Giáo trình Toán cơ sở (Phần 2) - Phạm Thị Hải Châu

Nội dung text: Giáo trình Toán cơ sở (Phần 2) - Phạm Thị Hải Châu

1. 0’ = 1 1’ = 2 2’ = 3 ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, BÀI TẬP 1. Cho A, B, A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1. Bằng cách chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng: a) A B  B A b) A B  A1 B1 . 2. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các số tự nhiên là tập vô hạn. 3. Cho a, b N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ . HD chương II 1. a) Tồn tại song ánh f: A B B A (a,b) (b,a) nên A B  B A. Dễ dàng chứng minh được f là song ánh. b) do A  A1, B  B1 nên có các song ánh f: A A1 và g: B B1 a a’ b b’ Do đó tồn tại song ánh h: A B A1 B1 (a,b) (a’ , b’) nên A B  A1 B1. Dễ dàng chứng minh được h là song ánh. 2. Ký hiệu N là tập hợp tất cả các số tự nhiên và 2N là tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2. Xét ánh xạ f: N 2N n 2n Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh nên ta có N  2N. Ta thấy 2N là một tập con thực sự của N. Vậy ta suy ra N tương đương với một tập con thực sự của nó nên N là tập vô hạn. 3. 45
2. §4. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên. Cho a, b N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Ta có các định nghĩa sau: a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A  B = . Khi đó ta gọi tổng của a và b, ký hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau: a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A  B). Chú ý: - Do A  B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A  B) N hay a+b N. Vậy tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a + b = card(A  B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a + b = Card(A1  B1) (Vì A  B  A1  B1). Ví dụ: Tính 0 + 1. Ta có 0 = Card(), 1 = Card({a}) và   {a} = . Do đó: 0 + 1 = Card(  {a}) = Card({a}) = 1. Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1. b) Định nghĩa phép nhân. Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab), là phần tử được xác định như sau: a.b = CardA.CardB = Card (A B). Chú ý: - Do A B cũng là tập hữu hạn nên Card(A B) N hay a.b N. Vậy tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a.b = Card(A B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a.b = Card(A1 B1) (Vì A B  A1 B1). 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân. a) Tính chất của phép cộng. a, b, c N ta có: (i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a. (ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c. (iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a. Chứng minh. 46
3. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Do A  B = B  A nên Card(A  B) = Card(B  A) hay a + b = b + a. (ii) Do A  (B  C) = (A  B)  C (Phép hợp các tập hợp có tính chất kết hợp) nên Card(A  (B  C)) = Card((A  B)  C). Vì vậy Card(A) + Card(B  C) = Card(A  B) + Card(C) hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c. (iii) Vì 0 = Card(), A   =  và A   =   A = A nên ta có: Card(A  ) = Card(  A) = Card(A) nên a + 0 = 0 + a = a, a N. Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh. b) Tính chất của phép nhân. a, b, c N ta có: (i) Tính chất giao hoán: ab = ba. (ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c. (iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a. Chứng minh. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Xét ánh xạ f : A B B A (x,y) (y,x). Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra A B  B A. Do đó Card(A B) = Card(B A) hay ab = ba. (ii) Xét ánh xạ f : A (B C) (A B) C (x,(y,z)) ((x,y),z). Ta thấy f là một song ánh, do đó A (B C)  (A B) C. Nên ta có: card(A (B C)) = card((A B) C), suy ra CardA Card(B C) = Card(A B) Card(C), hay a(bc) = (ab)c. (iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ f : {x} A A (x,y) y , y A. Dễ thấy f là song ánh, do đó {x} A ~ A, suy ra 47
