Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng và ứng dụng - Chương 9: Tương quan chuỗi

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng và ứng dụng - Chương 9: Tương quan chuỗi

1. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi Bước 3 Bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trị bằng không và củng cố giả 2 2 2 thuyết ρ ≠ 0 nếu (n – 1)R > χ1 (α), giá trị χ1 trong phân phối chi-square với 1 bậc tự do sao cho diện tích vùng bên phải của nó là α. Một cách khác, tính toán 2 2 giá trị p = Prob( χ1 > LM), vùng bên phải của LM trong phân phối χ1 . Nếu giá trị p < α, chắc chắn bác bỏ H0: ρ = 0 và kết luận rằng tự tương quan là có ý nghĩa. Nếu đã có tương quan chuỗi trong các phần dư, ta có thể kỳ vọng uˆ t có quan hệ với uˆ t−1 . Đây là động lực hậu thuẫn hồi qui phụ trong đó uˆ t−1 được kể đến cùng với tất cả các biến độc lập trong mô hình. Lưu ý rằng kiểm định LM không có tình trạng không thể kết luận như của kiểm định DW. Tuy nhiên, đó là kiểm định mẫu lớn và cần ít nhất 30 bậc tự do để có ý nghĩa. } VÍ DỤ 9.4 B Trong ví dụ bệnh tim, hồi qui phụ sẽ như sau (xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.3): uˆ t = 113,628 – 4,675 CIG – 1,579 EDFAT + 0,361 SPIRITS (1,4) (–1,1) (–1,6) (0,1) + 0,207 BEER + 0,259 uˆ t−1 (0,3) (1,4) R2 = 0,137 n = 34 (n-1)R2 = 4,521 2 2 Giá trị chi-square tới hạn là χ1 (0,05) = 3,841, nhỏ hơn (n-1)R . Cũng vậy, giá trị p cho 4,521 là 0,033. Vậy kiểm định LM bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trị bằng không, trong khi kiểm định DW cho kết quả không thể kết luận. K l } BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.2 Làm lại Bài Toán Thực Hành 9.1 dùng phương pháp kiểm định LM. } 9.4 Xử Lý Tương Quan Chuỗi Thay Đổi Dạng Hàm Số Không có thủ tục ước lượng nào có thể đảm bảo loại bỏ tương quan chuỗi bởi vì bản chất và nguyên nhân của tự tương quan nói chung chưa biết. Như Hendry và Mizon (1978) đã biện luận đầy thuyết phục, tương quan chuỗi có thể là triệu chứng của mô hình bị đặc trưng sai hơn là cấu trúc sai số bị đặc trưng sai. Ví dụ, giả sử rằng quan hệ là bậc hai và đáng ra ta hồi qui Y Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi
2. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi theo X và X2. Nếu X tăng hoặc giảm có hệ thống theo thời gian, hồi qui của Y chỉ theo X sẽ hiển nhiên thể hiện sự tương quan chuỗi. Không có thủ tục ước lượng tinh vi nào có thể hiệu chỉnh vấn đề mà nó thực sự do đặc trưng sai trong phần xác định hơn là trong số hạng sai số. Giải pháp ở đây là thiết lập lại mô hình có tính đến số hạng bậc hai sao cho không có tương quan chuỗi xuất hiện. Một cách khác là dùng mô hình log-hai lần. Các vấn đề này được minh họa trong Ví dụ 9.5. Ứng dụng Phần 9.7 trình bày một ví dụ khác trong đó mô hình đầu tiên bộc lộ sự tự tương quan, nhưng khi các đặc trưng được cải thiện, tương quan chuỗi không còn có mặt nữa } VÍ DỤ 9.5 Sử dụng dữ liệu trong bảng DATA6.6, chúng ta nhận thấy rằng đồ thị biểu diễn số phần trăm trên tổng số dân số của Mỹ sống nhờ vào ngành nông nghiệp có xu hướng đi xuống và không tuyến tính từ 1947 đến 1991. Nếu chúng ta làm