Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng và ứng dụng - Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng và ứng dụng - Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

1. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi 2 Bước 1 Xác định một biến (VD là Z) mà phương sai của sai số σ t quan hệ với nó. Ví 2 dụ, giả định rằng σ t nghi ngờ quan hệ đồng biến với Zt. Sắp đặt lại bộ dữ liệu theo giá trị tăng dần của Zt (Zt có thể là một trong những giá trị X trong hồi qui, chẳng hạn như thu nhập hay dân số). Bước 2 Chia mẫu có n quan sát thành n1 đầu tiên và n2 cuối cùng, do vậy loại bỏ tất cả các quan sát ở phần giữa từ n1 + 1 đến n - n2. Số quan sát được loại bỏ là tùy ý và thường thường là giữa một phần sáu hoặc một phần ba. Lưu ý rằng n1 và n2 phải lớn hơn số hệ số được ước lượng Bước 3 Ước lượng những hồi qui riêng biệt cho các quan sát từ 1 đến n1 và từ n – n2 + 1 đến n. Bước 4 Thu được tổng bình phương sai số như sau: n1 n ˆ 2 2 ESS1 = ∑ut và ESS2 = ∑uˆt t=1 t=n−n2 +1 2 Từ Tính Chất 4.1c chúng ta biết rằng ESS/σ t tuân theo phân phối chi-bình phương. Từ Phần 2.7, chúng ta biết rằng tỉ số giữa hai giá trị chi-bình phương độc lập chính là một phân phối F. Điều này gợi ý cho bước kế tiếp. Bước 5 Tính toán 2 σˆ 2 ESS2 /(n2 − k) Fc = 2 = σˆ1 ESS1 /(n1 − k) với k là số hệ số hồi qui bao gồm luôn cả số hạng hằng số. Theo giả thuyết không về phương sai của sai số không đổi, giá trị Fc tuân theo phân phối F * với bậc tự do df là n2 – k và n1 – k. Nếu Fc > F , điểm nằm trên phân phối F mà diện tích về phía bên phải là 5 phần trăm, thì bác bỏ giả thuyết không về phương sai của sai số không đổi và kết luận rằng có phương sai của sai số thay đổi. [Lưu ý: Nếu Fc σ 1 .] } VÍ DỤ 8.4 Đối với dữ liệu tiền lương mà chúng ta đang sử dụng ở đây, đầu tiên sắp xếp lại dữ liệu theo trật tự tăng dần theo YEARS và kế đến ước lượng mô hình bình phương-lôgarít cho 75 quan sát đầu tiên và quan sát cuối cùng, loại bỏ 72 quan sát ở giữa. Từ kết quả trong Phần Thực Hành Máy Tính 8.3 ta có được 2 2 σˆ1 = 0,015416 σˆ 2 = 0,050608 Fc = 3,283 Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi
2. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi Theo giả thuyết không về phương sai của sai số không đổi, Fc tuân theo phân phối F với bậc tự do df là 72 cho tử số và cùng bậc tự do như vậy cho mẫu số. Giá trị F* tới hạn đối với mức 1 phần trăm nằm giữa 1,53 và 1,84 (xem Bảng A.4a). Do vậy, kiểm định thống kê rõ ràng có ý nghĩa, điều này gợi ý rằng chúng ta nên bác bỏ giả thuyết không và khẳng định lại những kết quả trước đây. Kiểm Định Của White Kiểm định Goldfeld-Quandt không hữu ích như những kiểm định LM bởi vì nó không thể tương thích với những trường hợp mà có nhiều biến kết hợp gây nên phương sai của sai số thay đổi, như trong Phương Trình (8.2a), (8.2b), và (8.2c). Cũng bằng cách bỏ đi những quan sát ở giữa, chúng ta đã loại ra những thông tin có giá trị. Ta thấy rằng kiểm định Breusch-Pagan là nhạy cảm với bất kỳ vi phạm nào lên giả thuyết tiêu chuẩn. (Xem Koenker, 1981, về việc thay đổi kiểm định của họ đối với sự hiện hữu của tính không chuẩn tắc.) Tất cả những kiểm định trước kia đều yêu cầu một kiến thức trước đó về cái mà có thể gây nên phương