Giáo trình Toán cơ sở (Phần 1) - Phạm Thị Hải Châu

Nội dung text: Giáo trình Toán cơ sở (Phần 1) - Phạm Thị Hải Châu

1. - Nếu A và B là các tập hơp rời nhau (A  B = ) thì A\ B = A và B \ A = B. - Hiệu của hai tập hợp nói chung không có tính đối xứng, tức là A\ B B \ A. - Trong trường hợp B  A thì A\ B còn được ký hiệu là CBA và gọi là phần bù của B trong A. Chẳng hạn, nếu xét trong tập hợp số tự nhiên N thì phần bù của tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập hợp các số tự nhiên lẻ. - Từ định nghĩa phép trừ ta có thể viết: x A\ B x A hoặc x B. 3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao. Định lý. Với các tập hợp A, B, C tùy ý ta có: A\ ( B  C ) = ( A\ B )  ( A\ C ) (1), A\ ( B  C ) = ( A\ B )  ( A\ C ) (2). Chứng minh (1). Giả sử x A\ ( B  C ). Điều đó có nghĩa là x A và x B  C . Vì x B  C nên x B và x C. Như vậy x A, x B và x C. Từ đó suy ra x A\ B và x A\ C, nghĩa là x ( A\ B )  ( A\ C ). Ngược lại, giả sử x ( A\ B )  ( A\ C ). Điều đó có nghĩa là x A\ B và x A\ C. Suy ra x A, x B và x C. Tức là x A và x B  C. Do đó x A\ ( B  C ). Chứng minh đẳng thức (2) tương tự. BÀI TẬP 1. A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8. Tìm A  B, A  B, A\ B, B\ A. 2. Cho A = {x 8x59}, B = {x 514x 3}. Tìm AB. AB, A\B, B\A. 3. Trong tập hợp P các điểm của mặt phẳng, cho hai điểm A, B và trung điểm O của AB. Gọi X là tập hợp các điểm M sao cho MA MB; AB Y là tập hợp các điểm M sao cho OM . 2 Hãy xác định các tập X  Y, X  Y, X\Y, Y\ X trên hình vẽ. 11
2. 4. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Hãy minh hoạ đẳng thức sau bằng hình vẽ và sau đó chứng minh: a) A\ B ) = A \ ( A  B ) b) A  ( B\ C ) = ( A  B )\ C 5. Cho hai tập tùy ý A, B. Chứng minh rằng: a) A  B = A khi và chỉ khi A  B. b) A  B = B khi và chỉ khi A  B. 6. Thống kê tình hình tự bồi dưỡng trình độ trong 100 giáo viên cho thấy: 33 người học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồi dưỡng chuyên môn. Trong số đó có 8 người vừa học ngoại ngữ vừa học tin học, 10 người vừa bồi dưỡng chuyên môn vừa học ngoại ngữ, 5 người vừa học tin học vừa bồi dưỡng chuyên môn và 3 người bồi dưỡng cả 3 môn. Hỏi có bao nhiêu người chỉ học ngoại ngữ, chỉ học tin học, chỉ bồi dưỡng chuyên môn và bao nhiêu người không bồi dưỡng môn nào? §4. QUAN HỆ 4.1. Tích Đề các của các tập hợp. a) Căp sắp thứ tự. Cho a, b là hai đối tượng bất kỳ. Từ hai đối tượng này ta thành lập được một đối tượng mới, ký hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b). Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d. Như vậy, nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp khác nhau. Điều đó nói lên rằng, trong một cặp người ta có thể xét đến thứ tự của các vật: (a, b) là một cặp sắp thứ tự hai phần tử a và b, a là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng sau. b) Tích Đề các. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Tích Đề các của A và B là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a,b), trong đó a A và b B, ký hiệu là A B. Ta có thể viết: A B = {(a, b) a A, b B}. Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {m, n}, khi đó A B = {(a, m), (b, m), (c, m), (a, n), (b, n), (c, n)}, 12
