Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1)

1. 10 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy lấy  =  . Như vậy : với  > 0 cho trước , luôn   =  > 0 để cho x :0 x 0  khi đó sẽ thỏa mãn (2) vì vậy sẽ thỏa mãn (1). Do đó, theo định nghĩa lim f (x) 3 x 0 1.3.1.2 Giới hạn vô cực của hàm số khi x a Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a ). Hàm f(x) được gọi là giới hạn + khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: x a M > 0 ( lớn bao nhiêu tùy ý) sẽ luôn   > 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M Hàm f(x) được gọi là giới hạn - khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: x a M 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M 1.3.1.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x >a . Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) L ) nếu:   > 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) x , luôn  N > 0 để  x > N thì f (x) L  Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) , x luôn  N a . Hàm f(x) được gọi là có giới hạn vô cực khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) ) nếu:  M > 0 ( lớn tùy ý cho x trước) , luôn  N > 0 để  x > N thì f (x) M
2. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 11 Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại  x 0 ( lớn tùy ý cho x trước) , luôn  N > 0 để  x a. Nếu giới hạn đó tồn tại ( được ký hiệu là f(a + 0) hoặc f(a+) ) thì gọi là giới hạn phải của hàm f(x ) ( khi x dần tới a từ bên phải. Ký hiệu: limf (x) = f(a + 0) hay lim f (x) = f(a + 0) x a x a 0 1.3.2.2 Giới hạn trái Xét giới hạn của hàm số f(x ) khi x a và luôn thoả mãn x 0 thì f(x) > 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a. Nếu L < 0 thì f(x) < 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a.
3. 12 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 5. limf ( x ) L Mọi dãy {xn}  a thì lim f (xn ) L x a n n Chú ý: Nếu chỉ ra được hai dãy {un} và {vn} a mà lim f (un ) lim f (vn ) (hoặc n n không tồn tại chỉ một trong hai giới hạn trên) thì  lim f (x) x a 1.3.4. Các phép toán về hàm có giới hạn Định lí 1: Giả sử: limf ( x ) L , limg ( x ) L . ( L1 và L2 là hữu hạn ) , khi đó x a 1 x a 2 ta có: lim(f ( x ) g ( x )) L L x a 1 2 lim(f ( x ) g ( x )) L L x a 1 2 f() x L1 lim (nếu g(x) 0 và L2 0) x a g() x L2 Định lí 2: (Giới hạn hàm hợp) Xét hàm số hợp y = f(u(x)). Nếu tồn tạo giới hạn hữu hạn: limu ( x ) b , lim f ( u ) L , thì limf ( u ( x )) L . x a u b x a Ví dụ: limsin 5x 1 sin16 x 3 Chú ý: Cả hai định lí trên chưa khẳng định được trong các trường hợp sau (về mặt hình thức): + LL1 2 + LL1. 2 0. L 0 L + 1 hoặc 1 L2 0 L2 g() x Khi tìm giới hạn dạng limf ( x ) thì ta gặp các dạng: x a   L2 L2 L2 0 L1 1 hoặc L1 0 hoặc L1 0 Các trường hợp trên gọi là các dạng vô định.
4. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 13 Khi gặp các dạng vô định , muốn tìm giới hạn ta phải tìm cách để khử dạng vô định. Sau đây sẽ là một số kết quả cơ bản cho phép có thể khử được các dạng vô định đó. 1.3.5 Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.3.5.1 Tiêu chuẩn 1: (Nguyên lý kẹp giới hạn) Định lí: Giả sử 3 hàm số: f(x), g(x), h(x) xác định tại lân cận của điểm x = a (không cần xác định tại a ) và thoả mãn: f(x) g(x) h(x)  x thuộc lân cận của a. Khi đó nếu limf ( x ) lim h ( x ) L thì limg ( x ) L . x a x a x a Áp dụng: Từ định lí trên, người ta chứng minh được công thức giới hạn cơ bản: sin x lim 1 x 0 x ln(1 ex ) Ví dụ: Tính lim = 1 x x (Gợi ý : ex 1 < 1 x x Sau đây là một số ví dụ áp dụng kết quả trên. tgx sinx 1 sinx 1 1) lim lim lim lim 1.1 1; x 0x x 0 xcos x x 0 xx 0 c os x 2 2 x x 2sin sin 1-cosx2 1 2 1 2) lim2 lim2 lim . ; x 0x x 0x x 0 2x 2 4. 