Giáo trình Toán cao cấp (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (Phần 2)

1. 96 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1 2 3 -1 hg4 0 5 8 -7 hg5 0 -2 -8 -2 hg6 Nhân hg5 với 2 rồi đem cộng vào hg6 đã được nhân với 5, nhân hg5 với -2 rồi đem cộng vào hg4 đã được nhân với 5 : 5 0 -1 9 hg7 0 5 8 -7 hg8 0 0 -24 -24 hg9 Chia hg9 cho -24 được hg12, sau đó nhân hg12 với -8 rồi đem cộng vào hg 8, cộng hg12 với hg7 : 5 0 0 10 hg10 0 5 0 -15 hg11 0 0 1 1 hg12 Chia hg10 cho 5 , chia hg11 cho5 : 1 0 0 2 hg13 0 1 0 -3 hg14 0 0 1 1 hg15 Chú ý rằng các thao tác trên luôn cho ta một hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu, đến đây ta có được x = 2 ; y = -3 ; z = 1. 4.4. Định thức 4.4.1. Định nghĩa định thức. 4.4.1.1 Định nghĩa 1. Cho ma trận A = a vuông cấp n ij n n Kí hiệu Mij là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j. Khi đó Mij được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij . Ví dụ. 1 2 5 4 1 1 2 Víi A 3 4 1 th× MM , 11 23 5 1 0 5 0 5 1
2. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 97 4.4.1.2 Định nghĩa 2. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n của ma trận A, kí hiệu là: det(A) hay A , là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau: a) Định thức cấp 1. Giả sử A = [a11] det (A) = a11 (1) b) Định thức cấp 2. a11 a 12 a11 a 12 A det (A) = a11 a 22 a 12 a 21 (2) a21 a 22 a21 a 22 a11 a12 a13 c) Định thức cấp 3 : Giả sử : A a a a 21 22 23 a31 a32 a33 Khi đó, ta có: a11 a 12 a 13 1 1 1 2 1 3 det(A) a212223 a a 1 adetM 11 11 + 1 adetM 12 12 1 adetM 13 13 a31 a 32 a 33 a22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 a11 . a 12 . a 13 . a32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Một cách tổng quát ta có : i 1 i 2 i 3 det(A) 1 adetMi1 i1 + 1 adetM i2 i2 1 adetM i3 i3 (3) 1 j 2 j 3 j hoặc det(A) 1 adetM1j 1j + 1 adetM 2j 2j 1 adetM 3j 3j (4) Trong đó Mij là ma trận vuông cấp 2 có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j. Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3. Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3. 1 3 0 Ví dụ 1. Tính định thức của ma trận A 2 1 3 4 1 5
3. 98 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Giải - Khai triển định thức theo hàng 1, ta được: 1 3 0 1 3 2 3 det(A) = 2 13 (1).1.1 1 (1).3. 1 2 0 832 2 1 5 4 5 4 1 5 - Khai triển định thức theo cột 3, ta được: 1 3 0 1 3 1 3 det(A) = 2 13 0 13 2 3 (1).5. 3 3 3335 2 4 1 2 1 4 1 5 - Khai triển theo hàng 3 ta được : 3 0 1 0 1 3 det(A) = (-1)3 + 1.4 . + (-1)3 + 2 .1. + (-1)3 + 3. 5 . = 36 - 3 -35 = -2 1 3 2 3 2 1 d) Định thức cấp n. Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó, định thức cấp n của ma trận A = a được xác định như sau: ij n x n i 1 i 2 i n det(A) 1 adetMi1 i1 + 1 adetM i2 i2 1 a in detM in (5) hoặc 1 j 2 j m j det(A) 1 adetM1j 1j + 1 adetM 2j 2j 1 adetM mj mj (6) Trong đó Mij là ma trận vuông con cấp (n - 1) có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i cột thứ j. Công thức (5) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, , n. Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, .,n. 1 6 0 1 0 2 1 0 Ví dụ 2. Tính định thức: det(A) = 1 3 0 1 3 0 1 1
4. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 99 Giải. Ta có thể khai triển định thức theo hàng 2 hoặc cột 3 vì có 2 phần tử bằng 0.  Khai triển theo hàng 2: 1 6 0 1 1 0 1 1 6 1 0 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 2 3 1 3 1 1 3 0 1 3 1 1 3 0 1 3 0 1 1 1 0 1 2 2 3 2 1 1 Tính I1 = 1 2 1 0 1 , khai triển theo cột 2 được I1 = 2 1 0 1 1 3 1 1 1 6 1 6 1 1 6 Tính I2 = 1 3 1 , khai triển theo hàng 3 được I2 =3 1 27 9 36 3 1 1 3 3 0 1 Vậy det(A) = 0 – 36 = -36.  Khai triển theo cột 3: 1 6 0 1 1 6 1 1 6 1 0 2 1 0 1 2 3 1 3 1 1 4 3 0 2 0 36 1 3 0 1 3 0 1 1 3 1 3 0 1 1 Ví dụ : Tính các định thức sau: 3 5 2 4 3 0 2 2 0 4 0 0 4 7 0 4 a) b) 0 7 7 5 1 0 3 0 8 8 5 0 2 6 3 2 Hướng dẫn :: a) Khai triển theo hàng 2 b) Khai triển theo cột 2 hoặc hàng 3.
