Giáo trình Toán cao cấp A3

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A3

1. 10 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) thỏa điều kiện g(x, y) = 0. Giải Phương pháp 1 + Đặt hàm L(x, y, a) = f(x, y) + ag(x, y) + Tìm điểm dừng thỏa hệ  0  Lx = 0 x = x0  0  Ly = 0 . Giả sử tìm được: y = y0  0  La = 0 a = a0 00 00 00 + Đặt A = Lx2 (x0, y0, a0); B = Lxy(x0, y0, a0); C = Ly2 (x0, y0, a0).  2 2 2 2 h, k ∈ R; h + k > 0 + Xét dấu : 4 = Ah + 2Bhk + Ck . Với h,k thỏa: 0 0 gxh + gyk = 0. + Kết luận : - Nếu 4 0 thì hàm z đạt cực tiểu (x0, y0). - Nếu 4 = 0 thì chưa kết luận được (cần dùng định nghĩa). Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = 6 − 4x − 3y thỏa điều kiện x2 + y2 = 1. Phương pháp 2 Từ điều kiện g(x, y) = 0 nếu rút được duy nhất y = y(x) thì thay vào z = f(x, y(x)), sau đó dùng phương pháp tìm cực trị của hàm một biến để tìm cực trị của z. Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm z = ln |1 + x2y| thỏa điều kiện x − y − 3 = 0. 1.3. Bài tập 2 2 p 2 2 Bài tập 1.1. Cho hàm z = z(x, y) biểu diễn bởi phương trình ẩn z + x = y − z . 2 0 1 0 Tính x zx + y zy theo z. 2 1 z a) z2 b) c) d) . z z 3 Bài tập 1.2. Cho hàm z = x3 − 2x2 + 2y3 + x − 8y. Hãy chọn khẳng định đúng? a) z có 4 điểm dừng. b) z không có điểm dừng. c) z có điểm dừng nhưng không có cực trị. d) z có hai cực đại và hai cực tiểu Bài tập 1.3. Tìm cực trị của hàm số z = z(x,y) thỏa : x2+y2+z2−4x+6y+2z−2 = 0. Biết z < 0. a) z đạt cực tiểu tại M(2, - 3) và ZCT = - 5. b) z đạt cực đại tại M(2, - 3) và ZCĐ = 3. c) Cả câu a) và b. d) z Chỉ có điểm dừng là M(2, - 3). ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
2. Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.3. Bài tập 11 Bài tập 1.4. Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện x2 + y2 = 1. a) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) . b) z đạt cực đại tại M(- 3/5, - 4/5). c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(- 3/5, - 4/5). d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(- 3/5, - 4/5). Bài tập 1.5. Viết công thức taylor của hàm z = f(x, y) = ex+y tại lân cận x = 0, y = 1 đến bậc 2. " # (y − 1)2 a) z = e x + y + x(y − 1) + + R (x, y) . 2 2 (y − 1)2 b) z = x + (y − 1) + x(y − 1) + + R (x, y). 2 2 " # (y − 1)2 c) z = e x + y − 1 + x(y − 1) + + R (x, y). 2 2  2 d) z = e x + y + x(y − 1) + (y − 1) + R2(x, y). Bài tập 1.6. Viết công thức taylor của hàm z = f(x, y) = ln(x + y) tại lân cận x = 0, y = 0 đến bậc 2. y2 y2 a) z = x + y − xy − + R (x, y) b) z = x + y + xy − + R (x, y) 2 2 2 2 xy + y2 y2 c) z = x + y − + R (x, y) d) z = x + y − x2 − + R (x, y). 2 2 2 2 v x Bài tập 1.7. Tìm vi phân dz của hàm z = z(u, v) = u , u = y , v = xy xxy  ex x  xxy  x x  a) dz = y ln dx + x ln dy b) dz = y ln dx + x ln dy y y ey y y y xxy  ex x  xxy  ex x  c) dz = y ln dx − x ln dy d) dz = y ln dy + x ln dx . y y ey y y ey (100) π x Bài tập 1.8. Tìm A = zx65y35 (0, 2 ) của hàm z = ( 6 + 3y)cos(x + y), 695 695 695 695 a) A = − b) A = c) A = d) A = . 6 6 3 2 ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