sai của sai số thay đổi. White (1980) đã đưa ra một kiểm định trực tiếp về phương sai của sai số thay đổi mà nó rất gần với kiểm định Breusch-Pagan nhưng lại không giả định bất kỳ kiến thức nào trước đó về phương sai của sai số thay đổi. Kiểm định của White cũng là một kiểm định LM mẫu lớn với lựa chọn đặc biệt cho các giá trị Z, nhưng nó không phụ thuộc vào giả thuyết chuẩn tắc. Vì những lý do này, kiểm định này được đề nghị hơn tất cả các kiểm định trước. Ta cũng có thể tiến hành tất cả các kiểm định và xem kết quả nào là vững chắc. Các bước thực hiện kiểm định White về phương sai của sai số thay đổi được mô tả theo mô hình sau. Việc mở rộng những mô hình tổng quát hơn thì không phức tạp lắm. Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + ut (8.3) 2 2 2 σ t = α1 + α 2 Xt2 + α3 Xt3 + α 4 Xt2 + α5 Xt3 + α6 Xt2 Xt3 (8.4) ˆ ˆ ˆ Bước 1 Ước lượng (8.3) bằng thủ tục OLS và nhận được β1 , β 2 , và β3 . ˆ ˆ ˆ Bước 2 Tính toán phần dư uˆt = Yt - β1 - β 2 Xt2 - β3 Xt3, và lấy bình phương phần dư đó. 2 2 2 Bước 3 Hồi qui phần dư uˆt theo một hệ số không đổi, Xt2, Xt3, Xt2 , Xt3 , và Xt2Xt3. Đây là hồi qui phụ tương ứng với (8.4) Bước 4 Tính toán trị thống kê nR2, với n là cỡ mẫu và R2 là R-bình phương chưa hiệu chỉnh từ hồi qui phụ của Bước 3 2 2 Bước 5 Bác bỏ giả thuyết không cho rằng α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 0 nếu nR > χ 5 (α), điểm α phần trăm cao hơn trong phân phối chi-bình phương với bậc tự do df là 5. Ramu Ramanathan 12 Thục Đoan/Hào Thi
3. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi Mặc dù kiểm định này là một kiểm định với cỡ mẫu lớn, nó khá hữu ích đối với cỡ 2 mẫu từ 30 trở lên. Nếu không bác bỏ giả thuyết không, Phương trình (8.4) trở thành σ t = α1, hàm ý rằng các phần dư là phương sai của sai số không đổi. Kiểm định của White được dễ dàng tổng quát hoá trong trường hợp hồi qui bội với nhiều hồi qui. Trong trường hợp này, đối với Bước 1, chúng ta hồi qui Y theo một hằng số (mà nó phải hiện hữu) và cũng như nhiều hồi qui, tức là cần những giá trị X. Rồi chúng ta nhận được những phần 2 dư từ mô hình này và bình phương chúng thành uˆt . Chúng ta hồi qui phần dư bình phương theo tất cả các biến trong bước đầu tiên, cộng với bình phương của tất cả các biến độc lập, cộng với tích số chéo giữa các cặp hồi qui. Cuối cùng, chúng ta tính toán trị thống kê nR2 và bác bỏ hiện tượng phương sai của sai số không đổi nếu nR2 > χ 2 (α) với mức ý nghĩa là α và bậc tự do tương đương với số hệ số hồi qui trong hồi qui phụ với 2 uˆt là biến phụ thuộc, loại trừ hằng số. Lưu ý rằng bậc tự do khác với bậc tự do nhận được khi sử dụng kiểm định LM để kiểm định những biến bị loại bỏ. Cần phải cẩn trọng trong việc thực hiện Bước 3, đặc biệt là nếu một vài biến giải 2 thích là những biến giả. Nếu Xt2 là một biến giả, thì Xt2 đồng nhất với Xt2 và do vậy không nên tính đến một cách riêng biệt, nếu không chắc chắn sẽ xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến và không thể chạy được hồi qui phụ. Thứ hai, nếu Phương Trình (8.3) có nhiều biến giả, Bước 3 sẽ gồm rất nhiều biến (bởi vì những số hạng bình phương và những số hạng tích chéo nhau). Do vậy khả năng số biến trong hồi qui phụ vượt quá số quan sát, và làm cho Bước 3 không thể thực hiện được. Trong trường hợp tổng quát, với k biến giải thích, bao gồm cả số hạng hằng số, hồi qui phụ sẽ có k(k + 1)/2 số hạng. Số quan sát phải lớn hơn số số hạng này và vì vậy n>k(k + 1)/2 là một điều kiện cần thiết. 