Giáo trình Toán cao cấp A2

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A2

1. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 2. CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. Giá trị riêng, véc tơ riêng Định nghĩa: A là ma trận vuông cấp n. Số k gọi là giá trị riêng của A nếu phương trình Ax=kx có nghiệm x ≠0. Véc tơ x≠0 nói trên gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng k. Nhận xét: - Nếu k là giá trị riêng thì det(A-kI)=0 (gọi là phương trình đặc của A) - Nghiệm khác không của phương trình Ax=kx là các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng k. 3 2 Ví dụ: Tìm véc tơ riêng của ma trận A 1 0 3 k 2 Phương trình đặc trưng 0 k2-3k+2=0k =1 hoặc k=2. 1 k vậy có hai giá trị riêng k=1 và k=2. t Với k=1 ta có các véc tơ riêng x= , t≠0 t 2t Với k=2 ta có các véc tơ riêng x= , t≠0. t 2.2. Vấn đề chéo hóa ma trận Bài toán 1: Cho ma trận vuông A có hay không ma trận P sao cho A’=P-1AP là ma trận chéo? xác định P và A’. Bài toán 2: Cho ánh xạ tuyến tính f : X X có hay không một cơ sở sao cho ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở đó là ma trận chéo. Xác định cơ sở đó và tính ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở đó. Định nghĩa: Hai ma trận A, B gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P sao cho B = P-1AP Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông, A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại P sao cho P-1AP là ma trận chéo. Định lí: Nếu ma trận A có n véc tơ riêng p1,p2, ,pn độc lập tuyến tính ứng với n giá trị riêng k1,k2, ,kn thì P=[ p1;p2, ,pn] làm chéo hóa A. Hơn nữa, k1 0  0 0 k  0 A’= P-1AP= 2     0 0  kn 10
2. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Nhận xét: - Nếu pi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng ki (i = 1,2, ,n) thì {p1, p2, pn} độc lập tuyến tính. - Hai ma trận đồng dạng có cùng các GTR và VTR. 1 1 4 -1 Ví dụ 1. Cho A 2 0 4 . Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P AP. 1 1 5 Giải Phương trình đặc trưng -k 3+6k2 -11k+6=0 có 3 nghiệm k = 1 ; k = 2 ; k = 3 x1 x1 x2 4x3 0 x1 0 Với k = 1, ta có A x = 1. x 2x x 4x 0 x 4t 2 2 1 2 3 2 x3 x3 x1 x2 4x3 0 x3 t 0 Chọn t = 1 ta được vectơ riêng tương ứng p = 4 1 1 Tương tự, 1 k = 2 ta được vectơ riêng tương ứng p = 1 2 0 2 k = 3 ta được vectơ riêng tương ứng p = 0 3 1 0 1 2 1 0 0 1 Vậy P 4 1 0 làm chéo hóa A vàA' P AP 0 2 0 1 0 1 0 0 3 1 2 2 2 Ví dụ 2. Cho A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f:R R đối với cơ sở 0 3 2 B={u1=(1;1); u2=(1;0)}. Tìm một cơ sở B’ của R sao cho ma trận A’ của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B’ là ma trận chéo, xác định A’. Giải Phương trình đặc trưng (-1)(-3)=0 =1 hoặc =3 t Các véc tơ riêng ứng với GTR =1 là x ,t 0 . 0 11
3. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa t Các véc tơ riêng ứng với GTR =3 là x ,t 0 . t 1 1 Suy ra ma trận P làm chéo hóa A 0 1 2 Gọi B’={u1’;u2’} là cơ sở của R sao cho P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. Khi đó, ta có u1’= u1 + 0.u2 = (1;1) u2’= u1 - u2 = (0;1) 1 1 0 Vậy B’ = { u1’=(1;1); u2’= (0;1)} và A' P AP là ma trận của f đối với 0 3 cơ sở B’. Bài tập chương 2 1. Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P-1AP trong các trường hợp sau: 1 4 0 3 1 1 3 3 1 a) A 3 2 0 b) A 1 1 1 c) A 3 5 3 1 1 5 1 1 1 4 6 6 2. Cho ánh xạ tuyến tính T:R3 R3 biết T(x;y;z)=(3x-2y;-2x+3y;5z) Tìm một cơ sở của R3 sao ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo, xác định ma trận đó. 1 3 2013 3. Cho A . Tính A . 4 2 12
4. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3: CHUỖI 3.1. Chuỗi số 3.1.1 Định nghĩa Cho dãy số u1, u2, , un, Tổng vô hạn u1 + u2 + + un + (1) được gọi là chuỗi số (gọi tắt là chuỗi) và được kí hiệu là un . n 1 Các số u1,u2, ,un, gọi là các số hạn của chuỗi, un được gọi là số hạn tổng quát. n Tổng S u u u u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. n  k 1 2 n k 1 Nếu limSn S R thì ta nói chuổi un hội tụ và có tổng là S và ta viết u n S n 1 n 1 Nếu chuỗi un không hội tụ ta nói chuỗi đó phân kì. n 1 Hiệu Rn = S – Sn gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Ví dụ 1: Tính tổng của chuỗi qn 1 (nếu có), trong đó q là số thực cho trước. n 1 n n 1 1 q Giải: Tổng riêng thứ n của chuỗi q với (q≠1) là: Sn n 1 1 q 1 Nếu |q| 1 thì limSn Nếu q =1 thì limSn . Nếu q = -1 thì (Sn) không có giới hạn. 1 Vậy |q| < 1 thì qn 1 và |q| ≥ 1 thì qn 1 phân kì n 1 1 q n 1 1 Ví dụ 2: Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi  . n 1 n(n 1) 1 1 1 Giải: Ta có ,n n(n 1) n n 1 Tổng riêng 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 Vậy  1 n 1 n(n 1) 13
5. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.2. Các tính chất Định lí 1 (điều kiện cần): Nếu chuỗi un hội tụ thì lim | un | 0. n 1 Chứng minh Vì chuỗi un hội tụ nên limSn S n 1 Mặt khác, ta có un Sn Sn 1 với mọi n N. Do đó lim | u n | |S S| 0 . Chú ý: Điều ngược lại của định lí nói chung không đúng. 1 Ví dụ 3: Xét chuỗi điều hoà chuỗi  . Ta có, limun = 0 n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 Mặt khác, ta có : , x [n;n+1] với mọi n N,do đó, dx dx với n x n n n x 1 n 1 1 mọi n N, hay dx với mọi n N n n x n 1 1 1 Cộng các bất đẳng thức trên ta có S dx ln(n 1) ∞ do đó phân kì. n  1 x n 1 n Định lí 2: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số un hội tụ là với mọi >0, tồn tại số tự n 1 nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| 0, tồn n 1 tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| <  thì (Sn) là dãy Côsi do đó (Sn) hội tụ do đó un hội tụ. n 1 Định lí 3: Nếu un S thì au n aS, với a là số thực kất kì cho trước. n 1 n 1 Định lí 4: Nếu un S và vn T thì (un vn ) S T n 1 n 1 n 1 Định lí 5: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi không đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các số hạn đầu. 14
6. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.3 Chuỗi số dương a. Định nghĩa: Chuỗi un , trong đó an ≥ 0 với mọi n N được gọi là chuỗi số dương. (2) n 1 b. Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương un hội tụ là dãy tổng riêng n 1 tương ứng (Sn) bị chặn trên. Chứng minh Nếu un hội tụ thì dãy (Sn) có giới hạn do đó (Sn) bị chặn. n 1 Ngược lại, Giả sử (Sn) bị chặn trên. Mặt khác, do Sn+1 – Sn = un+1 > 0 nên (Sn) tăng. Vậy (Sn) tăng và bị chặn trên, do đó (Sn) hội tụ hay un hội tụ. n 1 1 Tính chất: Chuỗi  hội tụ khi > 1, phân kì khi 1. n 1 n 1 Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi  n n 1 2 5 n 1 n 1 1 Ta có Sn  k  k 1 n 1. k 1 2 5 k 1 2 2 Vậy (Sn) bị chặn trên do đó chuỗi hội tụ. Định lí 2: (Dấu hiệu so sánh) Cho hai chuỗi số dương un và vn . Nếu tồn tại số dương c sao cho n 1 n 1 un c.vn ,n N thì : i) nếu chuỗi vn hội tụ suy ra chuỗi un hội tụ. n 1 n 1 ii) nếu chuỗi un phân kì suy ra chuỗi vn phân kì. n 1 n 1 Chứng minh Gọi Sn và Tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi un và chuỗi vn n 1 n 1 15
7. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa i) Do un c.vn ,n N nên Sn c.Tn ,n N . Vì vn hội tụ nên (Tn) bị chặn n 1 do đó (Sn) cũng bị chặn. Theo định lí 1 chuỗi un hội tụ. n 1 ii) Do un c.vn ,n N nên Sn c.Tn ,n N . Vì un phân kì nên (Sn) không n 1 bị chặn trên do đó (Tn) cũng không bị chặn trên. Theo định lí 1 vn phân kì. n 1 1 Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi  3 n n 1 n.3 n 1 1 1 Giải: Ta có , n 1 và chuỗi hội tụ. 3 n n  n.3 .3 n 1 3 1 Do đó chuỗi hội tụ  3 n n 1 n.3 1 Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi  . n 1 2n 1 1 1 1 Giải: Ta có, . , n 0. 2n 1 3 n 1 1 Và chuỗi điều hoà  phân kì. Do đó, chuỗi  phân kì. n 1 n n 1 2n 1 Định lí 3: (Dấu hiệu CôSi) n Cho chuỗi số dương un . Nếu lim un = L thì n 1 i) nếu L 1 suy ra chuỗi un phân kì. n 1 Chứng minh - Với L 0 đủ bé sao cho 0< L +  = q < 1. n n n Vì lim un = L nên với n đủ lớn thì un L  q 1 do đó un < q Mặt khác, chuỗi qn hội tụ (vì 0 q <1) n 1 Từ dấu hiệu so sánh ta có un hội tụ. n 1 16
8. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa - Với L > 1. Ta chọn  > 0 đủ bé sao cho L -  > 1. n n Vì lim un = L nên với n đủ lớn thì un l  1 un 1 Do đo, chuỗi un phân kì n 1 Định lí 4: (Dấu hiệu Đalămbe) u n 1 Cho chuỗi số dương un . Nếu lim L thì n 1 u n i) nếu L 1 suy ra chuỗi un phân kì. n 1 Chứng minh n2 1 Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của chuỗi  1 n 1 n n2 n 1 1 1 Ta có lim n 1 lim 1 e 1. n n n2 1 Theo định lí Côsi ta có chuỗi  1 hội tụ. n 1 n 5n Ví dụ 8: Xét sự hội tụ của chuỗi  . n 1 n 1 5n 1 5(n 1) Ta có lim n 2 lim 5 1. 5n n 2 n 1 5n Theo định lí Đalămbe ta có chuỗi  phân kì. n 1 n 1 3.1.4 Chuỗi đan dấu n a. Định nghĩa: Chuỗi có dạng ( 1) u n trong đó an ≥ 0 (hoặc an 0) với mọi n 1 n N được gọi là chuỗi đan dấu. b. Định lí: (Tiêu chuẩn Lépnít) n Nếu dãy (un) giảm và lim un = 0 thì chuỗi đan dấu ( 1) un hội tụ. n 1 17
9. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa ( 1)n 1 Ví dụ 9: Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà đan dấu  . n 1 n 1 Ta có, dãy (un) với u là dãy giảm và limun=0. Theo dấu hiệu Lépnít ta có n n ( 1)n 1 chuỗi điều hoà đan dấu  hội tụ. n 1 n 3.1.5 Chuỗi hội tụ tuyệt đối a. Định nghĩa: Chuỗi un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi | un | hội tụ. n 1 n 1 b. Định lí: Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. ( 1)n 1 Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của chuỗi  2 n 1 n ( 1)n 1 1 1 Ta có,  2  2 và chuỗi  2 hội tụ. n 1 n n 1 n n 1 n ( 1)n 1 Vậy chuỗi  2 hội tụ. n 1 n 3.2 Chuỗi luỹ thừa 3.2.1 Định nghĩa n Chuỗi luỹ thừa là chuỗi dạng a n (x ) (3) n 0 n Nếu đặt X x khi đó chuỗi (3) trở thành a nX (4) n 0 3.2.2 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Định lí Aben n Nếu chuỗi a n x hội tụ tại x0 ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi điểm x mà |x| < |x0|. n 0 n Từ định lí suy ra, tồn tại số thực không âm R sao cho chuỗi luỹ thừa a n x hội tụ n 0 trên khoảng (-R;R) và phân kì trong (-∞,-R) (R; +∞). n Định nghĩa: Số thực không âm R sao cho chuỗi a n x hội tụ trên khoảng (-R;R) n 0 và phân kì trong (-∞,-R) (R; +∞) gọi là bán kính hội tụ của chuỗi đó. 18
10. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Định lí CôSi n Nếu lim a n L thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (4) là: 1 , 0 L L R , L 0 0 , L Định lí Đalămbe a Nếu lim n 1 L thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (4) là: a n 1 , 0 L L R , L 0 0 , L n x 2 Ví dụ 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n 1 n tn Đặt t = x – 2 chuỗi trở thành  n 1 n a n Ta có lim n 1 lim 1, do đó R = 1. n n a n n 1 1 Tại t = 1, ta có chuỗi số  phân kỳ. n 1 n n 1 Tại t = -1, ta có chuỗi số  là chuỗi số điều hòa đan dấu thỏa mãn các điều n 1 n kiện của định lý Leinitz, nó hội tụ. Miền hội tụ -1 t < 1 Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là 1 x < 3. xn Ví dụ 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n 1 n! a n! 1 Ta có lim n 1 lim lim 0 n n n a n n 1 ! n 1 Do đó R = + , chuỗi lũy thừa hội tụ trên toàn R. 19
11. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa n nx Ví dụ 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n 1 n 1 n Ta có lim n a = lim = 1 => R = 1 n n 1 n nx 1 1 Khi x = 1, ta có chuỗi số  . Số hạng tổng quát un n 0 n 1 n 1 1 e 1 n khi n , vậy chuỗi số phân kỳ. n n n Khi x = -1, ta có chuỗi số  1 , số hạng tổng quát của nó không dần n 1 n 1 tới 0 khi n , chuỗi số phân kỳ. Vậy miền hội tụ là (-1, 1). 3.2.3 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa a. Định nghĩa Hàm số S(x) gọi là khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trong khoảng (-R;R) nếu n tồn tại chuỗi luỹ thừa a n x hội tụ về hàm số S(x) trên khoảng (-R;R). n 0 b. Các định lí Định lí 1 (Điều kiện cần) n Điều kiện cần để hàm số S(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa a n x trong n 0 S(k) (0) khoảng (-R;R) là S(x) có đạo hàm các cấp và: a với mọi k N. k k! Định lí 2 (Điều kiện đủ) Nếu có số thực dương C sao cho với mọi x [-R;R] ta có |S(n) (x) | C với mọi n N thì hàm số S(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trên đoạn [-R;R] và S(n) (0) S(x)  xn . n 0 n! Ví dụ 1: Khai triển các hàm số sau thành chuỗi lũy thừa a) sinx b) cosx c) ex Ví dụ 2: Chứng minh eix = cosx + i sinx 20
12. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau: 1 1 a)  b)  n 1 n(n 1) n 1 (2n 1)(2n 1) 1 2n 1 c)  d) ( 1)n n 1 n(n 1)(n 2) n 1 n(n 1) 2n 1 e) f) n 2 2 n 1 n  2 2  n 1 n (n 1) n 1 3n 2n 1 g)  n h) ln 1 2 n 1 5 n 2 n 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1 1 a)  b)  n 1 n(n 5) n 1 2n 1 n 2n 3 2n c)  n d)  n 1 2 n 1 3n 1 n 2n n 1 e)  f)  n 1 n! n 1 n ( 1)n n ( 1)n g)  n h)  n 1 2 n 1 n 3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau n n (2x) n 1 n a)  b)  x n 1 n! n 1 n 2n 1 n n 2 n c)  3 (x 2) d)  (x 3) n 1 n n 1 n 5 (x 3)n (5x)n e)  f)  n 1 3n 2 n 1 n 5 (n 2)(x 4)n ( 1)n (x 4)n g)  2 n h)  n n 1 n .3 n 1 n.2 21
13. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. Phương trình vi phân cấp 1 4.1.1. Định nghĩa. - Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F(x,y,y') 0, Trong đó x là biến số độc lập, y=y(x) là hàm số phải tìm, y’ là đạo hàm của y(x). - Nghiệm là hàm số y = (x) sao cho F(x; (x); ’(x))=0 - Nghiệm tổng quát là nghiệm dạng y = φ(x,C) - Tích phân tổng quát là phương trình G(x;C)=0 xác định nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng là một nghiệm trong nghiệm tổng quát - Nghiệm kì dị là nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát - Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. 4.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho phương trình vi phân cấp 1 : y’ = f(x;y) f Nếu f(x,y) và (x, y) liên tục trong miền D thì trong lân cận nào đó của x0, tồn y tại duy nhất nghiệm y=y(x) thỏa điều kiện đầu y(x0)=a. 4.2. Các phương trình vi phân cơ bản. 4.2.1. Phương trình vi phân với biến số phân ly. Dạng f(x)dx = g(y)dy Cách giải Lấy tích phân hai vế, ta được f (x)dx g(y)dy hay F(x) = G(y) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(y) là một nguyên hàm của g(y). Ví dụ: Giải phương trình (1 + x)ydx + (1 - y)xdy = 0. Giải: Nếu x 0, y 0, phương trình trở thành 1 1 1 dx 1 dy x y Lấy tích phân hai vế, ta được ln|x| + x = y – ln|y| + C hay ln|xy| + x - y = C. Ta có x = 0, y = 0 cũng thỏa mãn phương trình, nên x = 0, y = 0 là hai nghiệm kì dị của phương trình. 4.2.2. Phương trình đẳng cấp cấp 1 Dạng y’=f(y/x) Phương pháp: Đặt y = z.x đưa về dạng biến số phân ly Ví dụ: Giải phương trình vi phân (x2 + xy)y’=y2 22
14. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 4.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng: y’+ p(x)y = q(x), trong đó p(x) và q(x) là các hàm liên tục. Phương trình y’+ p(x)y = 0 gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. Phương pháp Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y’ + p(x)y = 0 Nếu y 0, có thể viết nó thành dy p(x)dx ln|y|= p(x)dx + K y p(x)dx y = C e , C 0. Mặt khác y = 0 cũng là một nghiệm và là một nghiệm riêng ứng với C = 0. p(x)dx Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C e p(x)dx Bước 2: Tìm nghiệm của y’+p(x)y = q(x) dạng y = C(x) e ta có: p(x)dx p(x)dx p(x)dx e C' (x) C(x)p(x)e p(x)C(x)e q(x) hay p(x)dx dC(x) = q(x) e Do đó p(x)dx C(x) = q(x)e dx K trong đó K là một hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: p(x)dx p(x)dx p(x)dx y = Ke + e . q(x) e dx 4.2.4. Phương trình Becnuli Dạng y’ + p(x)y = q(x)yα với α≠0, α≠1 Phương pháp: Chia hai vế cho yα phương trình trở thành y’.y-α + p(x)y1-α =q(x) 1-α -α Đặt z = y => z’ = y’.y nên phương trình trở thành z’+ p(x)z = q(x) (z’+p(x)z=q(x) là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) Ví dụ: Giải phương trình y’ + xy = xy2 4.2.5. Phương trình vi phân toàn phần. Là phương trình vi phân có dạng: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, trong đó P(x, y), Q(x, y) là những hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một P Q liên tục thỏa mãn điều kiện . y x 23
15. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Khi đó Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm số u(x, y) nào đó. Nếu D=R2, hàm số u(x, y) được cho bởi công thức x y u(x, y) = P(x, y )dx Q(x,y)dy K o xo yo x y hay u(x, y) = P(x, y)dx Q(x ,y)dy K 0 xo yo trong đó x0, y0 là hai số nào đó, K là hằng số tùy ý. Vậy tích phân tổng quát của phương trình là: u(x;y) = C. Ví dụ: Giải phương trình [(1 + x + y)ex + ey]dx + [ex + xey]dy. Giải Ta có P(x, y) = (1 + x + y)ex + ey, Q(x, y) = ex + xey P Q = ex + ey = . y x Vậy Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm số u(x, y). x y x x y u(x, y) = 1 x e 1 dx e xe dy 0 0 = xex + x + exy + xey - x = (x + y)ex + xey Tích phân tổng quát của phương trình là: (x + y)ex + xey = C 4.3. Phương trình vi phân cấp 2. 4.3.1. Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nghiệm là hàm số y = (x) sao cho F(x; (x); ’(x); ’’(x))=0 Nghiệm tổng quát là nghiệm dạng y = φ(x,C1,C2) Tích phân tổng quát là phương trình G(x;C1;C2)=0 xác định nghiệm tổng quát Nghiệm riêng là một nghiệm trong nghiệm tổng quát Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. 4.3.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán Cauchy. Cho phương trình vi phân cấp hai y’’ = f(x,y,y’). f f Nếu f(x,y,y’); (x, y,y') và (x,y,y') liên tục trong miền D thì trong lân cận y y' nào đó của x0, tồn tại duy nhất nghiệm y=y(x) thỏa các điều kiện đầu y(x0)=a và y’(x0)=b. 4.3.3. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được. a. Phương trình khuyết y: F(x,y’,y’’)=0 Phương pháp: Đặt y’ = p, Khi đó, phương trình trở thành F(x,p,p’)=0 2 Ví dụ: Giải phương trình vi phân xy’+2y’’=6x (Đs: y = x +C1/x +C2) 24
16. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b. Phương trình khuyết x: F(y,y’,y’’)=0 Phương pháp: Đặt y’=p ta có y’’ = p.dp/dy. Phương trình trở thành F(y,p,p.dp/dy)=0 Ví dụ: Giải phương trình vi phân y’’+y’- 2y=0 x -2x Đs: y = C1e + C2e 4.3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Là phương trình dạng y’’ + p(x)y’ +q(x)y = f(x) trong đó p(x), q(x) và f(x) là những hàm liên tục Nếu f(x) = 0 thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Định lí 1: Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất thì y = C1y1(x) + C2y2(x) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất đó. * Định lí 2 : Nếu y là một nghiệm riêng của PTVPTT và y = C1y1(x) + C2y2(x) là * nghiệm tổng quát của PTVPTTTN tương ứng thì y = C1y1(x) + C2y2(x) + y là nghiệm tổng quát của PTVPTT đó. Định lí 3 : (Nguyên lí chồng chất nghiệm) Nếu y1(x) là nghiệm riêng của y’’ + p(x)y’ +q(x)y = f1(x) và y2(x) là nghiệm riêng của y’’ + p(x)y’ +q(x)y = f2(x) thì y = y1(x) +y2(x) là nghiệm riêng của phương trình y’’+ p(x)y’ +q(x)y = f1(x) + f2(x) 4.3.5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hằng. Dạng : Ay’’+By’+Cy=0, trong đó A, B, C R Phương pháp B1: Giải phương trình đặc trưng Ak2 + Bk + C = 0 B2: Kết luận nghiệm theo các trường hợp sau : k1x k2x TH1: Nếu k1≠k2 thì NTQ là: y C1e C2e k1x TH2: Nếu k1=k2 thì NTQ là: y (C1 xC2 )e x TH3: Nếu k=α i thì nghiệm tổng quát là y e C1cosx C2sinx Ví dụ: Giải các phương trình a. y’’ + y’ = 0 b. y’’ + 4y’ + 4y = 0 c. y’’ + 2y’ +2y = 0 4.3.6. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Dạng: Ay’’ + By’ + Cy = f(x), trong đó A, B, C R Phương pháp B1: Giải phương trình thuần nhất B2: Tìm nghiệm riêng của Ay’’ + By’ + Cy = f(x) 25