4. Card({x} A) = Card(A), do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a. Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh. c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c N ta có: a( b+c) = ab + ac. Chứng minh. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). Trước tiên ta chứng minh A (B  C) = (A B)  (A C). Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y) A (BC), suy ra x A và y BC. Khi đó: Nếu x A và y B thì (x,y) A B nên ta có (x,y) (A B)  (A C). Nếu x A và y C thì (x,y) A C nên ta có (x,y) (A B)  (A C). Vậy luôn có (x,y) ( A B )  ( A C ). Suy ra A ( B  C )  ( A B )  ( A C ) (1). Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y) (A B)  (A C), suy ra (x,y) A B hoặc (x,y) A C. Do đó x A và y B hoặc y C, nên ta có (x,y) A (BC). Suy ra (A B  (A C)  A (B  C) (2). Từ (1) và (2) ta được: A ( BC ) = ( A B )  ( A C ), suy ra Card(A (BC)) = Card((A B)  (A C)), Card(A) Card(B  C) = Card(A B) + Card(A C) , Card(A) (Card(B) + Card(C)) = Card(A) Card(B) + Card(A) Card(C) Card(A) Card(B  C) = Card(A B) + Card(A C) a(b+c) = ab + ac (đpcm) Chú ý: - Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết: 48
5. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c và gọi đây là tổng của ba số a, b, c; (ab)c = a(bc) = abc và gọi đây là tích của ba số a, b, c. - Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của nhiều số: a1 + a2 + + an ; a1.a2 an. Trong trường hợp đặc biệt a1 = a2 = =an = a, ta có tích a.a a (n lần) và gọi đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an. 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân. a, b, c N ta có: (i) a a + b. (ii) a ab. (iii) a b khi và chỉ khi a + c b + c. (iv) Nếu c 0 thì a b khi và chỉ khi ac bc. Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa phép toán . 4.4. Phép trừ và phép chia. a) Phép trừ. Định nghĩa. Cho a, b N. Nếu tồn tại x N sao cho x + b = a thì x được gọi là hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b. Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ. Điều kiện có hiệu. Cho a, b N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a – b là b a. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b b + (a – b) =a. Điều kiện đủ. Giả sử b a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho Card(A) = a, Card(B) = b và B  A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự nhiên: a- b = Card(A\B). b) Phép chia hết. Định nghĩa. Cho a, b N và b 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a  b. Khi đó ta cũng nói b chia hết a, ký hiệu là ba. c) Phép chia có dư. 49
6. Định lý. a, b  và b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q, r  sao cho a = bq + r , trong đó 0 r < b. Chứng minh. - Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a: M = {x N x = bx a}. M  vì 0 M. Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn nhất, chẳng hạn phần tử lớn nhất là x0 = bq. Vì b 0 nên bq < bq + b = b(q + 1). b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1) M và a < b(q + 1) = bq + b. Như vậy ta có bq a < bq + b. Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0 r < b. Như vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q. - Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q1, r1  sao cho a = bq1 + r1 và 0 r1 < b. Như vậy: a = bq + r = bq1 + r1 , 0 r < b, 0 r1 < b. Giả sử r1 r, ta có thể viết: bq + (r – r1) = bq1. Đẳng thức này cho ta thấy r – r1  b , nhưng 0 r – r1 < b nên bắt buộc r– r1 = 0 hay r = r1. Từ đó suy ra q = q1. Tính duy nhất đã đươc chứng minh. b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia có dư của a cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư. Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0. BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng: a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. b) a + b = 0 khi và chỉ khi a = 0 và b = 0. 2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng. a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A B. Từ đó suy ra tính chất: a ab, a, b N, b 0. b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a a + b, a, b N. 3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính đều thực hiện được): 50
