Giáo trình Nhập môn hàm phức - Trường Đại học Đà Lạt

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn hàm phức - Trường Đại học Đà Lạt

1. I.2 Sự hội tụ trong C 6 Từ việc xem C như là R2, định nghĩa trên thực chất không khác định nghĩa hội tụ trong R2, và vì vậy ta có mệnh đề sau: Mệnh đề. (1) zn → z0 khi và chỉ khi Rezn → Rez0 và Imzn → Imz0. (2) Dãy (zn) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy, i.e. ∀>0, ∃N>0:n, m ≥ N ⇒|zn − zm| 1 thì |zn| = |z|n →∞, vậy lim zn = ∞. n→∞ Với |z| =1thì lim zn =1 nếu z =1, và lim zn không tồn tại nếu z =1. n→∞ n→∞ n n Thực vậy, gỉa sử phản chứng tồn tại z =1mà lim z = z0. Khi đó |z0| = |z | =1, n→∞ n+1 n n nên z0 =0. Mặt khác, do z − z = z (z − 1), nên nên khi n →∞, ta có 0=z0(z − 1). Vậy z =1, trái gỉa thiết. b) Từ công thức (1 − z)(1 + z + z2 + ···+ zn)=1− zn+1, ví dụ trên suy ra: ∞ 1 − zn+1 1 zk = lim (1 + z + z2 + ···+ zn) = lim = , |z| < 1. n→∞ n→∞ 1 − z 1 − z k=0 c) lim (5n +6i)=?. n→∞ Bài tập: Ví dụ a) và c) ta có giới hạn vô cùng , lim zn = ∞, mà định nghĩa khái n→∞ niệm này một cách chính xác chắc không khó đối với người đọc (nhớ là C chỉ có một điểm vô cùng ∞, không có ±∞ như R). 2.3 Một số tập cơ bản. Trong C một số lớp tập có vai trò quan trọng, hay được đề cập đến thường xuyên. Các khái niệm này ta đã quen biết khi xét R2, tuy nhiên để thuận tiện, ít ra về mặt thuật ngữ và ký hiệu, các định nghĩa được liệt kê sau đây. -lân cận. Tập D(z0,)={z ∈ C : |z − z0| <} gọi là - lân cận của z0, hay đĩa mở tâm z0 bán kính . -lân cận thủng. Tập {z ∈ C :0< |z − z0| <} gọi là - lân cận thủng của z0. Điểm trong. z0 ∈ C gọi là điểm trong của tập X ⊂ C nếuu tồn tại một -lân cận của z0 hoàn toàn chứa trong X. Điểm giới hạn. z0 ∈ C gọi là điểm giới hạn của tập X ⊂ C nếuu mọi -lân cận thủng của z0 đều chứa các điểm của X. Điểm biên. z0 ∈ C gọi là điểm biên của tập X nếuu mọi -lân cận của z0 đều chứa các điểm của X và các điểm không thuộc X. Tập mở. Tập con của C gọi là mở nếuu mọi điểm của nó đều là điểm trong. Ký 2Một số vấn đề trong lý thuyết đồ họa liên quan đến dãy số phức, cụ thể là Hình học Fractal. Có thể xem: H.Q.Deitgen & P.H. Richter, The Beauty of Fractals , Spriger-Verlag, Berlin-Heidelberg 1986.