3. B A = {(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c)}. Chú ý: - Tích Đề các nói chung không có tính chất giao hoán: nếu A B thì A B B A. - Tích Đề các không có tính chất kết hợp: với ba tập hợp A, B, C khác rỗng ta có ( A B ) C A ( B C ). - Trong trường hợp A = B thì A A còn được ký hiệu là A2 và gọi là bình phương Đề các của A. - Ta có thể mở rộng định nghĩa tích Đề các cho nhiều tập hợp: tích Đề các của n tập hợp A1, A2, ,An là tập hợp tất cả các phần tử có thứ tự (a1, a2, ,an), trong đó a1 A1, a2 A2, , an An. 4.2. Quan hệ hai ngôi. Định nghĩa. Cho A là tập hợp tùy ý khác rỗng. Mỗi tập con S của bình phương Đề các A A gọi là một quan hệ hai ngôi trên A. Nếu (a, b) S thì ta nói a có quan hệ S với b và viết aSb. Như vậy a, b A, aSb (a, b) S. Ví dụ: 1) Trên tập hợp các số nguyên Z, quan hệ “bé thua hoặc bằng” xác định bởi tập con 2 S1 = {(a, b) Z a b}. 2) Quan hệ “chia hết cho” trong N* = N\{0} được xác định bởi tập con *2 S2 = {(m, n) N m  n}. 3) Trong tập hợp D gồm các đường thẳng của mặt phẳng, quan hệ “vuông góc với nhau” xác định bởi tập con: 2 S3 ={(a, b) D a  b}. 4) Trong tập hợp A gồm các học sinh trong một lớp, quan hệ “cùng họ” xác định bỏi tập con S4 = {(x, y)x, y A, x, y cùng họ}. 4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi. a) Tính phản xạ. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất phản xạ nếu a A ta có aSa (a có quan hệ S với chính nó). Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tính chất phản xạ; quan hệ S3 không có tính chất phản xạ. b) Tính chất đối xứng. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất đối xứng nếu a, b A mà aSb thì luôn suy ra được bSa. 13
4. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S3, S4 có tính chất đối xứng; các quan hệ S1, S2 không có tính chất đối xứng. c) Tính chất phản đối xứng (phản xứng). Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất phản đối xứng nếu a, b A mà aSb và bSa thì luôn suy ra được a = b. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2 có tính chất phản đối xứng; các quan hệ S3, S4 không có tính chất phản đối xứng. d) Tính chất bắc cầu. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất bắc cầu nếu a, b, c A mà aSb và bSc thì luôn suy ra được aSc. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tính chất bắc cầu; các quan hệ S3 không có tính chất bắc cầu. 4.4. Quan hệ tương đương. a) Định nghĩa. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là quan hệ tương đương nếu nó có các tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, quan hệ S4 (quan hệ “cùng họ”) là quan hệ tương đương; các quan hệ S1, S2, S3 là không tương đương. Chú ý: - Nếu S là quan hệ tương đương ta thường thay S bởi ký hiệu  (a  b, đọc là “a tương đương với b”) - Do tính chất đối xứng nên nếu a  b thì có thể viết b  a. b) Lớp tương đương. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử a là một phần tử nào đó thuộc A. Ký hiệu: [a] = {x A x  a} và gọi tập hợp này là lớp tương đương của a. Từ tính chất phản xạ của quan hệ  suy ra a [a]. Ví dụ: 1) Xét quan hệ tương đương “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên tập hợp các số tự nhiên N. Với số tự nhiên n bất kỳ thuộc N, [n] là tập hợp các số tự nhiên có cùng số dư với n trong phép chia cho 3. Chẳng hạn lấy n = 4. Số dư trong phép chia 4 cho 3 là 1. Vậy [4] = {1, 4, 7, 10, }. 2) Với quan hệ tương đương “cùng họ” của tập hợp các học sinh trong một lớp (quan hệ S4 ở mục 4.2), lớp tương đương của một học sinh bất kỳ là tập hợp gồm học sinh đó và tất cả các học sinh khác cùng họ trong lớp. 14