thích hợp bằng một đường xu hướng tuyến tính theo thời gian cho tập dữ liệu này, chúng ta có thể kỳ vọng rằng một nhóm các điểm phần dư nằm liên tiếp nhau biểu hiện mối tương quan chuỗi (xem hình 9.2). Các giá trị ước lượng trên đường xu hướng tuyến tính được cho như sau (xem Phần Thực Hành Máy Tính 9.4 để biết cách tính ra các kết quả này): farmpopt = 13,777 – 0,325t d = 0,056 (31,55) (- 19,2) R 2 = 0,895 Những giá trị trong ngoặc đơn là các trị thống kê t. Lưu ý rằng trị thống kê Durbin – Watson (DW) rất gần bằng zero, cho thấy mối tương quan chuỗi rất mạnh. Vì lý do này mà trị thống kê t và đại lượng thích hợp bị làm tăng quá mức. Từ hình 9.1, người ta nhận thấy rằng sẽ thích hợp hơn nếu xem đây mối quan hệ phi tuyến tính. Đường xu hướng theo thời gian được thích hợp bằng hàm bậc hai và kết quả được tính ra như sau: 2 farmpopt = 17,026 – 0,749t + 0,00942t d = 0,601 (113,5) (- 48,7) (28,4) R 2 = 0,995 Mặc dù trị thống kê DW đã tiến đến đến gần giá trị 2 hơn, nhưng nó vẫn cho thấy tính tự tương quan dương khá mạnh. Phép lấy sai phân bậc nhất giữa các giá trị logarit được tính toán tiếp theo đây. Cụ thể hơn, chúng ta đặt gfarmpopt = ln(farmpopt) – ln(farmpopt – 1) Ramu Ramanathan 12 Thục Đoan/Hào Thi
3. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi Lượng này còn được gọi là tỷ lệ tăng trưởng tức thời và có dạng đường tăng trưởng hàm mũ. gt Để có được lượng này, chúng ta giả sử rằng hàm Yt tăng trưởng theo hàm mũ với Yt = Y0 e (g là tỷ lệ tăng trưởng, có thể có dấu âm, biểu thị hàm Y có khuynh hướng suy giảm theo dạng mũ). Lấy logarit hai vế, chúng ta có ln(Yt) = ln(Y0) + gt theo biến thời gian t ln(Yt -1) = ln(Y0) + g(t –1) theo biến thời gian (t – 1) Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta có g = ln(Yt) – ln(Yt -1) Vì vậy, hiệu số giữa các giá trị logarit trên là tỷ lệ tăng trưởng. Giá trị qua hệ ước lượng đối với dân số nông nghiệp là (xem bảng 9.2) gfarmpopt = - 0,064 + 0,00058t d = 2,266 (- 3,9) (0,92) R 2 = - 0,004 Lưu ý rằng, vì biến phụ thuộc này khác với hai hồi quy trước đây nên giá trị R 2 là không tương thích để có thể so sánh với nhau. Trị thống kê DW xấp xỉ bằng 2 và không có chứng cứ nào về tính tự tương quan bậc nhất (vì d > 2 nên chúng ta sử dụng 4 – d = 1,734). Vì thế, một sự hiệu chỉnh hợp lý đối với dạng hàm số là có thể loại bỏ tính chất tự tương quan chuỗi biểu kiến. Điều này có nghĩa dạng công thức thứ ba là “tốt nhất”? Câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa của từ “tốt nhất” là gì? Một nhà nghiên cứu rất quan tâm đến việc dự báo dân số nông nghiệp sẽ đặt các đánh giá trên cơ sở khả năng dự báo của mô hình. Vấn đề này sẽ được đề cập một cách hệ thống hơn ở chương 11. Đặc Trưng Một Cấu Trúc Động và Tổng Quát Hơn Dễ dàng nhận thấy rằng mô hình với một số hạng sai số tự hồi quy là một trường hợp đặc biệt của mô hình có cấu trúc động tổng quát hơn cho phần tất định (xem tham khảo ở tác giả Sargan, 1964, và tác giả Hendry và Mizon, 1978). Hãy xem xét mô hình sau đây (thường được sử dụng trong các bài toán kinh tế học vĩ mô) về mối quan hệ giữa biến phụ thuộc với giá trị trễ của chính nó, một biến giải thích, và với độ trễ của nó: yt = β0 + β1yt –1 + β2xt + β3xt –1 + εt β1 < 1 (9.8) Số hạng sai số εt được giả định có giá trị trung bình bằng zero, giá trị phương sai không đổi, và có tính chất độc lập chuỗi. Phương trình (9.1) có dạng như sau Ramu Ramanathan 13 Thục Đoan/Hào Thi
4. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi yt = α + βxt + ut (9.1) Tìm ut theo các biến còn lại và thay thế nó vào phương trình (9.2), chúng ta có yt – α – βxt = ρ(yt –1 – α – βxt –1) + εt Phương trình có thể viết lại như sau yt = α(1 – ρ) + ρyt – 1 + βxt – βρxt – 1 + εt (9.1a) So sánh giữa phương trình (9.8) và (9.1a), chúng ta thấy rằng β0 = α(1 – ρ), β1 = ρ, β2 = β, và β3 = – ρβ Có thể nhận thấy rằng các tham số thoả mãn giới hạn phi tuyến tính β3 + β1β2 = 0. Nếu giới hạn này được thoả mãn trong phương trình (9.8) thì mô hình sẽ được rút gọn lại thành mô hình tĩnh trong phương trình (9.1) với cấu trúc sai số tự hồi quy trong phương trình (9.2). Phương trình (9.8) có bốn thông số để ước lượng, trong khi phương trình (9.1) và (9.2) chỉ có ba thông số chưa biết. Vì thế mà tính tương quan chuỗi là một “sự đơn giản hoá để mang lại sự thuận tiện chứ không phải là sự khó khăn” như tác giả Hendry và Mizon (1978) đã chỉ ra. Các tác giả này cùng với tác giả Sargan (1964) đã đề nghị rằng bước đầu tiên là thiết lập mô hình một cách tổng quát như phương trình (9.8), sau đó kiểm định các giới hạn phi tuyến tính lên mô hình này, và nếu nó được chấp nhận thì hãy làm đơn giản hoá mô hình theo cách tương tự như phương trình (9.1) và (9.2). Nếu mô hình không thoả mãn giới hạn phi tuyến tính thì giải quyết bài toán như trong trường hợp mô hình tĩnh có số hạng sai số tự hồi quy và việc căn cứ trên trị thống kê Durbin – Watson có ý nghĩa có thể dẫn đến các kết quả không chính xác. Thiết Lập Mô Hình Trong Các Sai Phân Bậc Nhất Tác giả Granger và Newbold (1974 và 1986) đã nêu lên một số nghi vấn về sự hồi quy giả tạo có thể có khi một quá trình hồi quy dựa trên nhiều mức biến xu hướng, đặc biệt khi trị thống kê DW có ý nghĩa. Trong việc nghiên cứu kinh tế lượng thực nghiệm, cách thức mà người ta thường sử dụng để vượt qua vấn đề này là thiết lập một số mô hình theo sai phân bậc nhất, nghĩa là hiệu số giữa giá trị tại mốc thời gian t và t –1. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ ước lượng ∆yt = β0 + β∆xt + εt, trong đó ∆yt = yt – yt –1 và ∆xt = xt – xt –1 . Tuy nhiên, giải pháp sử dụng sai phân bậc nhất này không phải lúc nào cũng thích hợp. Để hiểu rõ hơn, hãy lưu ý đến mô hình sai phân bậc nhất có thể được viết lại như sau: yt = yt –1 + β0 + βxt – βxt –1 + εt Ramu Ramanathan 14 Thục Đoan/Hào Thi
5. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi So sánh phương trình trên với phương trình (9.8), chúng ta nhận ra rằng mô hình này chính là trường hợp đặc biệt khi β1 = 1 và β2 + β3 = 0. Vì thế, một cách tiếp cận khác thường được sử dụng là kiểm định hai giới hạn này trước, và nếu cả hai được chấp nhận thì hãy sử dụng đặc trưng sai phân bậc nhất. Những Thủ Tục Ước Lượng Khi một hàm đã được hiệu chỉnh mà không thể loại bỏ được tính chất tự tương quan, người ta có thể sử dụng