4 2 sinm x sin m x mx n x m 3) lim lim . ; x 0sin nx x 0 m x nx sin nx n 1.3.5.2 Tiêu chuẩn 2: Định lí : Giả sử hàm số f(x) xác định trên R. Nếu f(x) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì tồn tại limf ( x ) . x Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì tồn tại limf ( x ) . x
5. 14 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy - Hàm f(x) được gọi là đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm ) trên khoảng (a , b) nếu x1 x 2 (a,b) thì f(x1) f(x2) ) - Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên ( hoặc bị chặn dưới) trên khoảng (a , b) nếu M để f(x) M ) x (a,b) Áp dụng: x 1 Xét hàm f(x) = 1 , hàm f(x) là hàm đơn điệu tăng khi x và f(x) bị x x 1 chặn trên , do đó  lim 1 e, số e là một số vô tỷ, có giá trị e 2,78 x x Nhận xét: 1 Từ giới hạn của số e ta cũng có lim 1 e 0 Có thể vận dụng giới hạn trên để tính giới hạn có dạng 1 Xét lim u(x)v(x) với lim u(x) 1; lim v(x) khi đó có x x0 x x0 x x0 1 (u(x) 1).v(x)  u ( x ) 1  lim [u(x) 1].v(x) v(x) [u(x) 1].v(x) x x lim u(x) lim  1 (u(x) 1)  lim e e 0 x x x x x x 0 0  0 Ví dụ: Tính các giới hạn : x2 x 2 x x 2x 2  2 2 2 2 (1) lim 1 lim 1 lim 1  e ; x x x x x x  2x2 2 2 2 2 x 1 22 x 1 x 1 2 x . .x 2x2 1 2 x 1 2 2 2 (2) ; lim 2 lim 1 2 lim 1 2 e x x 1 x x 1 x x 1 1.3.6 Một số công thức giới hạn cơ bản Các công thức giới hạn sau được suy ra từ các hai công thức giới hạn cơ bản trên. sin x tgx arcsin x 1 cosx 1 lim 1; lim 1 ; lim 1 ; lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2 2
6. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 15 x 1 1 ex 1 a x 1 lim 1 lim 1 e ; lim 1; lim ln a ; x x 0 x 0 x x 0 x (1 x) 1 ln(1 x ) lim ; lim 1 x 0 x x 0 x 1.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 1.4.1 Vô cùng bé. 1.4.1.1. Định nghĩa Đại lượng α(x) được gọi là một vô cùng bé ( VCB ) trong quá trình nào đó nếu trong quá trình ấy lim (x) 0 1 Ví dụ: sinx là VCB khi x→0 ; x2 là VCB khi x→0 ; là VCB khi x→ x Nhận xét: +) Phát biểu một đại lượng là VCB phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số . +) Một số có giá trị cụ thể tuyệt đối bé bao nhiêu cũng không là một VCB. +) Số 0 là VCB trong mọi quá trình. 1.4.1.2 Tính chất: Tổng, hiệu, tích của hữu hạn các VCB trong cùng một quá trình sẽ là một VCB trong quá trình ấy. Tức là: nếu 1(x); 2 (x); ; m x là các VCB thì: 1(x) 2 (x) m x và 1(x). 2 (x) m x là các VCB. Nếu trong cùng một quá trình nào đó (x) là một VCB và hàm f(x) là một hàm bị chặn thì cũng trong quá trình ấy (x).f (x)cũng là một VCB. ( hàm f(x) được gọi là bị chặn nếu  M để |f(x)| < M trong quá trình ấy) 1 Vídụ : Chứng minh: lim x.cos 0 x 0 x2 1 Giải: Khi x dần tới 0 thì ta có x là một VCB. Mặt khác cos 2 từ đó suy ra x2 1 lim x.cos 0. x 0 x2