2 Nếu bậc tự do có thể là một vấn đề, thì một phương án đơn giản dùng để hồi qui uˆt theo ˆ ˆ 2 ˆ một hằng số, Yt , và Yt , với Yt là giá trị thích hợp của Yt khi sử dụng giá trị ước lượng ˆ ˆ 2 OLS. Bởi vì Yt phụ thuộc vào tất cả các X và Yt có tất cả các bình phương và tích số chéo giữa các X, nên thủ tục này là một phương án thích hợp để giải quyết vấn đề bậc tự do df. } VÍ DỤ 8.5 Đối với mô hình bình phương-lôgarít sử dụng trước đây, các biến bình phương sẽ là YEARS2 và YEARS4 và biến tích số chéo là YEARS3. Do đó, phương trình phụ cho mô hình này là 2 2 3 4 σ t = α1 + σ2YEARS + σ3YEARS + α4YEARS + α5YEARS Hồi qui phần dư bình phương có được từ việc áp dụng OLS vào mô hình bình phương- lôgarít theo một hằng số và theo số mũ của YEARS, R2 chưa hiệu chỉnh = 0,09 và n = 222 (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.4). Do đó, LM = nR2 = 19,98. Giả thuyết không là αi = 0 với i = 1, 2, , 5. Dưới giả thuyết này, LM có phân phối chi-bình phương với Ramu Ramanathan 13 Thục Đoan/Hào Thi
4. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi bậc tự do df là 4 và mức ý nghĩa 0,001 là 18,467, nhỏ hơn LM. Do vậy, ở đây chúng ta cũng bác bỏ hiện tượng phương sai của sai số không đổi. } 8.3 Các Thủ Tục Ước Lượng Nếu giả thuyết về phương sai của sai số không đổi bị bác bỏ, chúng ta gặp phải vấn đề trong việc cố gắng tìm ra những thủ tục ước lượng thay thế mà nó tốt hơn thủ tục bình phương tối thiểu thông thường. Trong phần này, chúng ta thảo luận một số phương pháp ước lượng. Ước Lượng Ma Trận Đồng Phương Sai Nhất Quán Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi (HCCM) Trong Tính Chất 8.1, đã đề cập đến các phương sai ước lượng của giá trị ước lượng OLS bị thiên lệch và không nhất quán, và do vậy những suy luận thống kê sẽ không còn hiệu lực nữa. Tuy nhiên, nếu có thể thu được những giá trị ước lượng nhất quán đối với các phương sai ước lượng, thì vẫn có thể có những suy luận còn hiệu lực đối với những cỡ mẫu lớn. White (1980) đưa ra một phương pháp để có được những ước lượng nhất quán của phương sai và đồng phương sai của ước lượng OLS, mà ông ta gọi là Ước Lượng Ma Trận Đồng Phương Sai Nhất Quán Phương Sai Của Sai Số Thay Đổi (HCCM). Messer và White (1984) cho thấy có thể có được một ước lượng HCCM bằng cách sử dụng kết hợp các hồi qui thông thường. Việc này đã được mở rộng bởi MacKinnon và White (1985), họ đã nghiên cứu ba phương pháp khác nhau để có được giá trị ước lượng HCCM. Họ kết luận từ những mẫu thực nghiệm rằng ước lượng với tính chất cỡ mẫu nhỏ tốt nhất thì dựa vào cái mà những nhà thống kê thường ví đến như Jackknife (con dao xếp) (Effron, 1982). Trong những số hạng đơn giản, một ước lượng Jackknife trước hết sẽ ước lượng một mô hình n lần, mỗi lần bỏ đi một quan sát. Việc này sẽ phát sinh ra một chuỗi các giá trị ước lượng mà tính chất thay đổi được của nó sẽ được tận dụng trong việc xây dựng ước lượng Jackknife như một giá trị trung bình của các phương sai và đồng phương sai riêng biệt. } VÍ DỤ 8.6 