một số thủ tục khác để đưa ra các con số ước lượng những giá trị nhận được từ phương pháp OLS. Những thủ tục này sẽ được đề cập tiếp theo đây. Tuy nhiên, nên lưu ý rằng việc “cố định” một cách máy móc đối với tính tự tương quan có thể ngầm chứa một số giới hạn về thuộc tính chuỗi thời gian không nhất quán với dữ liệu của mô hình. Cũng nên lưu ý rằng các phương pháp này chỉ được áp dụng cho loại dữ liệu chuỗi thời gian. Đối với loại dữ liệu chéo, người ta có thể tái sắp xếp các giá trị quan sát theo bất cứ hình thái nào và nhận được một trị thống kê DW chấp nhận được. Tuy nhiên, điều này cũng nói lên rằng thực hiện kiểm định DW cho loại dữ liệu chéo là không có ý nghĩa. Vì dữ liệu chuỗi thời gian không thể tái sắp xếp được nên nhà nghiên cứu cần quan tâm đến mối tương quan chuỗi có thể có giữa chúng. Thủ Tục Tính lặp Cochrane – Orcutt Thủ tục Tính lặp Cochrane – Orcutt (CORC) (tác giả Cochrane và Orcutt, 1949) yêu cầu có sự biến đổi mô hình hồi quy (9.5) thành dạng mô hình có thể áp dụng bằng thủ tục OLS. Phương trình (9.5) được viết lại theo thời đoạn t –1, chúng ta có Yt –1 = β1 + β2 X(t –1)2 + β3 X(t –1)3 + + βk X(t –1)k + ut –1 (9.5’) Lấy (9.5) trừ đi (9.5’) sau khi đã nhân từng số hạng của (9.5’) với ρ, chúng ta có Yt – ρYt –1 = β1(1 – ρ) + β2[Xt 2 – ρX(t –1)2] + β3[Xt 3 – ρX(t –1)3] + + βk[Xt k – ρX(t –1)k] + εt Với biểu thức ut = ρut –1 + εt, phương trình trên có thể viết lại như sau: * * * * * Yt = β1 + β2 X t2 + β3X t3 + + β k X tk + ε t (9.9) Trong đó * * * Yt = Yt – ρYt –1, β1 = β1(1 – ρ), và X ti = Xti – ρX(t – 1)i với t = 2, 3, , n và i = 2, , k Ramu Ramanathan 15 Thục Đoan/Hào Thi
6. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi Quá trình biến đổi tạo ra biến Y* và các biến X* còn được gọi là phép lấy sai phân gần * đúng, hay phép lấy sai phân tổng quát. β1 chỉ là số hạng hằng số mới. Lưu ý rằng số hạng sai số trong phương trình (9.9) thoả mãn mọi tính chất cần thiết để có thể áp dụng được thủ tục bình phương tối thiểu. Nếu biết được giá trị của ρ, chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS cho phương trình (9.9) và giá trị ước lượng nhận được là BLUE. Tuy nhiên, giá trị ρ chưa biết nên chúng ta cần phải ước lượng chúng từ mẫu quan sát. Các bước tiến hành thủ tục Cochrane – Orcutt được trình bày như sau: Bước 1 Ước lượng phương trình (9.5) bằng phương pháp OLS và tính toán phần dư của nó uˆ t . Bước 2 Ước lượng hệ số tương quan chuỗi bậc nhất (còn gọi là ρˆ ) từ phương trình (9.7). Bước 3 Biến đổi các biến như sau: * * Yt = Yt –ρˆ Yt –1, X t2 = Xt2 – ρˆ X(t – 1)2 , và .v.v. Lưu ý rằng các biến có dấu hình sao (*) được xác định chỉ với t nhận giá trị từ 2 đến n vì có t –1 số hạng xuất hiện. * * * * Bước 4 Hồi quy Yt theo hằng số, theo X t2 , X t3 , , X tk và tính giá trị ước lượng của phương trình (9.9) được biến đổi bằng phương pháp OLS. Bước 5 Sử dụng những giá trị ước lượng này cho các giá trị β trong phương trình (9.5) và tính được một tập mới các giá trị ước lượng ut . Sau đó, quay tính lặp bước 2 với những giá trị mới này cho đến khi có thể áp dụng được quy tắc dừng tiếp theo đây. Bước 6 Thủ tục tính lặp trên đây có