7. 16 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.4.1.3. So sánh hai VCB. Giả sử (x) và (x)là các VCB trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì khi đó: (x) Nếu k = 0 thì (x)là VCB cấp cao hơn (x)trong quá trình ấy. Nếu k = 1 thì (x)và (x)là các VCB tương đương, kí hiệu: (x) ~  (x). Nếu k 0, k 1 ( k - hữu hạn) thì (x) và (x) là các VCB ngang cấp Nếu k thì (x)là VCB cấp thấp hơn (x) Nếu không tồn tại k, thì (x) và  (x) là hai VCB không so sánh được. Ví dụ: sinx 1) sin x x khi x 0 do lim 1. x 0 x 2) tg5x và sin2x là VCB ngang cấp khi x 0 do tg5x tg5x 2x 5 5 lim lim . . x 0sin2x x 0 5 x sin22 x 2 3) 1 – cos4x là VCB bậc cao hơn e3x 1 khi x 0 do: 2 1os4 c x 2sin22 x sin2 x 3 x 4 x 2 lim3x lim 3 x lim2 3 x . 0 x 0e 1 x 0 e 1 x 0 2 x e 1 3 x 4) ln 1 2x là VCB có bậc thấp hơn 1 x2 1 khi x 0 do: ln 1 2x ln 1 2 x x2 2 x 2 lim lim .1 . lim x 0 2 2 x 02x2 x x 0 x 1 x 1 1 x 2 1 1 5) xsin và x là hai VCB không so sánh được khi x 0 x 1 xsin 1 vì limx limsin ; không tồn tại giới hạn này. x 0x x 0 x
8. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 17 1.4.1.4. Các cặp VCB tương đương cơ bản. . sinx x (khi x 0) . tgx x(khi x 0) . arcsinx x(khi x 0) . arctgx x(khi x 0) . ex 1  x (khi x 0) . ax 1  xlna (khix 0) . ln1 x  x (khix 0) x . log1x  (khix 0) a lna . 1x 1 x(khix 0) x2 . 1 cosx  (khix 0) 2 x3 . x sinx  (khix 0) 6 x3 . tgx x  (khix 0) 3 Giả sử lim u x 0. Khi đó, từ bảng trên ta có được : x a u3 (x) u(x) sinu(x)  (khix a) 6 u3 (x) tg(u(x)) u(x)  (khix a) 3 1.4.2 Vô cùng lớn. 1.4.2.1 Định nghĩa: Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng lớn ( VCL ) trong quá trình x→x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) x x0 Ví dụ: x3 là VCL khi x→ nhưng x3 không là VCL khi x→1. 1 là VCL khi x→2. x 2 Nhận xét: Khi nói một đại lượng là VCL phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số.
9. 18 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.4.2.2 Liên hệ giữa VCB và VCL 1 Nếu trong một quá trình nào đó (x)là một VCB thì cũng trong quá trình ấy là một (x) 1 VCL. Ngược lại, nếu (x)là một VCL thì cũng trong quá trình ấy là một VCB (x) Ví dụ: x là VCB trong quá trình x → 0 thi 1 là VCL trong quá trình x → 0. x 1.4.2.3 Quy tắc so sánh hai VCL Giả sử (x) ;  (x) là các VCL trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì: (x) - Nếu k = 0 thì x là VCL cấp thấp hơn  x - Nếu k = 1 thì x là VCL tương đương  x . - Nếu k 0;k 1 thì x ,  x là các VCL ngang cấp. - Nếu k thì x là VCL cấp cao hơn  x . Nếu không tồn tại k thì x ,  x là các VCL không so sánh được. 1 x Ví dụ 1: Khi x 2 thì là VCL ngang cấp với vì x 2 x 2 2 1 x 2 2 x 2 1 limx 2 lim lim x 2x x 2x x 2 x 2 x x 2 x 2 2 8 x 2 2 Ví dụ 2: Khi x thì x3 2 x 2 1 là VCL có cấp cao hơn x2 1 1 3 2 x 2 x 2 x 1 2 vì lim lim x . x 2 x 1 x 1 1 x2
10. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 19 Ví dụ 3: Khi x thì 3x3 là VCL tương đương với 3x3 2 x 1 2 1 3 3 3x 2 x 12 3 3 vì lim limx x 1. x 3x3 x 3 3 0 1.4.3 Ứng dụng của VCB và VCL trong việc tìm giới hạn dang vô định ; . 0 1.4.3.1 Quy tắc thay thế VCB (VCL) tương đương Giả sử trong quá trình nào đó ta có (x) và (x) là hai VCB (VCL) tương đương có (x) và (x) là hai VCB (VCL) tương đương, khi đó cũng tring quá trình đó ta có : (x) (x) lim lim và lim (x).  (x) lim (x).  (x) (x)  (x) sin 5x 5 x 5 Ví dụ 1 lim lim x 0tg7 x x 0 7 x 7 ln 1 3x3 3x3 6 Ví dụ 2: lim lim x 0 x 0 1 2 1 c os5 x sinx 5x x 25 2 ex e x e x 1 e x 1 x x 1 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim lim 1 x 0arcsin2 x x 0 2 x x 0 2 x x 0 2 x x 0 2 x 22 1 2 2 x 5 1 x 1 1 Ví dụ 4: lim lim 5 x 0tg sin 2 x x 0 x2 5 Chú ý: Chỉ được thay thế các VCB tương đương trong các dạng tích và thương. Không được thay thế trong các dạng tổng và hiệu. Khi tìm giới hạn với quá trình x a, a 0, ta có thể đổi biến t = x – a, để chuyển quá trình x a bằng quá trình t 0 vì trong quá trình này ta có nhiều dạng VCB tương đương.