7. a) a – b = (a + c) – (b + c). b) a – b = (a – c) – (b – c). c) a – (b + c) = (a – b) – c. d) a + (b – c) = (a + b) – c. e) a – (b – c) = (a + c) – b. HD chương II 1. Giả sử A, B là các tập sao cho CardA=a và CardB=b. a) Do a.b = 0 tức là CardA.CardB = 0 Card(A B) = 0 A B =  A =  hoặc B =  a = CardA = Card = 0 hoặc b = CardB = Card = 0 (đpcm). b)Do a+b = 0 tức là CardA+CardB = 0 Card(AB) = 0 AB =  A =  và B =  a = CardA = Card = 0 và b = CardB = Card = 0 (đpcm). 2. a) A tương đương với một tập con của A B là tập hợp A {x} (với x là một phần tử thuộc tập hợp B). Thật vậy, tồn tại song ánh: f : A A {x} a (a, x) * Với hai số a, b N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó ab=Card(A B) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của A B, ta suy ra a ab , a, b N, b 0. b) A luôn tương đương với chính tập hợp A là một tập con của AB. Thật vậy, tồn tại song ánh là ánh xạ đồng nhất: 1A : A A a a * Với hai số a, b N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó a+b=Card(AB) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B bất kỳ khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của AB, ta suy ra a a+b , a, b N. 3. 51
8. B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG II I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương II đề cập đến một số vấn đề về số tự nhiên nhằm những mục đích sau : 1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản của số tự nhiên như: khái niệm hai tập hợp tương đương, tập hữu hạn, tập vô hạn, số tự nhiên, các phép toán của số tự nhiên; bên cạnh các khái niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ hơn về số tự nhiên, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán cho trẻ. 2. Rèn luyện cho người học sử dụng chính xác và thành thạo các ký hiệu và ngôn ngữ của số tự nhiên. II. NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ - Các vấn đề liên quan đến tập hợp: khái niệm, quan hệ bao hàm, hai tập bằng nhau, các phép toán, tích Đề các của hai tập hợp. - Khái niệm và các tính chất của: ánh xạ, ánh xạ là song ánh, tích các ánh xạ, ánh xạ ngược. III. YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT 3.1. Về khái niệm, học viên cần nắm được - Khái niệm về hai tập hợp tương đương - Khái niệm tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn - Khái niệm bản số, số tự nhiên, quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên, số tự nhiên liền sau - Định nghĩa về các phép toán trên số tự nhiên: phép cộng, phép nhân, phép trừ, phép chia hết và phép chia có dư. 3.2. Về các tính chất, học viên cần nắm được : - Các tính chất của quan hệ tương đương giữa hai tập hợp - Một số tính chất của tập hợp hữu hạn - Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân số tự nhiên. IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 4.1. Chứng minh hai tập hợp đã cho là tương đương với nhau Với dạng bài tập này, ta cần phải chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ một trong hai tập đến tập còn lại (Chỉ ra ánh xạ và chứng minh được nó là một song ánh). 53
9. 4.2. Chứng minh một tập hợp đã cho là tập hợp vô hạn Để chứng minh một tập hợp nào đó là tập hợp vô hạn, có hai cách: Cách 1: Ta cần chứng minh tập hợp đó tương đương với một tập con thực sự của nó. Muốn vậy ta cần thực hiện theo các bước: - Xác định được tập con thực sự mà ta dự đoán tập đã cho sẽ tương đương với tập con này - Chỉ ra được một ánh xạ là song ánh từ tập hợp đã cho đến tập con nói trên (hoặc ngược lại) Cách 2: Chứng minh tập hợp đã cho tương đương với một tập vô hạn. Cần thực hiện các bước: - Xác định được tập hợp vô hạn mà theo dự đoán tập này sẽ tương đương với tập hợp đã cho - Chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ tập vừa xác định đến tập đã cho (hoặc ngược lại) 4.3. Chứng minh một đẳng thức về các phép toán cộng, trừ và nhân các số tự nhiên. Với dạng toán này chúng ta cần sử dụng các định nghĩa về các phép toán cộng, trừ, nhân (định nghĩa thông qua bản số của tập hợp). Đồng thời cần nắm được các tính chất về các phép toán của tập hợp (phép giao, phép hợp và phép trừ). V. CÂU HỎI ÔN TẬP 5.1. Nêu định nghĩa hai tập hợp tương đương với nhau. Cho ví dụ minh họa 5.2. Để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau ta cần thực hiện như thế nào ? 5.3. Nêu định nghĩa tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.4. Nêu và chứng minh các tính chất của tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.5. Định nghĩa số tự nhiên, số tự nhiên liền sau 5.6. Nêu các định nghĩa về các phép toán cộng, từ, nhân, chia trên số tự nhiên 5.7. Nêu và chứng minh các tính chất về phép toán cộng, phép toán nhân các số tự nhiên. 54
