ln 1 ln 1 i arg( 1) k 2 2 k 1 i và ln 1 i . z . Lnz z Ln z Ln z ,Ln 1 Ln z Ln z ,Ln zn n Ln z . 1 2 1 2 1 2 z2 Các nhánh đơn trị của hàm lôgarit giải tích trên nửa mặt phẳng phức Z bỏ đi nửa trục thực âm (x 0). Ví dụ 1.16: Tìm lôgarit chính của 1 i . i Giải: Vì 1 i 2 e 4 , do đó ln(1 i ) ln 2 i . 4 E. Các hàm lượng giác phức Mở rộng công thức Euler (1.17) cho các đối số phức ta được các hàm lượng giác phức eiz e iz e iz e iz cosz , sin z ;  z  (1.50) 2 2i sinz cos z tanz , z 21;cot k z ; z k . cosz 2 sin z Tính chất 1.3: Các hàm lượng giác phức còn giữ được nhiều tính chất của hàm lượng giác thực. . Hàm cosz , sin z tuần hoàn chu kỳ 2 , hàm tanz , cot z tuần hoàn chu kỳ . . Các hàm lượng giác phức giải tích trong miền xác định sinz cos z , cos z sin z 1 1 tanz , cot z . cos2z sin 2 z . cos2z sin 2 z 1;  z 