2. I.3 Hàm phức - Tính liên tục 7 ◦ hiệu X hay intX thường được dùng để chỉ phần trong của tập X, i.e. tập mọi điểm trong của X. Tập đóng. Tập con của C gọi là đóng nếuu nó chứa mọi diểm giới hạn của nó. Thường dùng ký hiệu X hay clX để chỉ bao đóng của tập X, i.e. tập X∪ tập mọi điểm giới hạn của X. Biên. Biên của tập X, ký hiệu ∂X hay bdX, là tập mọi điểm biên của X. Tập compact. compact = đóng + giới nội. Định nghĩa trên về tập compact cho phép xác định một cách dễ dàng một tập có com- pact hay không. Tập compact còn có định nghĩa tương đương (Định lý Heine-Borel 2.4), như vậy có thể xem tính compact như tính hữu hạn, cho phép chuyển các tính chất, các kết qủa từ địa phương lên toàn cục. Chẳng hạn, tính liên tục đều trong định lý Cantor 3.5. Tập liên thông. Tập liên thông là tập chỉ có một mảnh. Định nghĩa một cách chính xác thì một tập C ⊂ C gọi là liên thông nếuu nó không thể bị tách bởi các tập mở, i.e. không tồn tại 2 tập mở U, V ⊂ C sao cho: C ∩ U = ∅ = C ∩ V , C ∩ U ∩ V = ∅ và C ⊂ U ∩ V . Bài tập: Chứng minh khẳng định sau, thường dùng để lập luận mọi điểm của một tập liên thông thỏa tính chất nào đó: Cho C liên thông và X ⊂ C. Nếu X vừa đóng vừa mở trong C , thì X = C. Miền. Miền = tập mở + liên thông. Bài tập: Chứng minh tiêu chuẩn sau trực quan dùng để nhận biết tập D là miền: Cho D ⊂ C là tập mở. Khi đó D là miền khi và chỉ khi mọi cặp điểm a, b ∈ D đều tồn tại đường gấp khúc trong D nối a, b. Ví dụ. Tập S gọi là hình sao nếuu tồn tại z0 ∈ S sao cho với mọi z ∈ S đoạn thẳng nối z,z0 :[z,z0]={z0 + t(z − z0):0≤ t ≤ 1} hoàn toàn chứa trong S. Dễ thấy mọi tập hình sao là liên thông. Chẳng hạn, đĩa, hình chữ nhật, tam giác là các tập liên thông. 2.4 Các định lý. Các định lý cơ bản sau được chứng minh trong giáo trình giải tích thực: Định lý (Cantor). Cho F1 ⊃ F2 ⊃ ··· ⊃ Fn ⊃ ··· là một dãy các tập compact lồng nhau. Khi đó giao ∩k∈NFk = ∅. Định lý (Heine-Borel) K là tập compact khi và chỉ khi mọi phủ mở phủ K đều tồn tại phủ con hữu hạn, i.e. với mọi họ (Uk)k∈I gồm các tập mở Uk sao cho K ⊂∪k∈I Uk, tồn tại hữu hạn chỉ số k1, ··· ,kn ∈ I, sao cho K ⊂ Uk1 ∪···∪Ukn . 3. HÀM PHỨC - TÍNH LIÊN TỤC 3.1 Định nghĩa. Một ánh xạ f : D −→ C, D ⊂ C, được gọi là một hàm phức.
3. I.3 Hàm phức - Tính liên tục 8 D gọi là miền xác định, còn f(D) gọi là miền ảnh.3 Thường ta viết w = f(z),z ∈ D, với qui ước z = x + iy là biến, còn w = u + iv là ảnh. Chú ý: a) Như trong trường hợp thực, khi cho w = f(z) bởi biểu thức giải tích ta xem miền xác định là miền trong C sao cho biểu thức f(z) có nghĩa (phức). Chẳng hạn, hàm 1 f(z)= có miền xác định là C \{±i}. 1+z2 b) Từ hàm đơn diệp trong lý thuyết hàm phức dùng để chỉ hàm đơn ánh, (điều này do az + b lịch sử để lại). Chẳng hạn, hàm f(z)= (ad − bc =0), là đơn diệp trên miền cz + d z ∈ C,cz+ d =0. c) Trong lý thuyết hàm phức còn gặp thuật ngữ hàm đa trị, chẳng hạn biểu thức √ f(z)= n z xác định n giá trị ứng với mỗi z =0. Ta sẽ dùng khái niệm hàm thông thường (hàm đơn trị), còn hiện tượng đa trị có những cách khắc phục để đưa về xét hàm đơn trị sẽ được đề cập sau. 3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trên