Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn

Nội dung text: Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn

1. Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. 7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v. Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp. 2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: 1
2. - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó, - Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. - Các miền con ve được gọi là các phần tử. 3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Nút hình học Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó. 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1). - Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 1 2 v2 v v 1 2 1 v v v biên giới biên giới biên giới Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử 2
3. 4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp. Phần tử một chiều Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử hai chiều Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử lăng trụ 3
4. Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2). y (5) (4) v3  r3 2 v (3) 0,1 r2 (1) v1 r r1 v (2) x 0,0 1,0  Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại. 4
5. b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng. Chú ý: - Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ. - Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản. -  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử. 6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều -1 1 -1 0 1  -1 0 1  -1 /2 0 /2 1  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử qui chiếu hai chiều    1 1 1 1 ,2 2 /3 /3 1 ,1 /3 1 /2 /2 /2 r 1 r 2 ,1 r / /3 /3 v v 3 v 1  1 2  0,0 1  0,0 /2 1 0,0 /3 /3 1 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện 5
6.    0,0,1 0,0,1 0,0,1 r r  r  v  v v 0,0,0 0,1,0 0,1,0 0,1,0 1,0,0 1,0,0 1,0,0    Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử sáu mặt    0,1,1 0,1,1 0,1,1 r r r v v v    1,1,0  1,1,0 1,1,0   Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột: T - Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz] T - Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz] T - Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz] 6
7. Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi: u = [u, v, w] T (1.1) Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột: T  = [x , y, z, yz, xz, xy] (1.2) Trường hợp biến dạng bé: T u v w v w u w u v   (1.3) x y z z y z x y x Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột: T  = [x ,  y, z,  yz,  xz,  xy] (1.4) Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:  = D  (1.5) Trong đó: 1    0 0 0  1   0 0 0 E   1  0 0 0 D 1  1 2 0 0 0 0,5  0 0 0 0 0 0 0,5  0 0 0 0 0 0 0,5  E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu. 8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:  = U + W (1.6) Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một 1 đơn vị thể tích được xác định bởi:  T  2 Do đó năng lượng biến dạng toàn phần: 7
8. 1 U  T dv (1.7) 2 V Công của ngoại lực được xác định bởi: n W uT FdV uT TdS u T P (1.8)  i i V S i 1 Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là: 1 n   T  dV uT f dV uTTdS u T P (1.9)  i i 2 V V S i 1 Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định. 9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau: Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên); Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử; Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử); Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F; Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q; Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ; 8
9. Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu. Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3); Đọc dữ liệu đầu vào - Các thông số cơ học của vật liệu - Các thông số hình học của kết cấu - Các thông số điều khiển lưới - Tải trọng tác dụng - Thông tin ghép nối các phần tử - Điều kiện biên Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F Áp đặt điều kiện biên (Biến đổi các ma trận K và vec tơ F) Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q) Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v) In kết quả - In các kết quả mong muốn - Vẽ các biểu đồ, đồ thị Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH 9
10. Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này. 1. ĐẠI SỐ MA TRẬN Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (2.1)  an1x1 an2 x2 ann xn bn trong đó, x1, x2, , xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu diễn ở dạng thu gọn: Ax = b (2.2) trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các véctơ (n 1), được biển diễn như sau: a11 a12  a1n x1  b1  a a  a 21 22 2n x2 b2 A x  b        an1 an2  ann xn  bn  1.1. Véctơ Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước (n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4): r 2 2 12 6 11
11. và véctơ cột (3 1): 11 c 2  34 1.2. Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, ví dụ: 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau: cij = aij + bij (2.3) Ví dụ: 3 2 8 5 5 7 5 1 1 2 4 3 phép trừ được định nghĩa tương tự. 1.4. Nhân ma trận với hằng số Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau: cA=[caij] (2.4) Ví dụ: 2 3 2 300 200 10 5 1 500 100 12