3. Chương 2 Tích phân bội hai 2.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Kiến thức chuẩn bị 2.1.1. Bảng nguyên hàm hàm số một biến. √ R √ dx = ln x + x2 + a2
   + C α+1 x2+a2 R (ax + b)αdx = (ax+b) + C, (α 6= −1) a(α+1) R 1 cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C R dx = 1 ln |ax + b| + C ax+b a R 1 sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C R dx 1 x−a (x−a)(x−b) = a−b ln x−b + C R dx 1 cos2(ax+b) = a tan(ax + b) + C R dx 1 x 2 2 = arctan + C . x +a a a R dx = − 1 cot(ax + b) + C √ sin2(ax+b) a dx
   R √ = ln x + x2 + a2 + C x2+a2 R tan(ax + b)dx = − 1 ln |cos(ax + b)| + C a R √ dx = arcsin x + C a2−x2 a R cot(ax + b)dx = 1 ln |sin(ax + b)| + C √ a R √ dx 2 2 = ln x + x + a + C x +a R ax+b ln(ax + b)dx = a [ln(ax + b) − 1] + C 2.1.2. Phương pháp tính tích phân xác định. 1) Đổi biến. Dùng một trong hai cách sau: b u(b) -Cách 1. Đặt u = u(x). Khi đó R f(x)dx = R g(u)du a u(a) b tb R R 0 -Cách 2. Đặt x = x(t). Khi đó f(x)dx = f(x(t))xt(t)dt a ta
4. Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.1. Kiến thức chuẩn bị 13 2) Từng phần. b b Z Z b udv =uv − vdu a a a Ví dụ. Công thúc Walliss π π 2 2  2.4.6 (n−1) Khi n lẻ Z Z  1.3.5 n sinn xdx = cosn xdx =  1.3.5 (n−1) π 0 0 2.4.6 n × 2 Khi n chẵn 2.1.3. Cách vẽ một số đường cơ bản trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 1) Đường tròn, Miền tròn - Phương trình tổng quát : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 - Phương trình chính tắc : (x − a)2 + (y − b)2 = R2  x − a = R cos t - Phương trình tham số : ; t ∈ R. y − b = R sin t 2 2 - D1 là miền thỏa điều kiện: x + y − 2ax − 2by + c 0. 2) Đường Elip, Miền Elip x2 y2 - Phương trình tổng quát : + = 1. a2 b2  x = a cos t - Phương trình tham số : ; t ∈ R. y = b sin t x2 y2 - D1 là miền thỏa điều kiện: a2 + b2 1 3) Đường Parabol, Miền Parabol a) Phương trình tổng quát : y = ax2 + bx + c; a 6= 0 −b 4ac−b2 - Tọa độ đỉnh x = 2a , y = 4a 2 - D1 là miền thỏa điều kiện: y > ax + bx + c 2 - D2 là miền thỏa điều kiện: y ay + by + c 2 - D2 là miền thỏa điều kiện: x < ay + by + c ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
5. 14 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.2. Tóm tắt lý thuyết 2.2.1. Định nghĩa và ký hiệu ZZ f(x, y)dxdy D Với D là miền đóng và bị chặn trong R2 2.2.2. Một số tính chất của tích phân bội hai RR RR RR S − f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy. Với D1 ∩ D2 = Ø; D1 D2 = D. D D1 D2 − RR [f(x, y) + ag(x, y)] dxdy = RR f(x, y)dxdy+a RR g(x, y)dxdy. D D D 2.2.3. Phương pháp tính tích phân bội hai a) D có dạng hình chữ nhật: [a, b] × [c, d] b  d  d  b  ZZ Z Z Z Z f(x, y)dxdy =  f(x, y)dydx =  f(x, y)dx dy D a c c a b) D có dạng hình thang cong: [a, b] × [y1(x), y2(x)]   b y2(x) ZZ Z Z   f(x, y)dxdy =  f(x, y)dydx D a y1(x) c) D có dạng hình thang cong: [x1(y), x2(y)] × [c, d]   d x2(y) ZZ Z Z   f(x, y)dxdy =  f(x, y)dx dy D c x1(y) Ví dụ1: Tính a) I = RR |y − x2|dxdy. Với D :[−1, 1] × [0, 2]. D √ b) I = RR 2xydxdy. Với D giới hạn bởi: y = x, y = x. D c) I = RR dxdy. Với D giới hạn bởi: y2 = 10x + 25, y2 = −6x + 9. D Ví dụ2: Thay đổi thứ tự tính các tích phân sau √ √ 1/4 x 2 2x−x2 a) I = R dx R f(x, y)dy. b) I = R dx R f(x, y)dy 1 x 1 2√−x e ln x 1 4 y c) I = R dx R f(x, y)dy d) I = R dy R f(x, y)dx √ 1 0 0 y ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
6. Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.2. Tóm tắt lý thuyết 15 Ví dụ3: Tính các tích phân sau a) I = RR dxdy. Với D giới hạn bởi: y = ex + x; y = e−x + x; x = 1. D √ b) I = RR ylnxdxdy. Với D giới hạn bởi: xy = 1; y = x; x = 2. D c) I = RR (cos2x + siny)dxdy. Với D giới hạn bởi: x ≥ 0; y ≥ 0; 4x + 4y ≤ π. D 2.2.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai. a) D có dạng hình bình hành cong:   u(x, y) = a  u(x, y) = b D giới hạn bởi: ; a < b; c < d.  v(x, y) = c  v(x, y) = d  u = u(x, y) Bằng cách đặt : . Ta được D :[a, b]×[c, d]. v = u(x, y) 1 Khi đó : ZZ ZZ 0 0 f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) ux uy f(x, y)dxdy = dudv. Với J = 0 0 |J| vx vy D D1 b) D có dạng biên tròn : D có biên là đường tròn hoặc một phần của đường tròn có phương trình : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0  x = rcosϕ Bằng cách đặt : ; 0 ≤ r < +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π. y = rsinϕ Ta được D1 :[ϕ1, ϕ2] × [r1(ϕ), r2(ϕ)]. Khi đó : ZZ ZZ f(x, y)dxdy = rf(rcosϕ, rsinϕ)drdϕ. D D1 c) D có dạng biên Elip : D có biên là đường Elip hoặc một phần của đường Elip có phương trình : x2 y2 + = 1 a2 b2  x = arcosϕ Bằng cách đặt : ; 0 ≤ r < +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π. y = brsinϕ ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
7. 16 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ Ta được D1 :[ϕ1, ϕ2] × [r1(ϕ), r2(ϕ)]. Khi đó : ZZ ZZ f(x, y)dxdy = abrf(rcosϕ, rsinϕ)drdϕ. D D1 Ví dụ1: Tính a) I = RR (x − y)2(x + 2y)dxdy. D Với D giới hạn bởi: x − y = 0, x − y = 1, x + y = 2, x + y = 3. b) I = RR (x2 + y2)2(x2 − y2)xydxdy. D Với D giới hạn bởi: xy = 1, xy = 2, y2 − x2 = −1, y = x. c) I = RR xydxdy. Với D giới hạn bởi: y2 = x, y2 = 3x, y = x, y = 2x. D d) I = RR dxdy. Với D giới hạn bởi: y2 = x, y2 = 3x, x2 = 2y, x2 = 4y. D Ví dụ2: Tính các tích phân sau a) I = RR px2 + y2dxdy. Với D giới hạn bởi: x2 + y2 = 1, x ≥ 0, y ≥ x. D √ b) I = RR ydxdy. Với D giới hạn bởi: x2 + y2 = 2, x ≥ 3y, y ≥ −x. D √ c) I = RR (x2 + y2 + 1)dxdy. Với D giới hạn bởi: x2 + y2 = 4, y ≥ 3|x|. D d) I = RR (x2 + y2 − x)dxdy. Với D giới hạn bởi: x2 + y2 − x = 0. D Ví dụ3: Tính tích phân I = RR dxdy. Trong các trường hợp sau : D a) D giới hạn bởi: x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≤ |x|. b) D giới hạn bởi: x2 + y2 − x − y = 0, y ≤ 0 ∨ x ≤ 0. c) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2y ≤ 0, x2 + y2 − 2x ≤ 0 . d) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2y ≥ 0, x2 + y2 − 4y ≤ 0, y ≤ √1 x. 3 Ví dụ4: Xác định cận r, ϕ khi dùng phép đởi biến x = rcosϕ, y = rsinϕ. Trong các trường hợp sau : a) D giới hạn bởi: x2 + y2 ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x. b) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2y ≤ 0, y ≥ 1. c) D giới hạn bởi: x2 + y2 = 2, x ≥ 1. d) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2 . ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
8. Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.2. Tóm tắt lý thuyết 17 Ví dụ5: Tính các tích phân sau q RR x2 y2 x2 y2 a) I = 1 − a2 − b2 dxdy. Với D giới hạn bởi: a2 + b2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. D RR x2 y2 x2 y2 b) I = ( a2 + b2 )dxdy. Với D giới hạn bởi: a2 + b2 = 1, x ≥ 0, y ≥ x. D 2 2 2 2 √ c) I = RR ( x + y )dxdy. Với D giới hạn bởi: x + y = 1, y ≥ √1 x, y ≥ − 3x. a2 b2 a2 b2 3 D 2 2 2 2 d) I = RR 5dxdy. Với D giới hạn bởi: x + y ≥ 1, x + y ≤ 1, y ≥ √1 |x|. a2 b2 4a2 4b2 3 D RR x2 y2 e) I = dxdy. Với D giới hạn bởi: a2 + b2 = 1, y ≤ 0, bx + ay ≥ 0. D RR x2 y2 f) I = dxdy. Với D giới hạn bởi: a2 + b2 = 1, y ≥ 0, bx − ay ≤ 0. D √ 2 2 g) I = RR dxdy. Với D giới hạn bởi: x + y = 1, y ≤ b 3 x, y ≥ √b x. a2 b2 a 3a D 2.2.5. Ứng dụng của tích phân bội hai. a) Diện tích miền D kín trong mặt phẳng Oxy ZZ SD = dxdy D b) Khối lượng bản phẳng không đồng chất Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởi hàm liên tục ρ(x, y). Khi đó khối lượng của D được tính theo công thức: ZZ mD = ρ(x, y)dxdy D c) Tọa độ trọng tâm của bản phẳng không đồng chất Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởi hàm liên tục ρ(x, y). Khi đó tọa độ trong tâm G của D trong hệ tọa độ Oxy được tính bởi công thức RR xρ(x, y)dxdy RR yρ(x, y)dxdy D D xG = ; yG = mD mD d) Mômen quán tính của bản phẳng không đồng chất Xét bản phẳng D làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởi hàm liên tục ρ(x, y). Khi đó Mômen quán tính của D theo trục Ox , Oy và gốc tọa độ lần lượt tính theo công thức ZZ ZZ ZZ 2 2 2 2 Ix = x ρ(x, y)dxdy; Iy = y ρ(x, y)dxdy; Io = (x + y )ρ(x, y)dxdy D D D ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
9. 18 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ e) Thể tích miền V kín trong không gian Oxyz Bài toán . Tính thể tích miền V giới hạn bởi mặt trên có phương trình z = f(x, y) mặt dưới có phương trình g = g(x, y), các đường sinh song song với truc Oz. Giải Gọi D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy. Ta có : ZZ V = (f(x, y) − g(x, y))dxdy D Ghi chú : Chúng ta có thể thay đổi vai trò x, y, z trong bài toán trên. Ví dụ1: Tính diện tích miền D trong các trường hợp sau: a) D giới hạn bởi: x2 + y2 ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x. b) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2y ≤ 0, y ≥ 1. c) D giới hạn bởi: x2 + y2 = 2 ≤ 0, x ≥ 1. d) D giới hạn bởi: x2 + y2 − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2 . Ví dụ2: Tính thể tích miền V trong các trường hợp sau: a) V giới hạn bởi: z = x2 + y2 + 1, z = 0, x = 0, y = 0, x = 4 y = 4 b) V giới hạn bởi: y + z = 2, z = 0, y = x2. c) V giới hạn bởi: y = x2, y = 1, x + y + z = 4, z = 0. d) V giới hạn bởi: z = y2 − x2, z = 0, y = ±2. Ví dụ3: Tính thể tích miền V trong các trường hợp sau: a) V giới hạn bởi: z = x2 + y2, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 4. b) V giới hạn bởi: z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x c) V giới hạn bởi: x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 ≤ 1. d) V giới hạn bởi: 4 − x2 − y2 = z, x2 + y2 + 2 = 2z. Ví dụ4: Tính khối lượng, Tọa độ trọng tâm , Mômen quán tính của miền D trong các trường hợp sau: a) D giới hạn bởi: x = 4, x + y ≥ 4, y ≤ x, ρ(x, y) = x + y. b) D giới hạn bởi: y = x2, x = y2, đồng chất. c) D giới hạn bởi: x2 + y2 = 2 ≤ 0, x ≥ 1, đồng chất. x2 y2 d) D giới hạn bởi: 4 + 9 ≤ 1, x ≥ 0, đồng chất 2.3. Bài tập ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
10. Chương 3 Tích phân bội ba 3.1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Tóm tắt lý thuyết 3.1.1. Định nghĩa và ký hiệu ZZZ f(x, y, z)dxdydz Ω Với Ω là miền đóng và bị chặn trong R3 3.1.2. Một số tính chất của tích phân bội ba RRR RRR RR S − f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy. Với Ω1 ∩ Ω2 = Ø; Ω1 Ω2 = Ω. Ω Ω1 Ω2 − RRR [f(x, y) + ag(x, y)] dxdy = RRR f(x, y)dxdy+a RRR g(x, y)dxdy. Ω Ω Ω 3.1.3. Phương pháp tính tích phân bội ba a) Nếu Ω có dạng : [a, b] × [y1(x), y2(x)] × [z1(x, y), z2(x, y)] thì     b y2(x) z2(x,y) ZZZ Z Z Z     f(x, y, z)dxdydz =   f(x, y, z)dz dydx Ω a y1(x) z1(x,y) b) Nếu D là hình chiếu của Ω lên mặt phẳng Oxy thì :  z (x,y)  ZZZ ZZ 2Z   f(x, y, z)dxdydz =  f(x, y, z)dzdxdy Ω D z1(x,y)
11. 20 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ Chú ý: Vai trò x,y,z trong các công thức trên có thể thay đổi thứ tự. Ví dụ1: Tính ZZZ p a) I = z2dxdydz. Với Ω : [0, 1/4] × [x, 2x] × [0, 1 − x2 − y2]. Ω ZZZ b) I = xdxdydz. Với Ω giới hạn bởi: x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0, z = x2 + y2. Ω ZZZ c) I = dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: y = x, y = x2, z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2. Ω ZZZ d) I = dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = 0. Ω ZZZ √ e) I = xy zdxdydz. Với Ω giới hạn bởi: z = 0, z = y, y = x2, y = 1. Ω ZZZ p f) I = x2 + y2dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: 2z = x2 + y2, y + z = 4. Ω 3.1.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba. a) Khi Ω có dạng hình hộp cong:   u(x, y, z) = a   u(x, y, z) = b  v(x, y, z) = c Ω giới hạn bởi: ; a < b; c < d; e < f.  v(x, y, z) = d   w(x, y, z) = e  w(x, y, z) = f   u = u(x, y, z) Bằng cách đặt : v = u(x, y, z) . Ta được Ω1 :[a, b]×[c, d]×[c, d].  w = w(x, y, z) Khi đó : ZZZ ZZZ f(ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), φ(u, v, w)) f(x, y, z)dxdydz = dudvdw. |J| Ω Ω1 0 0 0 ux uy uz 0 0 0 Với J = vx vy vz 0 0 0 wx wy wz b) Khi Ω có dạng D × [z1(x, y); z2(x, y)] với D có dạng biên tròn hoặc Elip :    x = rcosϕ  x = arcosϕ Đặt : y = rsinϕ Hoặc y = brsinϕ ; 0 ≤ r < +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π.  z = z  z = z ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