5. Định lý. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử x1, x2 là hai phần tử bất kỳ thuộc A. Ta có: 1) [x1] = [x2] x1  x2, 2) Nếu [x1] [x2] thì [x1]  [x2] = . Chứng minh. 1) Giả sử [x1] = [x2]. Do x1 [x1] nên suy ra x1 [x2], nghĩa là x1  x2. Ngược lại, giả sử x1  x2. Lấy x bất kỳ thuộc [x1] thì x  x1, mà x1  x2 nên theo tính chất bắc cầu suy ra x  x2 nên x [x2]. Do đó [x1]  [x2]. Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được [x2]  [x1]. Vậy [x1] = [x2]. 2) Với [x1] [x2] ta giả sử [x1]  [x2] . Suy ra tồn tại x X sao cho x [x1] và x [x2]. Do x [x1] nên x  x1, lại do x [x2] nên x  x2. Theo tính chất bắc cầu suy ra x1  x2. Từ đây áp dụng tính chất 1) ta được [x1] = [x2], điều này trái với giả thiết [x1] [x2] . Vậy nếu [x1] [x2] thì [x1]  [x2] = . Như vậy, một quan hệ tương đương trên tập hợp A chia A thành các tập con là các lớp tương đương rời nhau. Nghĩa là mỗi phần tử bất kỳ của A đều thuộc và chỉ thuộc một trong các tập con ấy và các phần tử trong cùng một tập con thì tương đương với nhau. Ví dụ: 1) Quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” chia N thành ba tập con là [0], [1], [2]. [0] là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3: [0] = {0, 3, 6, 9, }, [1] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [1] = {1, 4, 7, 10, }, [2] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [2] = {2, 5, 8, 11, }. 2) Quan hệ “cùng họ” của các học sinh trong một lớp chia lớp đó thành các tập con gồm những học sinh cùng họ. c) Tập thương. Tập hợp các lớp tương đương của A với quan hệ  gọi là tập thương của A theo quan hệ đó, ký hiệu A: A = {[a]a A}. Ví dụ: Xét quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên N, ta có N = {[0], [1], [2]}}. 4.5. Quan hệ thứ tự. 15
6. a) Định nghĩa. Quan hệ 2 ngôi S trên tập A gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1(“bé thua hoặc bằng”) và S2 (“chia hết cho”) là các quan hệ thứ tự. Chú ý: Quan hệ bé thua hoặc bằng ( ) thông thường trên các tập hợp số là quan hệ thứ tự. Quan hệ này điển hình đến nỗi người ta mượn ký hiệu để chỉ thứ tự ngay cả trong trường hợp tổng quát. Trong trường hợp tổng quát, khi S là một quan hệ thứ tự, người ta ký hiệu a b thay cho aSb và đọc là “a bé thua hoặc bằng b” hay “a đứng trước b”. Khi đó ta cũng viết b a và đọc “b lớn hơn hoặc bằng a”. Để tránh nhầm lẫn, khi nào mang ý nghĩa thông thường ta sẽ nói rõ. b) Tập sắp tứ tự. Khi tập A được trang bị một quan hệ thứ tự S thì ta nói A là một tập sắp thứ tự (theo quan hệ thứ tự đó). Trong một tập sắp thứ tự có thể xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: Mọi cặp phần tử a, b của A đều nằm trong quan hệ thứ tự đó. Nói khác đi a, b A nhất thiết phải có a b hoặc b a. Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần. Trường hợp 2: Không phải mọi cặp thuộc A đều có thể so sánh được, nghĩa là có cặp a, b sao cho ta không có cả a b lẫn b a. Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận. Ví dụ: 1) Các tập hợp số với quan hệ thông thường là tập hợp sắp thứ tự toàn phần. 2) Tập N* với quan hệ  (chia hết cho) không là tập sắp thứ tự toàn phần mà chỉ là tập sắp thứ tự bộ phận. Chẳng hạn như hai số 5 và 17 không so sánh được theo quan hệ “chia hết cho”. Chú ý: Với cùng một tập A ta có thể trang bị nhiều quan hệ thứ tự; với quan hệ này có thể A là tập sắp thứ tự toàn phần nhưng với quan hệ khác A chỉ la tập sắp thứ tự bộ phận. c) Phần tử lớn nhất, nhỏ nhất. Cho A là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự là , M là một tập con của A. Phần tử m M gọi là phần tử nhỏ nhất của M nếu ta luôn có m x, x M. Phần tử m M gọi là phần lớn nhất của M nếu ta luôn có x m, x M. 16