10. Chương III : CÁC HÌNH HÌNH HỌC A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÌNH HÌNH HỌC Trong chương này, xem như không gian Ơclit đẫ được xây dựng, nó là tập hợp nhiững phần tử gọi là những điểm, mỗi đường thẳng là một tập con của không gian. Đó cũng là những ví dụ đầ tiên về các hình hình học. 1.1. Định nghĩa. Hình hình học là một tập khác rỗng những điểm của không gian. Hình mà mọi điểm của nó cùng thuộc một mặt phẳng gọi là hình phẳng. Tập những điểm ở giữa hai điểm phân biệt A, B gọi là đoạn thẳng mở với hai mút A, B. Đoạn thẳng mở cùng với hai mút của nó gọi là đoạn thẳng đóng. Để ý rằng mỗi đoạn thẳng hoàn toàn được xác định bởi hai mút của nó. Mỗi điểm cũng có thể xem là đoạn thẳng với hai mút của nó trùng nhau, đó là một quy ước giúp cho việc đơn giản một số lý luận về sau. Mỗi điểm O trên đường thẳng xx’ phân hoạch tập điểm khác O của xx’ thành hai lớp sao cho: - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không chứa điểm O. - Mọi đoạn thẳng đóng có hai mút huộc hai lớp đều chứa điểm O. Mỗi lớp cùng với điểm O gọi là một tia (nửa đường thẳng) gốc O. Cũng tương tự như thế: Mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phân hoạch tập điểm còn lại của mặt phẳng thành hai lớp sao cho: - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không cắt đường thẳng. - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút thuộc hai lớp đều cắt đường thẳng. Mỗi lớp như vậy gọi là nửa mặt phẳng mở có bờ chung là đường thẳng đó. Mỗi nửa mặt phẳng mở cùng với bờ của nó gọi là nửa mặt phẳng (đóng). 55
11. Góc phẳng là hình gồm hai tia có gốc chung, mỗi tia được gọi là cạnh của góc. x O y Nếu hai tia không đối nhau thì mỗi đường thẳng chứa một tia tạo thành hai nửa mặt phẳng. Giao của hai nửa mặt phẳng chứa một tia và có bờ chứa tia kia tạo thành một hình gọi là miền góc lồi. Mỗi điểm của miền góc lồi không thuộc hai cạnh gọi là điểm trong của góc lồi. Điểm của mặt phẳng không thuộc miền góc lồi gọi là điểm ngoài của góc đó, tập các điểm ngoài của một góc lồi cùng với hai cạnh được gọi là miền góc lõm. Góc có hai cạnh là hai tia đối gọi là góc bẹt. Đó là những ví dụ đầu tiên và quan trọng về các hình phẳng. 1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng. Một hình có thể được xác định bằng tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc nó. Ví dụ: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp (quỹ tích) những điểm cách O một khoảng bằng R. Nếu ký hiệu đường tròn đó là C(O,R) và độ dài đoạn OM là l(OM) thì: M C(OM) l(OM) =R. Điểm có khoảng cách đến tâm O của đường trong nhỏ hơn (lớn hơn) bán kính R gọi là điểm trong (tương ứng: điểm ngoài) đường tròn. Tập các điểm trong của đường tròn C gọi là hình tròn mở nhận C làm biên, hình tròn mở cùng với biên của nó được gọi là hình tròn (đóng). Trong hình học sơ cấp, ta thường gặp các bài toán tìm hình biết các tính chất đặc trưng của các phần tử của nó, đó chính là các bài toán quỹ tích. 56