11. 20 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1 2 tgx sinxtgx 1 cos x x.( x ) 1 Ví dụ 5: lim lim lim 2 x 0x3 x 0 x 3 x 0 x 3 2 Như vậy, rõ ràng trong ví dụ này ta không thể thay thế tgx sinx bởi x – x = 0. sinmx Ví dụ 6: lim . Trong bài này, ta không thể thay simmx bằng mx vì x sinnx mx m , m 0 . Để tiếp tục ta có thể đổi biến: Đặt x = t + , khi x , t 0 . sinmt 1sin(mt) m 1 m n mt 1 m n m Khi đó: I lim lim lim . x sinn t t 0 1 n sin(nt) t 0 nt n 1.4.3.2 Quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao Giả sử trong cùng một quá trình nào đó có các đại lượng VCB 1(x), 2 (x), , m (x) và 1(x),  2 (x), ,  n (x) . Khi đó: (x) (x) x (x) lim1 2 m lim 1(x)  2 (x)  n (x  (x) trong đó (x);  (x) là các VCB cấp thấp nhất ở tử thức, mẫu thức ( chú ý: so sánh với toàn bộ tử thức, toàn bộ mẫu thức). Áp dụng: Tính các giới hạn sau: x sin2 x tg 3 x Ví dụ 1: lim x 0 2x 3x5 5x 7 Giải: Trong quá trình x 0, ta có: sin2x  x2 ; tg3x  x3. Vậy x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức. 2x là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. x sin2 x tg 3 x x 1 Theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, ta có: lim lim x 02x 3 x5 5 x 7 x 0 2 x 2
12. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 21 arcsin5x sin2 7 x Ví dụ 2: lim . x 0 tg2 x ln 1 7 x Giải: Trong quá trình x 0, ta có: arcsin5x  5x , sin27x  (7x)2 , tg2x  x2 , ln(1 + 7x )  7x Từ trên ta có arcsin5x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức và ln(1 + 7x) là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức nên theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao ta có: arcsin5x sin2 7 x arcsin5 x 5 x 5 lim lim lim . x 0tg2 x ln 1 7 x x 0 ln 1 7 x x 0 7 x 7 2 x3 ex 1 cos2 x 1 2 Ví dụ 3: lim x 0 3artg3 x ln 1 7 x sinx Giải: Trong quá trình x 0, ta có: 2 1 (ex 1)2  x2 ; ( cos2x - 1)2  (2x)2 4x 4 2 3arctg3x  3x3 ; ln(1 + 7xsinx)  7xsinx  7x2 2 Như vậy e x 1 và ln 1 7x sinx lần lượt là các VCB bậc thấp nhất trên tử thức và dưới mẫu thức. 22 2 x3 ex 1 cos2 x 1 e x 1 x2 1 Do đó lim lim lim . x 03artg3 x ln 1 7 x sinx x 0 ln 1 7 x sinx x 0 7 x 2 7 tgsinx 2 xln1 2x x 3 Ví dụ 4: lim . x 0 ( 1 4x2 1) (x sinx) Giải: Trong quá trình x 0, ta có: tg(sin2x)  sin2x  x2 ; xln(1+ 2x)  x . 2x  2x2 1 1 x 3 14x 2 1 14x 2 2 1 4x 2 2x 2 ; x sin x  2 6
13. 22 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Vậy tg(sin2x) và xln(1 + 2x) là hai VCB cùng bậc và có bậc thấp nhất trên tử thức. 1 4x2 1 là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. Do đó: tgxx sin2 ln12 xx 3 tgxx sin 2 ln12 x lim lim x 0(14 x2 1) (sinx) x x 0 (14 x 2 1) tg sin 2 x xln 1 2 x x2 x 2 x 1 2 3 lim lim lim lim . x 02 x 0 2 x 01 x 0 1 ( 1 4x 1) ( 1 4 x 1) 4x2 4 x 2 2 2 2 2 2 1.4.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp. Giả sử 1(x), 2 (x), , m (x) và 1(x),  2 (x), ,  n (x) là các VCL trong cùng (x) (x) (x) (x) một quá trình. Khi đó: lim1 2 m lim 1(x)  2 (x)  n (x)  (x) trong đó (x) ;  (x) là các VCL cấp cao nhất ở tử thức và mẫu thức. Chú ý: n n 1 Đa thức Pn x a n x a n 1 x a 1 x a o , ở đây k, n nguyên dương, ai n hằng số, an khác 0. Trong quá trình x→ + thì: Pn(x) ≈ an x . Khi x→ + , ta có thể xắp xếp các VCL sau theo thứ tự bậc cao dần như sau: 1 2 x x lnx,x, x ,a,a1 2 . trong đó ( 2 1 0 ; a 2 a 1 1) Với mọi > 0 ta luôn có x là VCL cấp cao hơn lnx trong quá trình x→ + Áp dụng Tính các giới hạn sau: 2x3 4x 5 2x3 Ví dụ 1 : lim lim 2 . x x3 6x2 8x 1 x x3 n n 1 n 2 n 3 n4 1 Ví dụ 2: lim lim . n 3n4 2 n 2 1 n 3 n 4 3
14. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 23 4n5 1 3 n 2 2 4 n 5 1 4 n 5 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim 0 n 5 4 3 n 3 n 3 n 1 n 1 n 2 n 2 n n 4 3x 4 x 4 x 1 Ví dụ 4: lim lim . x 2x 5.4 x x 5.4 x 5 3x x3 ln x 3 x 1 Ví dụ 5: lim lim . x x2 2ln x 5.3x x 5.3 x 5 1.5 Hàm số liên tục 1.5.1 Hàm số liên tục 1.5.1.1. Liên tục tại một điểm. Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của x0. Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu limf ( x ) f ( x0 ) . Khi đó điểm x0 gọi là điểm liên tục của hàm số f(x). x x0 Ví dụ: f(x) = sinx liên tục trên R. 1 f (x) không liên tục tại x = 2 (vì f(x) không xác định tại x = 2) x 2 Kết quả cần nhớ : Hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định 1.5.1.2 Liên tục một phía. + Liên tục phải: Nếu limf ( x ) f ( x ) thì f(x) gọi là liên tục phải tại x . 0 0 x xo + Liên tục trái: Nếu limf ( x ) f ( x ) thì f(x) gọi là liên tục trái tại x . 0 0 x xo Định lý: Hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi limf () x lim f () x f ( x ) 0 0 x xo x x o Ví dụ 1: Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó: x 2e khi x 0 1) f (x) a 2x khi 0 x 1 cos3x khi x 0 2) f() x x2 a khi x 0
15. 24 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Giải: 1) Có f(x) liên tục tại mọi x ≠ 0 vì các biểu thức xác định f(x) là các hàm số sơ cấp xác định tại mọi x ≠ 0. - Tại x = 0: f(0 0) lim 2 ex 2; f(00) lim a 2 x a f (0). x 0 x 0 Vậy để f(x) liên tục tại x = 0 thì: f(0 0) f 0 0 f 0 a 2. Kết luận : với a = 2 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2) Với x ≠ 0, có f(x) là hàm số sơ cấp nên liên tục. 1 2 1 c os3 x 3x 9 - Xét tại x = 0 có limf x lim lim2 ; f 0 a => f(x) liên tục x 0 x 0x2 x 0 x 2 2 9 9 tại x = 0 khi và chỉ khi a = . Vậy với a = thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2 2 Ví dụ 2: Xác định các hằng số a, b để các hàm số sau đây liên tục  x: 3 2 x 1 khi x 1 2 x 1 x +2 khi x 1 1) f(x) ax2 b khi -1 x 0 2) f(x) ax b khi 1 0 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = -1: f 1 0 lim (a x2 b) a b f 1 x 1 3 2 x 1 2 x 1 f ( 1 0) lim lim x 1 x 1 2 x 1 x 1 3 2 x 3 2 x 1 1 1 lim x 1 2 32 x 3 2 x 1 3 1 Để f(x) liên tục tại x = -1 thì f 1 0 f 1 0 f 1 a b (1) 3
16. Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 25 - Tại x = 0: f 0 0 lim( a x2 b ) b f 0 x 0 e3x 1 3 x f 0 0 lim lim 3. x 0 3 x 0 x Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi b = 3 (2). 8 Kết hợp (1) và (2) suy ra a = . 3 8 Vậy với a = và b = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 3 2) f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại mọi x 2 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = 1: f10 lim(x2 2) 5 f1 f10 lim(ax b) a b x 1 x 1 => f(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi a + b = 5 (1). - Tại x = 2: 4 4 f 2 0 lim(a x b) 2a b f (2) . f 2 0 lim 2 x 2 x 2 x 2 Vậy để f(x) liên tục tại x = 2 thì 2a + b = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = -3; b = 8. Kết luận: với a = -3; b = 8 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 1.5.1.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn. Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại mọi x (a, b). Ký hiệu f (x) C(a , b ) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Ký hiệu f (x) C[a , b ] Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f() x Ca, b thì đồ thị y = f(x) là một đường liền nét đi từ A(a, f(a)) đến B(b, f(b)).