7. Ví dụ: Trên N* với quan hệ “chia hết cho” tập A = {1, 2, 5, 7, 35, 70}. Hiển nhiên N* là tập sắp thứ tự với quan hệ đã cho và A  N*. Ta thấy 1 là phần tử nhỏ nhất của A và 70 là phần tử lớn nhất của A. Chú ý: Không phải mọi tập hợp con của một tập sắp thứ tự đều có phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất. Chẳng hạn cho N* với quan hệ “chia hết cho”, với tập A = {1, 2, 4, 70}chỉ có 1 là phần tử nhỏ nhất, không có phần tử lớn nhất. BÀI TẬP 1. Giả sử A là tập hợp tất cả các người, ta xác định các quan hệ S1, S2, S3 như sau: a) xS3y nếu người x là con của người y b) xS1y nếu người x không nhiều tuổi hơn người y. c) xS2y nếu người x cùng giới tính với người y. Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 2. Trên tập hợp N các số tự nhiên, xác định quan hệ S như sau: a S b a + b là số chẵn. Xét xem quan hệ S có những tính chất nào? 3. Trên tập hợp Z các số nguyên xác định các quan hệ S như sau: với a, b Z: aSb a b  2. Hãy xét xem quan hệ S này có những tính chất gì? 4. Trong tập R các số thực, cho quan hệ hai ngôi S như sau: x S y x = y a) Chứng minh rằng S là một quan hệ tương đươg trong R b) Xác định lớp tương đương [a] với a là một số thực bất kỳ. 5. Cho tập X gồm tất cả các hợp điểm trên mặt phẳng, O là một điểm cố định cho trước thuộc X. Trên tập X, quan hệ S được xác định như sau: M S N OM = ON. a) Chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương trên X b) Hãy xác định lớp tương đương [A] với A là một điểm bất kỳ c) Xác định tập thương X/S. 6. a) Trong tập các số thực R xét quan hệ T như sau: với x, y R : xTy x3 y3 ( theo nghĩa thông thường). 17
8. Chứng minh rằng quan hệ T quan hệ thứ tự. T có phải là quan hệ thứ tự tuyến tính không? b) Trong tập các số thực R xét quan hệ T như sau: với x, y R : xTy x2 y2 ( theo nghĩa thông thường). Hãy xét xem T có phải là quan hệ thứ tự hay không. 7. Xét tập hợp sắp thứ tự N với quan hệ thứ tự và bộ phận A của N với A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hãy tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, chặn trên, chặn dưới, chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của bộ phận A. §5. ÁNH XẠ Trong §4 ta đã thấy mỗi tập con của tập tích Đề các biểu thị một quan hệ giữa các phần tử của tập X với các phần tử của tập Y. Ta cũng đã xét trường hợp riêng khi tập Y trùng với tập X và đã đi tới khái niệm quan hệ hai ngôi trên X. Trong phần này, ta sẽ xét một trường hợp riêng khác của khái niệm quan hệ để đi đến khái niệm ánh xạ. Giả sử cho quan hệ f trên X Y. Trong trường hợp tổng quát, nói chung với mỗi x X, tập các phần tử y Y có quan hệ f với x (tức là tập hợp {y Y x f y}) có thể là rỗng hoặc có thể có nhiều phần tử. Trong trường hợp đặc biệt, khi mà ứng với mỗi phần tử x X, tập các phần tử y Y mà x f y có một và chỉ một phần tử thì quan hệ f được gọi là một ánh xạ từ X đến Y. Như vậy, ánh xạ f từ X đến Y là một quan hệ f trên X Y có tính chất “với mọi phần tử x X bao giờ cũng có một và chỉ một phần tử y Y sao cho x có quan hệ f với y”. Nói khác đi, việc cho một ánh xạ từ X đến Y là việc cho một quy tắc ứng mỗi phần tử x X với một phần tử y hoàn toàn xác định trong Y. Ta đi đến khái niệm ánh xạ và các khái niệm liên quan. 5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ. Định nghĩa. 18
9. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x X với một phần tử duy nhất y Y. Khi y là phần tử ứng với x qua ánh xạ f thì ta gọi y là ảnh của x qua ánh xạ f. Ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, Để chỉ ánh xạ f từ X đến Y mà phần tử x X được đặt tương ứng với phần tử y Y ta viết f : X Y x y = f(x) hoặc f X Y x y = f(x). X gọi là tập nguồn (hay miền xác định), Y gọi là tập đích (hay miền giá trị). Hai ánh xạ f : X Y và g : X Y gọi là bằng nhau nếu f(x) = g(x), x X. Ví dụ: 1) Cho các tương ứng bởi các hình vẽ sau x y x y x x y y x x y y x a) b ) x y x y y x y x Hình c) và d) là các ánh xạ. Hình a) và b) không phải là cáyc ánh x xạ. x y y 2) Khi chấm bài người giáo viên đã thực hiện một ánh xạ từ tập hợp các bài kiểmc) tra đến tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 5,d 6, 7, 8, 9, 10} (cho điểm nguyên theo thang điểm 10). Ánh xạ này ứng) mỗi bài với một con điểm. 19
10. 3) Phép cộng trên tập hợp số tự nhiên là một ánh xạ từ tập hợp N N N. Ánh xạ này ứng mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với một số là x + y: N N N (x, y) x + y. 4) Cho tập hợp X bất kỳ. Tương ứng mỗi phần tử x X với chính nó là một ánh xạ từ tập X đến tập X. Ánh xạ này thường được ký hiệu là 1X hay idX và gọi là ánh xạ đồng nhất: 1X : X X x x. 5) Tương ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp các số thực R với phần tử 2x+1 là một ánh xạ từ R đến R: R R x 2x + 1. Chú ý: - Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh xạ từ X đến Y khi có phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y, hoặc khi có phần tử của X ứng với hon một phần tử trong Y. - Trong một ánh xạ, mỗi phần tử thuộc nguồn đều có ảnh duy nhất, nghĩa là nếu f : X Y là một ánh xạ và x1 = x2 (x1, x2 X) thì phải có f(x1) = f(x2), hoặc từ f(x1) f(x2) ta phải có x1 x2. - Mỗi phần tử của nguồn có một ảnh duy nhất nhưng có thể hai hay nhiều phần tử của nguồn có chung một ảnh. Ngoài ra, cũng có thể có phần tử của tập đích không là ảnh của bất kỳ phần tử nào trong tập nguồn. 5.2. Ảnh và tạo ảnh. a) Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X Y. - Giả sử A  X. Tập con của Y gồm tất cả các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A): f(A) = { f(x) x A}. - Giả sử B  Y. Tập con của X gồm tất cả các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua ánh xạ f, ký hiệu là f- 1(B): f-1(B) = { x X f(x) B}. Ví dụ: Cho ánh xạ f : R R , x 2x + 1. 1 Giả sử A = {-1, 0, , 2} và B = {0, 1, 2}. 3 20
11. 5 Khi đó: f(A) = {-1, 1, , 5}, 3 1 1 f-1(B) = {- , 0, }. 2 2 b) Định lý. Cho ánh xạ f : X Y. - Với hai tập con tùy ý A, B của X ta có: f ( A  B ) = f ( A )  f( B ) f ( A  B )  f ( A )  f ( B ). - Với hai tập con tùy ý A, B của Y ta có: f-1 ( A  B ) = f-1 ( A)  f-1 ( B ) f-1( A  B ) = f-1 ( A )  f-1 ( B ). Ta có thể chứng minh các đẳng thức trên một cách dễ dàng. BÀI TẬP 1. Giả sử X là tập hợp tất cả các người trên trái đất (kể cả người đã chết). Các quy tắc sau có phải là ánh xạ từ X đến X không? a) Quy tắc ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình b) Quy tắc ứng mỗi người với anh trai của mình c) Quy tắc ứng mỗi người với con đẻ của mình. 2) Cho T là tập hợp tất cả các tam giác và O là tập hợp các đường tròn. a) Quy tắc ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp của nó có phải là ánh xạ từ T đến O không? b) Quy tắc ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp nó có phải là ánh xạ từ O đến T không? 