5. 100 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.4.2. Các tính chất cơ bản của định thức. Tính chất 1 Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT) Ví dụ. 3 2 2 3 2 1 2 1 0 2 1 3 12 1 3 2 2 0 2 Hệ quả. Mọi tính chất cho định thức nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại. Tính chất 2 Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. Ví dụ. cũng với ví dụ trên 3 2 2 3 2 2 2 1 0 12 , đổi chỗ hàng 2 với hàng 3 : 1 3 2 12 1 3 2 2 1 0 Tính chất 3 Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần. Hệ quả. Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số chung thì có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức. 1 5 156 Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với D 2 8 286 4 1 416 Giải nhận xét rằng 156 = 12.13, 286 = 22.13, 416 = 32.13 nên rút thừa số chung 13 ra ngoài được 1512.13 1512 1 5 12 D 2 8 22.13 13.2 8 22 chú ý rằng 2 8 22 = M , => D = 13.M 4132.13 4132 4 1 32
6. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 101 do các phần tử ma trận chỉ toàn các số nguyên nên M phải là số nguyên => D chia hết cho 13 Đpcm Tính chất 4 Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức như sau: Ví dụ a11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 '''''' aaaaaa21 21 22 22 23 23 aaa 21 22 23 aaa 21 22 23 a31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Tính chất 5 Định thức của ma trận sẽ bằng không nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau: - Có một hàng (một cột) gồm toàn là số không. - Có hai hàng (hai cột) tỷ lệ với nhau. - Có một hàng (một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (cột khác). ( Đại lượng là tổ hợp tuyến tính của các đại lượng 1 ,2 , ,n , nếu tồn tại n số thực k1, k2 , , kn để cho k1  1 k 2  2 k n  n ) Ví dụ. a 1 b1 a 1 2b1 a 2 b 2 a 2 2b 2 0 (Vì cột 3 = cột 1 + 2.cột 2) a 3 b 3 a 3 2b3 Tính chất 6: Định thức của ma trận sẽ không thay đổi nếu nhân k vào một hàng (một cột) rồi đem cộng vào một hàng khác(cột khác). Ví dụ. 3 2 1 1 0 7 (khai triÓn (h 2h h )2 2 1 7 2 1 31 2 1 2 1 3theo cét 2) 1 12 2 2 2 0 2 2 0 2
7. 102 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Tính chất 7 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên chéo chính a11 a 12 a 1n a 11 0 0 0 a22 a 2n a 21 a 22 0 a11 a 22 a nn 0 0 ann a n1 a n2 a nn Tính chất 8 Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A). det(B) 4.4.3. Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Từ các tính chất của định thức, ta có được các kết quả khi thao tác các phép biến đổi sơ cấp của ma trận được ghi trên bảng sau : Thao tác Kết quả 1. Nhân 1 hàng với 1 số k 0 Định thức nhân k 2. Đổi chỗ 2 hàng Định thức đổi dấu 3.Nhân k với hàng r rồi đem cộng vào hàng s Định thức không đổi Nhận xét : Nếu tính định thức bằng việc sử dụng công thức khai triển theo hàng (hay cột) thì khối lượng tính sẽ rất lớn ( khi n 4 ). Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận để đưa ma trận về dạng tam giác, khi đó định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên chéo chính. Để tính định thức theo phương pháp này ta làm như sau: Bước 1: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa định thức về dạng định thức ma trận tam giác, nhớ ghi lại tác dụng của các phép biến đổi sơ cấp được sử dụng. Bước 2: Tính giá trị định thức dạng tam giác và kể cả tác dụng tổng hợp của các phép biến đổi sơ cấp để sử dụng. Hµng thø 1 1 3 5 2 Hµng thø 2 2 5 8 2 Hµng thø 3 4 2 0 1 Hµng thø 4 3 4 3 2
8. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 103 Hµng thø 1 1 3 5 2 ( -2 ) * hµng 1 + hµng 2 0 1 2 6 ( 4 ) * hµng 1 + hµng 3 0 14 20 9 ( -3 ) * hµng 1 + hµng 4 0 13 12 8 Hµng thø 1 1 3 5 2 hµng 2 0 1 2 6 ( 14 ) * hµng 2 + hµng 3 0 0 8 75 ( -13 ) * hµng 2 + hµng 4 0 0 14 70 Hµng thø 1 1 3 5 2 hµng 2 0 1 2 6 hµng 3 0 0 8 75 245 ( 7/ 4 ) * hµng 3 + hµng 4 0 0 0 4 245 định thức = 1.(-1).(-8). = 490 4 4.5. Ma trận nghịch đảo . 4.5.1. Phần phụ đại số của một phần tử, ma trận phụ hợp. Cho ma trận A vuông cấp n a11 a12 a1n a a a A 21 22 2n a n1 a n 2 a nn Ký hiệu Mij là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j det MnÕu (i j) ch½n i + j ij Aij = (-1) det(Mij) = det MnÕu (i j) lÎ ij Aij gọi là phần phụ đại số của phần tử aij .
9. 104 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.5.1.1. Ma trận phụ hợp:   Định nghĩa : Ma trận phụ hợp của ma trận A là ma trận được ký hiệu A = Aij    A11 A 12 A 1n A A  A    21 22 2n tức là : AA ij n n    An1 A n 2 A nn   với A ij = Aji => A ij là phần phụ đại số của phần tử aji trong ma trận A 4.5.1.2. Phương pháp tính ma trận phụ hợp : Để tìm ma trận phụ hợp của ma trận A = (aij) ta thực hiện các bước sau:  T Tìm (A ij) = (Aij)  T  T Từ ( A ij) ta chuyển vị sẽ được A = (Aij) 1 2 Ví dụ 1: Tìm ma trận phụ hợp của các ma trận sau: A 3 4 Giải: Tìm các phần phụ đại số: A11 = 4, A12 = -3, A21 = -2, A22 = 1 T  4 3 4 2 Suy ra ma trận phụ hợp của A là: A . 2 1 3 1 Ghi nhớ Nếu A là ma trận vuông cấp 2 thì ma trận phụ hợp của A là A sẽ có được từ A khi các phần tử chéo chính đổi chỗ , các phần tử “ chéo phụ ” đổi dấu. Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của các ma trận sau: 2 5 7 A 6 3 4 5 2 3 Giải: - Tính phần phụ đại số của các phần tử :
10. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 105 1 1 3 4 1 2 6 4 1 3 6 3 A11= 1 = -1, A12 = 1 = 38, A13= 1 = -27, 2 3 5 3 5 2 2 1 5 7 2 2 2 7 2 3 2 5 A21= 1 1 , A22 =( 1) 41, A23 = ( 1) 29 , 2 3 5 3 5 2 3 1 5 7 3 2 2 7 3 3 2 5 A31= 1 1, A32=( 1) 34 , A33=( 1) 24 . 3 4 6 4 6 3 Suy ra ma trận phụ hợp của A là: 1 1 1  A 38 41 34 27 29 24 2 1 3 Ví dụ 3: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: A 1 0 2 3 2 3 Giải: Các phần phụ đại số: 1 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 0 A 1 4 ; A 1 3; A 1 2 11 2 3 12 3 3 13 3 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 1 A 1 3 ; A 1 15 ; A 1 7 21 2 3 22 3 3 23 3 2 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 1 A 1 2; A 1 7 ; A 1 1 31 0 2 32 1 2 33 1 0 Ma trận phụ hợp của A là: T 4 3 2 4 3 2 A 3 15 7 3 15 7 2 7 1 2 7 1 4.5.2. Ma trận nghịch đảo. 4.5.2.1 Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Nghịch đảo của ma trận A (nếu tồn tại) là một ma trận -1 -1 -1 vuông cấp n được ký hiệu là A , sao cho AA = A A = In (trong đó In là ma trận đơn vị cấp n) , khi đó nói rằng ma trận A là khả đảo