thể dừng lại khi hiệu số giá trị ước lượng của ρ từ hai kết quả liên tiếp tính được không lớn hơn giá trị chọn trước nào đó, như 0,001 chẳng hạn. Giá trị ρˆ cuối cùng này sẽ được dùng để tính giá trị ước lượng CORC từ phương trình (9.9). ˆ ˆ * Vì số hạng hằng số cũng được nhân với 1 – ρˆ nên giá trị β1 nhận được sẽ bằng β1 / (1 ˆ * – ρˆ ), với β1 là số hạng hằng số ước lượng trong phương trình biến đổi (9.9). Hầu hết những chương trình hồi quy tiêu chuẩn thực hiện tất cả các bước thủ tục trên bằng các lệnh đơn giản, và giải phóng người sử dụng khỏi công việc tính toán tính lặp nặng nhọc. Hầu ˆ hết các chương trình đều xuất ra kết quả số hạng hằng số của mô hình ban đầu (là β1 ), vì vậy mà người sử dụng không cần thiết (và không nên) chia nó cho (1 – ρˆ ). Người sử dụng cũng nên cẩn thận khi xác định kết quả R2, tổng bình phương sai số, và .v.v. Nếu chúng có liên quan đến phương trình (9.9) thì những giá trị này không thể so sánh với giá trị ước lượng bằng phương pháp OLS tương ứng vì vế bên trái của hai phương trình (9.5) và (9.9) khá khác nhau. Tương tự, trị thống kê Durbin – Watson nhận được thường liên quan đến phần dư của phương trình (9.9) mà không liên quan đến phương trình (9.5). Kiểm định DW về vấn đề này sẽ kiểm Ramu Ramanathan 16 Thục Đoan/Hào Thi
7. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi định mối tương quan chuỗi bậc hai cho phần dư uˆ t vì ngầm định dưới mô hình này là quá trình tự hồi quy bậc nhất AR(1) theo εt . Thủ tục Cochrange – Orcutt có thể được chứng minh hội tụ về giá trị ước lượng thích hợp cực đại. Sự hội tụ này này có tính chất nhất quán và tiến đến tiệm cận. Thủ tục tính lặp thường hội tụ nhanh và không cần lặp lại nhiều hơn ba đến sáu lần. Nên lưu ý rằng số lần quan sát dùng để ước lượng trong phương trình (9.9) chỉ là n –1 vì chúng ta bỏ qua lần quan sát đầu tiên. Với k thông số thì bậc tự do là n – k – 1. Kiểm định giả thuyết có thể được thực hiện theo cách thông thường. Có thể sử dụng kết quả cho lần quan sát đầu tiên bằng phép biến đổi sau đây đối với t =1 (các điều chỉnh trong bước này được trình bày trong phần phụ lục 9.A): * 2 1/2 * 2 1/2 Y1 = Yt (1 – ρ ) và X1i = X1i (1 – ρ ) với i = 1 → k } VÍ DỤ 9.6 Tính tự tương quan của mẫu quan sát bệnh tim trình bày trong ví dụ 9.4 được chứng minh là có ý nghĩa (theo kết quả của kiểm định LM), và vì thế chúng ta sẽ tái ước lượng mô hình bằng kiểm định CORC. Phương trình ước lượng được cho ở đây là kết quả tính toán của chương trình GRETL, bỏ qua lần quan sát đầu tiên (xem thêm trong phần thực hành máy tính 9.5). Vì các chương trình khác nhau về tiêu chuẩn hội tụ nên kết quả sẽ khác nhau ở một vài điểm giữa các chương trình với nhau. Tuy nhiên, sự khác nhau này không nên quá cách biệt. CHD = 341,023 + 2,903 CIG + 0,373 EDFAT + 12,045 SPIRITS – 2,206 BEER (4,2) (0,6) (0,4) (1,83) (- 2,5) Các giá trị trong ngoặc đơn là các trị thống kê t. Số vòng lặp cần thiết là 12 và giá trị ρˆ cuối cùng là 0,613. Chúng ta có thể thực hiện một kiểm định DW đối với các giá trị ước lượng ε từ phương trình biến đổi (9.9) để kiểm tra xem các phần dư ε có tính chất tự tương quan bậc nhất hay