3. Giải thích tại sao các quy tắc dưới đây không phải là ánh xạ từ R đến R: a) Quy tắc ứng mỗi số với nghịch đảo của nó. b) Quy tắc ứng mỗi số với căn bậc hai của nó. 4. a) Quy tắc “Lấy một số tự nhiên nhân với 4, được bao nhiêu trừ đi 10” có phải là một ánh xạ từ N đến N không? Vì sao? b) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ từ N thì phải thay đổi tập đích (miền giá trị) như thế nào? 21
12. c) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ đến N thì phải thay đổi tập nguồn (miền xác định) như thế nào? 5. Cho ánh xạ f : N N n 4n +5 a) Tìm f(1), f(5), f(25). b) Tìm f-1(4), f-1(9), f-1(15). 6. Cho ánh xạ f : R R x x2 – 3x + 1. Hãy tìm: a) f(0), f(1) và f(-1) b) f([-1, 2]) c) f-1(1) và f-1(-1) d) f-1([-1,1] §6. CÁC ÁNH XẠ ĐẶC BIỆT TÍCH CÁC ÁNH XẠ - ÁNH XẠ NGƯỢC 6.1. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh. Cho ánh xạ f : X Y. Trong trường hợp chung, có thể xảy ra các tình huống sau: - Hai hoặc nhiều phần tử của X có chung một ảnh trong Y (1). - Có những phần tử của Y không là ảnh của phần tử nào thuộc X (2). Trong mục này ta sẽ xét các trường hợp đặc biệt mà các tình huống trên không xảy ra. a) Đơn ánh. Khi tình huống (1) không xảy ra thì f gọi là đơn ánh. Định nghĩa. Ánh xạ f : X Y gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau x1, x2 của X ta luôn có f(x1) f(x2). Định nghĩa trên có thể phát biểu cách khác : f : X Y gọi là đơn ánh nếu từ f(x1) = f(x2) ta luôn có x1 = x2. Ví dụ: 1) Dễ thấy ánh xạ đồng nhất 1X : X X , x x là đơn ánh. 3 2) Ánh xạ f : R R , x x là đơn ánh vì với x1 x2 thì f(x1) f(x2). 3) Ánh xạ g : R R , x x2 không phải là đơn ánh vì với –x và x có cùng một ảnh là x2. b) Toàn ánh: Khi tình huống (2) không xảy ra thì f gọi là toàn ánh. 22
13. Định nghĩa. Ánh xạ f : X Y gọi là toàn ánh nếu với mọi y Y bao giờ cũng tồn tại x X sao cho f(x) = y. Ví dụ: 1) Ánh xạ đồng nhất 1X : X X , x x là toàn ánh. 2) Ánh xạ f : R R , x x3 là toàn ánh vì y Y bao giờ 3 cũng có x = 3 y X để cho f(x) = ( 3 y ) = y. 3) Ánh xạ g : R R , x x2 không phải là toàn ánh vì các số thực âm không thể là bình phương của bất kỳ số thực nào. Nếu ta thay tập đích bởi R+ (tập hợp các số thực không âm) thì g sẽ là toàn ánh. c) Song ánh. Định nghĩa. Ánh xạ f : X Y gọi là toàn ánh nếu nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Như vậy, f là một song ánh nếu với mọi y Y có một và chỉ một x X sao cho f(x) = y. Song ánh f : X Y còn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y. Ví dụ: Qua các ví dụ ở phần a) và b) ta thấy ánh xạ đồng nhất 1X : X X x x và ánh xạ f : R R , x x3 là các song ánh. 6.2. Tích các ánh xạ. a) Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Tích của hai ánh xạ f và g là ánh xạ h : X Z được xác định như sau: h(x) = g(f(x)), x X. Tích của các ánh xạ f và g được ký hiệu là g o f hoặc gf, như vậy ta có (g o f)(x) = g(f(x)), x X. Ta có hình minh họa sau: f g h(x)=g(f(x)) x y=f(x) Y Z X Ví dụ: 1) Với mọi ánh xạ f : X Yh ta luôn có f o 1X = 1Y o f = f. 2) Cho f : R R và g : R R 23