Đối với ví dụ tiền lương mà chúng ta đang sử dụng, cả hai giá trị ước lượng OLS và HCCM của các sai số chuẩn đều có được từ việc sử dụng chương trình GRETL và SHAZAM (xem Phần Thực Hành Máy Tính 8.5). Kết quả nằm ở phần kế tiếp với những sai số chuẩn OLS trong ngoặc đơn; những sai số chuẩn HCCM từ chương trình GRETL nằm trong ngoặc vuông, và những sai số chuẩn HCCM từ chương trình SHAZAM nằm trong ngoặc móc. Những giá trị ước lượng HCCM của phương sai của ước lượng là nhất quán, trong khi những giá trị ước lượng OLS thì lại không, nhưng những giá trị ước lượng của các hệ số hồi qui và R bình phương sẽ không thay đổi ( R 2 = 0,532). Ramu Ramanathan 14 Thục Đoan/Hào Thi
5. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi ln (SALARY) = 3,809 + 0,044 YEARS – 6,27e-04 YEARS2 (0,041) (0,0048) (1,209-04) [0,027] [0,0046] [1,256e-04] {0,026} {0,0043} {1,171e-04} Lý do có sự khác biệt rất ít trong các giá trị ước lượng đối với những sai số chuẩn giữa chương trình GRETL và SHAZAM là chương trình đầu sử dụng hiệu chỉnh Jackknife đã được thảo luận trước đây, trong khi đó chương trình sau thì không sử dụng. Chúng ta lưu ý rằng tất cả các hệ số đều ở mức ý nghĩa thấp hơn 0,001. Bình phương tốí thiểu tổng quát (hoặc trọng số) Xét mô hình trong Phương trình (8.3) .và chia các số hạng cho σt, độ lệch chuẩn của ut. Chúng ta có mô hình hiệu chỉnh Yt 1 Xt2 Xt3 ut = β1 + β2 + β3 + σt σt σt σt σt hoặc * * * * * + Yt = β1Xt1+ β2Xt2 + β3Xt3 ut (8.5) Với dấu sao ký hiệu các biến tương ứng chia cho σt. Chúng ta có *  ut  Var(ut) Var(ut ) = Var   = 2 = 1 σt  σt Vì vậy, Phương trình (8.5) thỏa mãn tất cả các điều kiện đòi hỏi đối với các ước lượng OLS để có được các tính chất mong muốn. Do đó, các ước lượng có được bằng * * * * , cách hồi qui Yt theo Xt1 Xt2 và Xt3 (không có số hạng không đổi) sẽ có tính BLUE. Thủ tục vừa được mô tả là một trường hợp đặc biệt của một phương pháp tổng quát hơn gọi là bình phương tối thiểu tổng quát (GLS). Mặc dù thủ tục GLS có vẻ đơn giản, nhưng vấn đề về thực hành là σt không biết được, và do đó chúng ta không thể ước lượng Phương trình (8.5) mà không có thêm các giả thiết khác. Thủ tục GLS được áp dụng cho trường hợp phương sai thay đổi thì cũng giống như thủ tục bình phương tối thiểu có trọng số (WLS). Đặt wt = 1/σt và lưu ý là (8.5) có thể được viết lại như sau: wt Yt = β1 wt + β2( wtXt2) + β3( wtXt3) + (wt ut) (8.6) Ramu Ramanathan 15 Thục Đoan/Hào Thi
6. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi So sánh (8.5) và (8.6), chúng ta thấy ngay là cực tiểu tổng bình phương của ut tương đương với cực tiểu tổng bình phương có trọng số của dư số: 2 2 ∑(wt ut) = ∑(wt Yt − β1 wt − β2 wtXt2 − β3 wtXt3) (8.7) Vì vậy, mỗi quan sát của từng biến (gồm cả số hạng không đổi) được cho trọng số wt, nghịch đảo với độ lệch chuẩn của ut. Điều này có nghĩa là các quan sát mà trong đó σt lớn được cho trọng số thấp trong thủ tục WLS. Dễ dàng chứng minh được là (xem Bài tập 8.1) các ước lượng thu được hoàn toàn giống với các ước lượng có được bằng cách áp dụng OLS cho Phương trình (8.5). Có thể thấy là các ước lượng bình phương tối thiểu trọng số cũng thích hợp cực đại như trong trường hợp sai số chuẩn (xem Bài tập 8.2) Cần lưu ý rằng, do các số hạng sai