12. Th.s Đỗ Hoài Vũ 3.1. Tóm tắt lý thuyết 21 Ta được: ZZZ ZZZ f(x, y, z)dxdydz = rf(rcosϕ, rsinϕ, z)drdϕdz. Ω Ω1 Hoặc ZZZ ZZZ f(x, y, z)dxdydz = abrf(rcosϕ, rsinϕ, z)drdϕdz. Ω Ω1 c) Khi Ω có dạng mặt cầu hoặc Elipxoit :   x = rsinθcosϕ Ω:(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = 1. Đặt : y = rsinθsinϕ  z = rcosθ  x = arsinθcosϕ x2 y2 z2  Ω : + + = 1. Đặt : y = brsinθsinϕ 1 a2 b2 c2  z = crcosθ (r, ϕ, θ) ∈ [0, < +∞) × [0, 2π] × [0, π]. Ta được: ZZZ ZZZ f(x, y, z)dxdydz = f(rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)r2sinθdrdϕdθ. Ω Ω∗ Hoặc ZZZ ZZZ f(x, y, z)dxdydz = abc f(rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)r2sinθdrdϕdθ. ∗ Ω1 Ω1 Ví dụ1: Tính ZZZ a) I = dxdydz. Ω Với Ω giới hạn bởi: x + y + z = ±3, x + 2y − z = ±2, x + 4y + z = ±2. ZZZ b) I = dxdydz. Ω Với Ω giới hạn bởi: z = x2 + y2, 2z = x2 + y2, z = 2x, z = 3x, z = y, z = 2y. ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
13. 22 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ Ví dụ2: Tính các tích phân sau ZZZ p a) I = x2 + y2zdxdydz. Ω: z = 0, z = 5, x2 + y2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Ω ZZZ b) I = (z + 1)dxdydz. Ω : x2 + y2 = 2z, z = 2. Ω ZZZ p √ c) I = (x2 + y2)dxdydz. Ω : x2 + y2 = 2z, z = x2 + y2, x ≥ 3y, y ≥ x. Ω ZZZ d) I = dxdydz. Ω : x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. Ω ZZZ e) I = dxdydz. Ω : x2 + y2 = z, z = x + y. Ω ZZZ f) I = zdxdydz. Ω : x2 + y2 + z2 = 4, x2 + (y + 1)2 = 1, z ≥ 0. Ω ZZZ g) I = zdxdydz. Ω : z = x2, z = 2x2, (x + 1)2 + y2 ≥ 1, (x + 2)2 + y2 ≤ 4. Ω Ví dụ3: Đổi biến trong tọa độ trụ khi Ω là những miền sau: a) Ω: x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≤ |x|, z = 0, z = 4. b) Ω: x2 + y2 − x − y = 0, y ≤ 0 ∨ x ≤ 0, z = 0, z = x2 + y2. p c) Ω: x2 + y2 − 2y ≤ 0, x2 + y2 − 2x ≤ 0, z = ± 1 − x2 − y2 . 1 d) Ω: x2 + y2 − 2y ≥ 0, x2 + y2 − 4y ≤ 0, y ≤ √ x, z = x + y, z = 2x + 2y 3 e) Ω: x2 + y2 ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x, z = x, z = 2x. f) Ω: x2 + y2 − 2y ≤ 0, y ≥ 1, z2 + x2 = 1. g) Ω: x2 + y2 = 2, x ≥ 1, z = y, z = 2y h) Ω: x2 + y2 − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2, z = y2 + 1, z = 2y2 + 1. Ví dụ4: Tính thể tích miền Ω trong các thường hợp sau: x2 y2 a) Ω: + = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, z = 4. 4 9 x2 y2 b) Ω: + = 1, x ≥ 0, y ≥ x, z = x2 + y2, z = 9. 1 4 x2 y2 1 √ c) Ω: + = 1, y ≥ √ x, y ≥ − 3x, z = 0, z = 1 − x2 − y2. 16 9 3 x2 y2 x2 y2 1 d) Ω: + ≥ 1, + ≤ 1, y ≥ √ |x|, z = a, z = 0. a2 b2 4a2 4b2 3 x2 y2 x2 y2 z2 e) Ω: + = 1, y ≤ 0, bx + ay ≥ 0, + + = 1. a2 b2 a2 b2 1 ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