11. 106 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.5.2.2 Tính chất: Nếu A có ma trận nghịch đảo là A-1 thì A-1 cũng khả đảo và nghịch đảo của A 1 là (A 1) 1 = A Nghịch đảo của một ma trận vuông nếu có là duy nhất. Nếu A và B đều có nghịch đảo thì: +) (AB)-1=B-1A-1 1 +) (kA)-1 = A 1 k 4.5.2.3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả đảo là định thức của nó khác không. Nếu ma trận A có det(A) 0 thì ta còn gọi A là ma trận không suy biến, ngược lại ta gọi A là ma trận suy biến. 4.5.2.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Phương pháp ma trận phụ hợp. Định lý 2: Nếu ma trận A vuông có detA 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1 được tính bởi công thức: 1 AA 1  det(A) Nhận xét: Từ định lí trên, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận không suy biến A ta tiến hành theo 3 bước:  Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận ma trận A không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) 0, chuyển sang bước sau :  Tìm tất cả các phần phụ đại số của các phần tử aij có mặt trong ma trận A rồi thiết lập ma trận A T và suy ra ma trận phụ hợp A
12. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 107 1 1  Nhân ma trận A với ta được: AA 1  . det(A) det(A) 1 2 Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 3 4 Giải: Có det(A) = 4 – 6 = -2  4 2 Áp dụng kết quả ở ví dụ 1, ma trận phụ hợp của A là A 3 1 2 1 4 2 1 1 1 Vậy AA 3 1 det(A) 2 3 1 2 2 Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 5 7 A 6 3 4 5 2 3 Giải: 2 5 7 (khai triÓn theo h ) 2 3 4 6 4 6 3 det(A) = 6 3 4 2 5 7 2 3 5 3 5 2 5 2 3 2 190 189 1 0 Vậy tồn tại ma trận A-1. - Theo kết quả ở ví dụ 2 thì ma trận phụ hợp của A là: 1 1 1  A 38 41 34 27 29 24 Vậy ma trận nghịch đảo cần tìm là: 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 A 38 4134 3841 34 det(A) 1 27 29 24 27 29 24 Chú ý: Phương pháp này được áp dụng để tìm. ma trận nghịch đảo của những ma trận cấp nhỏ (cấp n 3).
13. 108 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Phương pháp Gauss-Jordan Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm như sau:  Bước 1: Viết ma trận đơn vị I cùng cấp với A bên cạnh ma trận A như sau: (A | I)  Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa dần phần ma trận A về ma trận tam giác trên ma trận chéo ma trận đơn vị. Tác động đồng thời các phép biến đổi đó vào phần ma trận I.  Bước 3: Khi ở phần ma trận A (ban đầu) xuất hiện dạng ma trận đơn vị I thì ở phần ma trận I (ban đầu) xuất hiện ma trận A-1 (tức là: (A | I) (I | A 1) 1 2 3 Ví dụ 9: Tìm ma trân nghịch đảo của A 2 5 3 theo phương pháp Gaus – Jordan. 1 0 8 Hµng thø 1 1 2 3 1 0 0 Hµng thø 2 2 5 3 0 1 0 Hµng thø 3 1 0 8 0 0 1 Hµng thø 1 1 2 3 1 0 0 ( -2 ) * hµng 1 + hµng 2 0 1 -3 -2 1 0 ( -1 ) * hµng 1 + hµng 3 0 -2 5 -1 0 1 Hµng thø 1 1 2 3 1 0 0 Hµng thø 2 0 1 -3 -2 1 0 ( 2 ) * hµng 2 + hµng 3 0 0 -1 -5 2 1 -3 * hµng 3 + hµng 1 1 2 0 -14 6 3 3 * hµng 3 + hµng 2 0 1 0 13 -5 -3 -1 * hµng 3 0 0 1 5 -2 -1 -2 * hµng 2 + hµng 1 1 0 0 -40 16 9 hµng 2 0 1 0 13 -5 -3 hµng 3 0 0 1 5 -2 -1 40 16 9 Vậy A 1 13 5 3 5 2 1 Chú ý: Phương pháp Gauss - Jordan đặc biệt hiệu quả đối với ma trận cấp 4.
14. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 109 4.5.2.5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận Bài toán 1: Tìm ma trận X thoả mãn AX = B biết det(A) 0 Phương pháp: Do det(A) 0 nên tồn tại A-1. Nhân vào bên trái cả hai vế của phương trình với A-1, ta được: A(AX) 1 AB 1 IX X AB 1 do đó X = A-1B. Bài toán 2: Tìm ma trận X thoả mãn XA = B biết det(A) 0 Tương tự như trên, nhân vào bên phải cả hai vế với ma trận A-1, do đó X = BA-1. 1 2 3 5 Ví dụ Giải phương trình ma trận: .X = 3 5 5 9 1 1 2 1 2 5 2 Giải: do 1 0 nên tồn tại 3 5 3 5 3 1 1 1 2 3 5 1 2 3 5 5 2 3 5 5 7 Có .X = X. = = 3 4 5 9 3 5 5 9 3 1 5 9 4 6 5 3 1 8 3 0 Ví dụ Giải phương trình ma trận: X. 1 3 2 5 9 0 5 2 1 2 15 0 1 5 3 1 5 3 1 1 1 3 1 Giải: Vì 1 3 2 19 0 nên 1 3 2 . 9 10 11 19 5 2 1 5 2 1 13 25 18 1 8 3 0 5 3 1 8 3 0 1 1 3 1 X 5 9 0 1 3 2 = 5 9 0 . . 9 10 11 19 2 15 0 5 2 1 2 15 0 13 25 18 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9
15. 110 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.5.3. Hạng của ma trận 4.5.3.1 Định nghĩa: Cho ma trận: a a a 11 12 1n a a a A 21 22 2n am1 am2 amn Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không có được trong A. Ký hiệu hạng của A là (A) . Nhận xét : Nếu A có cỡ m × n thì (A) ≤ min (m , n ) k k Sẽ có CmCn định thức con cấp k Ví dụ : cho ma trận A, với 1 3 2 4 A 2 2 0 3 3 1 2 1 Như vậy A có cỡ 3 × 4, do đó (A) ≤ min (3 , 4 ) = 3 Xét các ma trận vuông con cấp 3 của A : 1 3 2 1 3 4 1 2 4 3 2 4 2 2 0 0, 2 2 3 0, 2 0 3 0, 2 0 3 0 3 1 2 3 1 1 3 2 1 1 2 1  Vì định thức của chúng đều bằng không nên hạng của A không thể bằng 3 được, 2 2 do đó ta xét đến các ma trận vuông con cấp 2. Sẽ có C3 C4 = 18 ma trận vuông con cấp 2 1 3 3 2 8, 4, 2 2 2 0  Thấy rằng có một định thức của ma trận vuông con cấp 2 bằng -8 0, do đó (A) = 2. Nhưng ta không thể tìm hạng của một ma trận theo cách thức như trên được, vì như vậy phải đi tính một số lượng định thức khá lớn. Chính vì lẽ đó người ta đã đi tìm một phương pháp khác để tính hạng của ma trận .
16. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 111 4.5.3.2 Ma trận hình thang Trước hết ta có khái niệm về hàng không và hàng khác không : - Hàng không là hàng có tất cả các phần tử đều bằng 0 - Hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác 0 Định nghĩa: Ma trận hình thang là ma trận thoả mãn 2 tính chất sau: - Các hàng khác không luôn ở phía trên các hàng không - Phần tử khác không đầu tiên ở hàng thứ i (kể từ trái sang phải) phải là ở cột thứ i Ma trận hình thang có dạng : Ví dụ: 1 3 5 7 1 2 5 7 0 1 1 2  A ; B 0 3 0 1 => A và B là các ma trận hình thang 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 7 3 2 5 7  C 0 1 2 1 ; D 0 0 2 1 => C và D không là các ma trận hình thang 0 2 1 1 0 4 3 1 Hạng của ma trận hình thang Hạng của ma trận hình thang bằng số hàng khác không của nó. Chú ý : Khái niệm về ma trận hình thang ở đây có khác với khái niệm về ma trận bậc thang như một số tài liệu khác đã dùng. Sở dĩ đưa ra khái niệm ma trận hình thang là để dùng thuận lợi khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát, nội dung này sẽ ở cuối chương này.
17. 112 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.5.3.3 Phương pháp tìm hạng của ma trận. Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính bằng không hay khác không của định thức, do đó không làm thay đổi hạng của ma trận. Vì vậy để tìm hạng của ma trận A ta làm như sau:  Dùng các phép biến đổi sơ cấp, đưa ma trận A về dạng ma trận hình thang.  Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng ma trận hình thang và bằng số hàng khác không của ma trận hình thang. 1 2 5 1 3 2 3 1 4 2 Ví dụ : Tìm hạng của ma trận :A 4 7 9 2 1 1 0 3 2 1 Đưa ma trận A về dạng hình thang như sau : Cét 1 Cét 2 Cét 3 Cét 4 Cét 5 Hµng thø 1 1 2 5 -1 3 Hµng thø 2 2 3 -1 4 2 Hµng thø 3 4 7 9 2 1 Hµng thø 4 -1 0 3 2 1 Cét 1 Cét 2 Cét 3 Cét 4 Cét 5 Hµng thø 1 1 2 5 -1 3 ( -2 ) * hµng 1 + hµng 2 0 -1 -11 6 -4 ( -4 ) * hµng 1 + hµng 3 0 -1 -11 6 -11 ( 1 ) * hµng 1 + hµng 4 0 2 8 1 4 Cét 1 Cét 2 Cét 3 Cét 4 Cét 5 Hµng thø 1 1 2 5 -1 3 hµng 2 0 -1 -11 6 -4 ( -1 ) * hµng 2 + hµng 3 0 0 0 0 -7 ( 2 ) * hµng 2 + hµng 4 0 0 -14 13 -4 Cét 1 Cét 2 Cét 3 Cét 4 Cét 5 Hµng thø 1 1 2 5 -1 3 hµng 2 0 -1 -11 6 -4 hµng 4 0 0 -14 13 -4 hµng 3 0 0 0 0 -7 Cét 1 Cét 2 Cét 3 Cét 5 Cét 4 Đổi cột 4 và cột 5 1 2 5 3 -1 0 -1 -11 -4 6 0 0 -14 -4 13 0 0 0 -7 0 Kết luận: Hạng của ma trận A bằng 4
18. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 113 4.6 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4.6.1 Định nghĩa và các định lý 4.6.1.1 Định nghĩa : Hệ m phương trình đại số tuyến tính của n ẩn số thực có dạng: a11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 (I) am1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m Trong đó x1, x2, , xn là các ẩn số cần tìm aij là các số thực - hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn x j i 1, m , j 1, n . bi là các số thực - vế phải của phương trình thứ i , ( i 1, m ) a11 a 12 a 1n a a a Đặt A 21 22 2n , ma trận A được gọi là ma trận hệ số của hệ (I). am1 a m 2 a mn x b 1 1 x2 b2 X được gọi là ma trận ẩn ; B được gọi là ma trận vế phải   xn bm a11 a 12 a 1n b 1 a a a b A A B = 21 22 2n 2 được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I). am1 a m 2 a mn b m Bằng phép nhân ma trận, hệ phương trình (I) được viết ở dạng ma trận như sau: AX = B (II) Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I). - Nếu B =  (tức là: bi 0,  i 1,m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất. Nếu có ít nhất một bi ≠ 0 thì hệ (II) gọi là hệ không thuần nhất.