12. 1.5. Nhân hai ma trận Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau: A B = C (2.5) (m n) (n p) (m p) trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức: n cij  aik bkj (2.6) k 1 Ví dụ: 4 5 2 8 5 54 70 2 5 3 1 4 38 36 6 4 Chú ý: - Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A B là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. - Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A B và B A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A B B A. 1.6. Chuyển vị ma trận Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A. Ví dụ: 4 5 T 4 2 6 A 2 5 thì: A 5 5 4 6 4 Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là: (A B C)T=CT BT AT. (2.7) 13
13. 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ: x 2y 5x2 xy A 2 x y 6x x 4y Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận: d daij (x) A(x) (2.8) dx dx Adxdy a dxdy  ij  (2.9) Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích T thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 xn} chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là: d (Ax) a p dx p (2.10) trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A. 1.8. Định thức của ma trận Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma trận A được định nghĩa như sau: n 1 det(A) a11 det(A11 ) a12 det(A12 )  1 a1n det(A1n ) n i j (2.11)  1 aij det(Aij ) j 1 trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A. Ví dụ: 14
14. a11 a12  a1n a22 a23  a2n a a  a a a  a A 21 22 2n A 32 33 3n     11     an1 an2  ann an2 an3  ann Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có: det(apq) = apq (2.12) 1.9. Nghịch đảo ma trận Cho ma trận vuông A, nếu det(A) 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau: A-1 A = A A-1 = I (2.13) Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) 0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau: adjA A 1 det A (2.14) i j Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử aij 1 det(Aji ) và Aji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i. Ví dụ: Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là: 1 1 a11 a12 1 a22 a12 A a21 a22 det A a21 a11 15
15. 1.10. Ma trận đường chéo Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ: 2 0 0 D 0 3 0 0 0 5 1.11. Ma trận đối xứng Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện: aij = aji (2.15a) hay: A = AT (2.15b) Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính. Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng: 2 3 11 A 3 4 0 11 0 9 1.12. Ma trận tam giác Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không. Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A và ma trận tam giác dưới B: 2 3 11 2 0 0 A 0 4 0 B 3 4 0 0 0 9 11 0 9 16
16. 2. PHÉP KHỬ GAUSS Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: Ax = b trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA 0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính. 2.1. Mô tả Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát. Xét hệ phương trình: x1 2x2 5x3 1 (1) 2x1 5x2 3x3 2 (2) x1 x2 15x3 4 (3) Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ: x1 2x2 5x3 1 (1) 1 0x1 x2 7x3 4 (2 ) 1 0x1 x2 20x3 5 (3 ) 1 Bước 2: khử x2 trong phương trình (3 ), ta được hệ: x1 2x2 5x3 1 (1) 1 0x1 x2 7x3 4 (2 ) 2 0x1 0x2 27x3 9 (3 ) Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình 17
17. trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau: 1 5 8 x ; x ; x . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các 3 3 2 3 1 3 hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược. Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau: 1 2 5 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 3 2 0 1 7 4 0 1 7 4 1 1 15 4 0 1 20 5 0 0 27 9 bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm: 1 5 8 x ; x ; x 3 3 2 3 1 3 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau: a11 a12 a13  a1 j  a1n x1  b1  a a a  a  a x b 21 22 23 2 j 2n 2 2 a31 a32 a33  a3 j  a3n x3 b3            (2.16) a a a  a  a x b i1 i2 i3 ij in i i          a a a  a  a x b n1 n2 n3 nj nn n  n  Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau: 18
18. a11 a12 a13  a1 j  a1n b1  a a a  a  a b 21 22 23 2 j 2n 2 a31 a32 a33  a3 j  a3n b3          (2.17) a a a  a  a b i1 i 2 i3 ij in i         a a a  a  a b n1 n2 n3 nj nn n  Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau: 1 ai1 aij aij a1 j a11 (2.18) a b 1 b i1 b ; i, j 2, ,n i i 1 a11 Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không. a11 a12 a13  a1 j  a1n b1  0 a 1 a 1  a 1  a 1 1 22 23 2 j 2n b2 1 1 1 1 1 0 a32 a33  a3 j  a3n b3          (2.19) 0 a 1 a 1  a 1  a 1 b 1 i2 i3 ij in i         1 1 1 1 1 0 an2 an3  anj  ann bn  Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có: 19
19. a11 a12 a13    a1 j  a1n b1  1 1 1 1 1 0 a a    a  a b 22 23 2 j 2n 2 2 2 2 3 0 0 a33    a3 j  a3n b 3           k 1 k 1 k 1 k 1 0 0 0  ak 1,k 1  ak 1, j  ak 1,n b  (2.20) k 1           k 1 k 1 k 1 k 1 0 0 0  a  a  a b i,k 1 i, j i,n i           k 1 k 1 k 1 k 1 0 0 0  an,k 1  an, j  an,n bn  Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi a k 1 a k a k 1 ik a k 1 ; i, j k 1, ,n ij ij k 1 kj akk (2.21) k 1 a b k b k 1 ik b k 1 ; i, j k 1, ,n i i k 1 k akk Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng: a11 a12 a13 a14  a1n x1  b1  a (1) a(1) a (1)  a(1) x b(1) 22 23 24 2n 2 2 a (2) a (2)  a (2) x b(2) 33 34 3n 3 3 (2.22) (3) (3)  (3)  a44  a4n x4 b4 0  (n 1) (n 1) ann xn  bn  Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b): n bi  a ij x j bn j i 1 x n ; ,xi ; i n 1, n 2, ,1 (2.23) a nn a ii 20