không. Giá trị d của phương trình trong kiểm định DW là 2,232. Từ bảng A.5, chúng ta có (với n = 33 và k’ = 4) dL = 1,19 và dU = 1,73. Vì hiệu số 4 – d = 1,771 > dU nên chúng ta có thể kết luận rằng các phần dư ε không có tương quan chuỗi. Thủ Tục Tìm Kiếm Hildreth – Lu Một giải pháp thường được dùng để thay thế thủ tục Cochrange – Orcutt là thủ tục tìm kiếm Hildrth – Lu (HILU) (của tác giả Hildreth – Lu, 1960). Thủ tục này bao gồm các bước sau: Bước 1 Chọn một giá trị ρ (gọi là ρ1). Sử dụng giá trị này, biến đổi các biến và ước lượng phương trình (9.9) bằng thủ tục OLS. Ramu Ramanathan 17 Thục Đoan/Hào Thi
8. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 9: Tương quan chuỗi Bước 2 Từ các giá trị ước lượng này, tính εˆ t từ phương trình (9.9) và tính ra giá trị tổng bình phương sai số tương ứng. Gọi giá trị này là ESS(ρ1). Tiếp tục chọn một giá trị khác nữa cho ρ (gọi là ρ2) và lặp lại bước 1 và 2. Bước 3 Bằng cách thay đổi giá trị của ρ từ – 1 đến + 1 theo với bước nhảy có tính hệ thống nào đó (như với bước nhảy là 0,05 hoặc 0,01), chúng ta sẽ nhận được một chuỗi các giá trị ESS(ρ). Hãy chọn ρ nào có giá trị ESS nhỏ nhất. Đây là giá trị ρ cuối cùng có thể cực tiểu hoá một cách bao quát tổng bình phương sai số của mô hình biến đổi. Phương trình (9.9) ước lượng với giá trị ρ cuối cùng này là kết quả tối ưu. } VÍ DỤ 9.7 Tài liệu gốc của tác giả Hildreth – Lu trình bày gần hai tá ví dụ về ước lượng bằng thủ tục HILU. Chúng ta sẽ thực hành lại một trong những ví dụ đó. Dữ liệu DATA9-1 trong phần phụ lục D trình bày số liệu về nhu cầu kem. Các số liệu mẫu quan sát được thực hiện theo từng thời đoạn 4 tuần từ ngày 18/03/1951 đến ngày 11/07/1953. Định nghĩa các biến được cho như sau: DEMAND = Nhu cầu tiêu thụ kem tính trên mỗi đầu người, đơn vị tính bằng panh (1 panh = 0.58 lít) PRICE = Giá mỗi panh kem tính bằng dollar INCOME = Thu nhập hằng tuần của gia đình tính bằng dollar TEMP = Nhiệt độ trung bình tính bằng độ Fahrenheit Bảng 9.1 trình bày các hệ số hồi quy ước lượng và tổng bình phương sai số của phương trình (9.9) của mỗi bước trong thủ tục tìm kiếm. Hàng tương ứng với ρ = 0 trình bày các giá trị ước lượng bằng thủ tục OLS (tương ứng mẫu quan sát 2 đến 30). Thủ tục HILU cực tiểu hoá ESS(ρ) khi ρ = 0,41. Lưu ý rằng các giá trị ước lượng theo OLS và HILU khác nhau một cách đáng kể. Thủ tục CORC cũng được áp dụng cho những dữ liệu này. Thủ tục này chỉ cần hai vòng lặp để có thể tiến tới hội tụ. Giá trị ρˆ sau cùng là 0,40083, và giá trị ước lượng bằng thủ tục CORC và trị thống kê t được tính toán như sau (xem phần thực hành máy tính 9.6 để thực tập tính toán lại): DEMAND = 0,157 – 0,892 PRICE + 0,0032 INCOME + 0,00356 TEMP (0,5) (–1,1) (2,07) (6,42) Những giá trị ước lượng này khá gần với trị ước lượng theo thủ tục HILU. Trị thống kê DW cho phương trình (9.9) là 1,55. Với n = 29 và k’ = 3, ta có dL = 1,198 và dU = 1,65. Có thể chứng minh rằng kiểm định DW đã không bác bỏ giả thuyết không về tương quan chuỗi có giá trị bằng không của các phần dư trong phương trình (9.9). Đặc biệt, kiểm định này vẫn chưa thể kết luận được. Ramu Ramanathan 18 Thục Đoan/Hào Thi