số của Phương trình biến đổi (8.5) là “ngẫu nhiên” theo định lý Gauss-Markov, các ước lượng WLS hiệu quả hơn các ước lượng OLS. Thực tế, các ước lượng này là BLUE, miễn là các trọng số bằng một tỷ số biết trước như trong trường hợp ở phần tiếp theo. Phương sai của sai số thay đổi với tỷ số biết trước Trước tiên xem xét một trường hợp đơn giản trong đó cấu trúc của phương sai của sai số thay đổi có dạng cụ thể biết trước. Trong mô hình ở Phương trình (8.3), giả sử tính phương sai của sai số thay đổi sao cho độ lệch chuẩn của sai số σt tỷ lệ với Zt biết trước. Cụ thể hơn, giả sử Phương trình (8.5) như sau: 2 2 2 Var(ut) = σt = σ Zt hoặc tương đương σt = σZt (8.8) với các giá trị của Zt biết trước với mọi t. Nói cách khác, độ lệch chuẩn của phần dư tỷ lệ với một số biến Zt biết trước, hằng số của tỷ lệ này là σ (chưa biết). Trong ví dụ trước đây về chi tiêu cho tiêu dùng, Zt sẽ là thu nhập hộ gia đình, và trong ví dụ về tội phạm, Zt sẽ là dân số của thành phố. Ngoại trừ sự thay đổi này ra, ut được xem là thỏa mãn tất cả các giả thiết khác để áp dụng OLS. Chia mỗi số hạng của Phương trình (8.3) cho Zt, Yt 1 Xt 2 Xt 3 ut = β1 + β2 + β3 + Zt Zt Zt Zt Zt hoặc * * * * * Yt = β1X t1 + β2X t2 + β3X t3 + ut (8.9) với dấu sao ký hiệu các biến tương ứng được chia cho Zt. Chúng ta có * ut Var (ut) 2 Var(ut ) = Var  = 2 = σ Zt Zt Vì vậy, Phương trình (8.9) thỏa mãn tất cả các điều kiện yêu cầu đối với các ước lượng OLS để có các tính chất mong muốn. Do đó, các ước lượng có được bằng cách hồi * * * * 2 2 2 qui Yt theo X t1, X t2 và X t3 sẽ là BLUE (khi σt = σ Zt ). Đây cũng giống như WLS Ramu Ramanathan 16 Thục Đoan/Hào Thi
7. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi với wt = 1/Zt. Lưu ý là Phương trình (8.9) không có một số hạng không đổi trừ khi Xt2 hoặc Xt3 hoàn toàn giống Zt. Vì các ước lượng GLS là BLUE, các ước lượng OLS của (8.3) sẽ không hiệu quả. } VÍ DUï 8.7 DATA8-2 chứa dữ liệu chéo về tổng chi tiêu cho di chuyển (EXPTRAV) và thu nhập cá nhân tương ứng (INCOME) của 50 tiểu bang ở Mỹ và Quận Columbia. Cả hai được tính bằng tỷ đôla. Hãy xét đường tương quan Engel sau EXPTRAVt = α + β INCOMEt + ut Chúng ta có thể kỳ vọng là các phương sai của sai số có tính thay đổi và tăng theo dân số. Nói cách khác, các tiểu bang có dân số cao có vẻ sẽ có biến đổi nhiều hơn trong chi tiêu cho di chuyển so với các tiểu bang nhỏ. Do đó, một đặc trưng hợp lý là σt = σPOPt 2 2 2 hoặc tương đương, Var(ut) = σt = σ POPt . Giả thiết cho rằng độ lệch chuẩn tỷ lệ với dân số sẽ tương đương với giả thiết phương sai tỷ lệ với bình phương của dân số. Như bước đầu tiên, chúng ta sử dụng kiểm định Glesjer đối với tính chất phương sai của sai số thay đổi và kết quả là có ý nghĩa (xem Bảng 8.2 có từ Bài tập thực hành máy tính Phần 8.6). Chia mỗi số hạng trong mô hình cho POPt, chúng ta có EXPTRAVt  1  INCOMEt ut = α  + β  + (8.10) POPt POPt  POPt  POPt Dễ dàng chứng minh được số hạng sai số trong Phương trình (8.10) có phương sai không đổi vì giả thiết là σt = σ POPt. Do đó, chúng ta có thể áp dụng OLS cho Phương trình (8.10). Lưu ý là biến phụ thuộc mới đơn giản là chi tiêu cho di chuyển trên đầu người. Tương tự như vậy, các biến độc lập mới là thu nhập trên đầu người và nghịch