12. §2. TAM GIÁC 2.1. Định nghĩa. Hình tam giác là giao của ba nửa mặt phẳng có bờ đôi một cắt nhau nhưng không đồng quy và mỗi nửa mặt phẳng chứa giao điểm của hai bờ kia. Mỗi giao điểm của hai đường thẳng bờ gọi là đỉnh, mỗi đoạn thẳng của bờ nối hai đỉnh gọi A là cạnh của tam giác. Tập các cạnh của tam giác gọi là biên (hay chu tuyến) của tam giác, đó là ranh giới tập B C những điểm mà xung quanh nó có cả những điểm của tam giác, cả những điểm không thuộc tam giác. Để ý rằng: tam giác được hoàn toàn xác định bởi biên, thậm chí bởi ba đỉnh của nó và vì biên của tam giác đơn giản, dễ xác định nên nhiều khi người ta cũng có thể định nghĩa: - Tam giác là tập ba đoạn thẳng không cùng thuộc một đường thẳng, đôi một có mút chung. - Ta giác là tập ba điểm không thẳng hàng. Đôi khi người ta cũng coi ba điểm thẳng hàng là đỉnh của một tam giác (trường hợp suy biến). Tại mỗi đỉnh của tam giác, ta có một miền góc lồi chứa tam giác, nó được gọi là góc trong của tam giác. Mỗi góc kề bù với một góc trong của tam giác gọi là góc ngoài của nó. Chúng ta nhắc lại ở đây một số định lý cơ bản của “Hình học trong tam giác”. Có thể dễ dàng thấy các chứng minh của chúng trong sách giáo khoa hình học phổ thông. Định lý 1. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180o. Định lý 2. Trong tam giác, hai góc đối diện với hai cạnh bằng nhau thì bằng nhau (tam giác cân), góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn. Định lý 3. Mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh kia (Bất đẳng thức tam giác). Ngược lại, bất cứ ba đoạn thẳng mà mỗi đoạn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai đoạn kia đều là các cạnh của một tam giác xác định. Ta thường gọi: 57
13. - Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông. - Tam giác có một góc tù là tam giác tù. - Tam giác có cả ba nhọn là tam giác nhọn. - Tam giác có ba cạnh (hoặc ba góc) bằng nhau là tam giác đều. Ví dụ: Cho hai điểm A, B ở về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy tìm trên d điểm C để cho AC + BC ngắn nhất. Giải. Lấy điểm D đối xứng vơi A qua d. A Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ thuộc d ta có MA = MD, do đó B MA + MB = MD + MB. d M Mà trong tam giác MBD ta luôn có MD + MB BD, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M D BD. Suy ra MA + MB sẽ ngắn nhất khi M BD. Vậy điểm C cần tìm phải là giao điểm của d với đoạn BD. 2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác. - Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. - Đường cao của tam giác là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm cạnh đối diện đỉnh đó. - Tia phân giác (trong hay ngoài) là tia xuất phát từ một đỉnh và chia góc (trong hay ngoài) của đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Đường thẳng chứa tia phân giác (trong hay ngoài) gọi là đường phân giác (trong hay ngoài) của tam giác. Định lý 4. Trong mỗi tam giác: a) Ba đường trung tuyến đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trọng tâm của tam giác. b) Ba đường cao đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của tam giác. c) Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( là đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác). 58
14. d) Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác (đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác). e) Đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của hai góc còn lại đồng quy tại tâm đường tròn bàng tiếp (đường tròn nằm ngoài tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác). §3. ĐA GIÁC Ta đã thấy, tam giác là một “mảnh” của mặt phẳng được bao bọc bởi ba đoạn thẳng. Đó cũng là một lớp hình riêng của lớp hình rộng hơn gọi là đa giác. 3.1. Đường gấp khúc. Cho n điểm phân biệt A1, A2, , An. Tập các đoạn thẳng A1A2, A2A3, , An-1An được gọi là đường gấp khúc. A2 A5 A1 A4 A 6 A7 A3 Mỗi điểm trong n điểm trên gọi là một đỉnh, mỗi đoạn thẳng trong tập n-1 đoạn trên gọi là một cạnh (hay một đốt) của đường gấp khúc. Ta ký hiệu đường gấp khúc như vậy là A1A2 An. Nếu điểm đầu A1  A và điểm cuối An  B ta nói đường gấp khúc đó nối A với A. Với hai điểm A, B bất kỳ, có vô số đường gấp khúc nối hai điểm đó. Đoạn thẳng AB là một đường gấp khúc, nó là đường đi ngắn nhất từ A đến B. Chính xác hơn là: Mọi đường gấp khúc nối hai điểm A, B có tổng độ dài các đốt không nhỏ hơn độ dài đoạn AB. Ta gọi tổng độ dài các đốt của đường gấp khúc là độ dài của nó. Độ dài đường gấp khúc nối A, B ngắn nhất khi và chỉ khi các đỉnh của nó đều thuộc đoạn AB và sắp xếp theo thứ tự A1  A, A2, , An  B (nghĩa là A2 ở giữa A1, A3; A3 ở giữa A2, A4; ; An-1 ở giữa An-2, An). 3.2. Đa giác. 59