14. Th.s Đỗ Hoài Vũ 3.1. Tóm tắt lý thuyết 23 x2 y2 f) Ω: 2 + 2 = 1, y ≥ 0, bx − ay ≤ 0, z ≤ x, z ≥ 0. a b √ x2 y2 b 3 b g) Ω: + = 1, y ≤ x, y ≥ √ x, z ≤ 2y, z ≥ y. a2 b2 a 3a Ví dụ5: (Tọa độ cầu) Tính các tích phân sau: ZZZ p a) I = x2 + y2 + z2dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 1. Ω ZZZ b) I = (2z + 1)dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 3, z ≥ 0. Ω ZZZ c) I = (x2 + y2)dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 3, z ≤ 0. Ω ZZZ d) I = dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ x, x ≥ 0. Ω ZZZ √ e) I = dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 4, z ≤ −x, z ≥ − 3x. Ω ZZZ f) I = 4dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 8, z2 ≥ x2 + y2, z ≥ 0. Ω ZZZ √ g) I = dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 3(x + y), z ≥ 0. Ω ZZZ p h) I = x2 + y2 + z2dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = z. Ω ZZZ p h) I = x2 + y2 + z2dxdydz. Ω: x2 + y2 + z2 = x. Ω Ví dụ 6: (Tọa độ cầu-elipxoit) Tính các tích phân sau: ZZZ x2 y2 x2 y2 z2 a) I = (1 − − )dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: + + = 1. a2 b2 a2 b2 c2 Ω ZZZ x2 y2 z2 b) I = dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: + + = 1, x ≥ 0. a2 b2 c2 Ω ZZZ x2 y2 z2 c) I = xdxdydz. Với Ω giới hạn bởi: + + = 1, z ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0. a2 b2 c2 Ω ZZZ x2 y2 z2 d) I = y2dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: + + = 1, z ≥ 0, y ≤ 0. a2 b2 c2 Ω ZZZ x2 y2 x2 y2 z2 e) I = ( + )dxdydz. Với Ω giới hạn bởi: + + = 1, z ≥ 0, z ≤ x. a2 b2 a2 b2 c2 Ω ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
15. 24 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ 3.1.5. Ứng dụng của tích phân bội ba. a) Thể tích miền Ω kín trong không gian Oxyz ZZZ VΩ = dxdydz Ω b) Khối lượng hình khối không đồng chất Xét hình khối Ω làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởi hàm liên tục ρ(x, y, z). Khi đó khối lượng của Ω được tính theo công thức: ZZZ mΩ = ρ(x, y, z)dxdydz Ω c) Tọa độ trọng tâm của hình khối không đồng chất Xét hình khối Ω làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởi hàm liên tục ρ(x, y, z). Khi đó tọa độ trong tâm G của Ω trong hệ tọa độ Oxyz được tính bởi công thức RRR xρ(x, y, z)dxdydz RRR yρ(x, y, z)dxdydz RRR zρ(x, y, z)dxdy Ω Ω Ω xG = ; yG = ; zG = mΩ mΩ mΩ Ví dụ1: Tính thể tích miền Ω trong các trường hợp sau: a) x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4, y ≤ |x|, z = 0, z = 4. b) x2 + y2 − x − y = 0, y ≤ 0 ∨ x ≤ 0, z = 0, z = x2 + y2. p c) x2 + y2 − 2y ≤ 0, x2 + y2 − 2x ≤ 0, z = ± 1 − x2 − y2. 1 d) x2 + y2 − 2y ≥ 0, x2 + y2 − 4y ≤ 0, y ≤ √ x, z = x + y, z = 2x + 2y 3 e) x2 + y2 ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x, z = x, z = 2x. f) x2 + y2 − 2y ≤ 0, y ≥ 1, z2 + x2 = 1. g) x2 + y2 = 2, x ≥ 1, z = y, z = 2y h) x2 + y2 − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2, z = y2 + 1, z = 2y2 + 1. i) |2x − 3y + 4z| + |−3x + 4y − z| + |2x + 3y − 3z| 6 1. j) x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4. k) x2 + y2 + z2 = 3a2, x2 + y2 = 2az, z ≥ 0, a > 0. x2 + y2 z2 l) 2 + 2 = 1. a √ 3a m) y = x2 + z2, y = 4. n) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. x2 y2 z2 x2 y2 z2 p) + + = 1, + − = 0, z > 0. a2 b2 c2 a2 b2 c2 ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