đảo của dân số, không có số hạng không đổi. Vì vậy, chúng ta thấy là thiết lập một mô hình với các số hạng bình quân đầu người sẽ thể hiện được bất kỳ tính chất phương sai của sai số thay đổi nào xuất hiện do kích thước của dân số. Nếu dân số có vai trò trong mô hình, một cách tiến hành tốt là thể hiện mô hình dưới dạng các số hạng bình quân đầu người. Mô hình được ước lượng như sau, với các trị thống kê trong ngoặc đơn và R2 hiệu chỉnh của mô hình biến đổi (xem Bảng 8.2 và Bài tập thực hành máy tính Phần 8.6): EXPTRAV  1  INCOME   = 0,737   + 0,059   POP  POP  POP  (2,2) (4,8) − R2 = 0,174 F = 42,2 Ramu Ramanathan 17 Thục Đoan/Hào Thi
8. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Phương pháp phân tích Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Niên khóa 2003-2004 Bài đọc Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi Cần nhận thấy là trong khi OLS được áp dụng cho mô hình biến đổi, diễn dịch của các hệ số là của phương trình nguyên thủy. Vì vậy, hệ số được ước lượng của 1/POP là hệ số của số hạng tung độ gốc, và hệ số được ước lượng của INCOME/POP là hệ số của xu hướng biên tế của thu nhập theo tiêu dùng cho di chuyển. − Mặc dù R2 có vẻ thấp, nó liên quan đến mô hình biến đổi chứ không phải của đặc trưng gốc ở các mức ý nghĩa. Tuy nhiên, trị thống kê F có ý nghĩa ở mức 1 phần trăm. Cả các trị thống kê t cũng có ý nghĩa ở mức thấp hơn 4 phần trăm. Như trong Bảng (8.2), một kiểm định Glesjer đã được áp dụng cho mô hình biến đổi và không có tính chất phương sai của sai số thay đổi có ý nghĩa. Bình Phương Tối Thiểu Tổng Quát Khả Thi (FGLS) Thủ tục bình phương tối thiểu tổng quát đã được thảo luận trước đây gồm việc chia mỗi biến (gồm cả số hạng không đổi) cho σt (độ lệch chuẩn của số hạng sai số) và sau đó áp dụng thủ tục bình phương tối thiểu thông thường cho mô hình biến đổi nhận được. Vì cấu trúc của phương sai của sai số thay đổi một cách tổng quát là không biết (nghĩa là, σt không biết trước), một nhà nghiên cứu trước tiên phải có các ước lượng của σt bằng một số cách và sau đó sử dụng thủ tục bình phương tối thiểu có trọng số. Harvey (1976) và Greene (2000) gọi thủ tục này là bình phương tối thiểu tổng quát khả thi (FGLS). Tuy nhiên, thủ tục thực sự để ước lượng σt biến đổi nhiều trong thực tế. Để biết thêm chi tiết về các vấn đề này và các phương pháp liên quan, hãy tham khảo Harvey (1976), Judge et al. (1985), Kmenta (1986), và Greene (2000). } Bảng 8.2 Kết Quả Riêng Phần Của Ví Dụ 8.7 Sử Dụng DATA8-2 [Đầu tiên hồi qui exptrav theo một hằng số và thu nhập sau đó chạy hồi qui phụ đối với kiểm định Glesjer] ^ Dependent variable: |ut| VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t>|T|) 0) const 0.7312 0.4100 1.783 0.080757 * 3) pop 0.1774 0.0543 3.264 0.002004 Unadjusted R – squared 0.179 Adjusted R-squared 0.162 Chi-squaared (1): area to the right of (LM =) 9.110000 = 0.002542 [Giá trị p thấp cho thấy vì xác suất bác bỏ một giả thuyết đúng là thấp, chúng ta có thể an toàn bác bỏ giả thuyết không về phương sai của sai số thay đổi và kết luận là phương sai của sai số thay đổi có ý nghĩa. Bước tiếp theo là chia mô hình cho pop và ước lượng bằng OLS. Trước tiên phải tạo ra các biến sau.] Ramu Ramanathan 18 Thục Đoan/Hào Thi