R2. Đối với hàm thực việc nghiên cứu đồ thị có vai trò đặc biệt quan trọng vì tính trực quan. Đồ thị hàm phức là tập con trong không gian 4 chiều, thật khó hình dung. Để mô tả hàm phức một cách hình học có một phương pháp khá trực quan là xem hàm đó như là phép biến đổi từ R2 vào R2. Cho hàm w = f(z),z ∈ D. Nếu z = x + iy, w = u + iv, thì f(x + iy)= u(x, y)+iv(x, y). Như vậy hàm f đồng nhất với cp hàm thực 2 biến thực (x, y) → (u(x, y),v(x, y)) Ta nói: z chạy trong mặt phẳng z =(x, y), còn w = f(z) chạy trong mặt phẳng ảnh w =(u, v). Để xét tính chất hàm f thường ta “quét” miền D bởi họ đường cong trong mặt phẳng z và xem họ đó biến đổi thế nào qua f trong mặt phẳng w. Ví dụ. Xét hàm w = z2 = x2 + y2 +2xyi. Ta có hàm xác định trên toàn bộ C và u = x2 − y2,v=2xy. 2 2 2 Cách mô tả 1: Ảnh của họ đường thẳng x = x0 là họ Parabol v =4x0(x0 − u), ảnh 2 2 2 của họ y = y0 là họ Parabol v =4y0(y0 + u). (xem hình) Cách mô tả 2: Trong mặt phẳng z đưa vào tọa độ cực (r, ϕ); trong mặt phẳng w có tọa độ cực (ρ, θ). Khi đó z = reiϕ, w = ρeiθ = r2ei2ϕ. Vậy ảnh của tia ϕ = ϕ0 là tia θ =2ϕ0, ảnh của đường tròn r = r0 là đường tròn 2 ρ = r0. Về mặt hình học hàm w = z2 được mô tả nh việc mở gấp đôi các góc trong mặt phẳng. 3Theo thói quen, người ta thường nói “hàm f(z)”, dù rằng không chính xác.
4. I.3 Hàm phức - Tính liên tục 9 y 6 v 6 f(z)=z2 - - - x u 3.3 Giới hạn hàm. Cho hàm w = f(z),z ∈ D và z0 ∈ D. f được gọi là có giới hạn w0 ∈ C khi z tiến về z0, và ký hiệu lim f(z)=w0, z→z0 nếuu ∀>0, ∃δ>0: z ∈ D, 0 < |z − z0| <δ ⇒|f(z) − w0| <. Về mặt hình học: f(z) thuộc vào đĩa tâm w0 bán kính  khi z nằm trong đĩa thủng tâm z0 bán kính δ. Về mặt hình thức: định nghĩa trên hoàn toàn giống định nghĩa hội tụ trong trường hợp hàm thực. Do vậy các kết qủa sau đây là tự nhiên mà chứng minh chúng chỉ là việc phiên dịch. Mệnh đề. (1) lim f(z)=w0 khi và chỉ khi lim Ref(z)=Rew0, lim Imf(z)=Imw0. z→z0 z→z0 z→z0 f (2) Nếu tồn tại lim f(z)=wf và lim g(z)=wg, thì các hàm f ±g, fg, (wg =0), z→z0 z→z0 g |f|, arg f là có giới hạn khi z tiến về z0 và các giới hạn đó lần lượct là wf ± wg, wf wf wg, , |wf |, arg wf . wg 3.4 Hàm liên tục. Hàm w = f(z),z∈ D, gọi là liên tục tại z0 ∈ D nếuu lim f(z)=f(z0). z→z0 Từ định nghĩa và nhận xét ở phần trên, các tính chất: tổng, hiệu, tích, thương, modul, argument, hợp, các hàm liên tục được dễ dàng phát biểu và chứng minh. 3.5 Các định lý về hàm liên tục. Sau đây là các định lý cơ bản của hàm liên tục, chúng được chứng minh ở giáo trình giải tích thực. Định lý(Cauchy). Hàm f liên tục trên tập liên thông D thì ảnh f(D) là liên thông. Định lý(Weierstrass). Hàm f liên tục trên tập compact K thì ảnh f(K) là tập compact. Đặc biệt, tồn tại z1,z2 ∈ K sao cho f(z1)=max|f(z)| và f(z2) = min |f(z)|. z∈K z∈K
5. I.3 Hàm phức - Tính liên tục 10 Định lý(Cantor) Hàm liên tục trên tập compact thì liên tục đều. Khái niệm liên tục đều hoàn toàn như trường hợp thực: hàm w = f(z),z ∈ D gọi là liên tục đều trên D nếuu ∀>0, ∃δ>0:∀z,z ∈ D, |z − z| 0 bé, i.e. h là một căn bậc k của − 0 . Khi đó ak ak a0 f(z0 + h)=|P (z0 + h)|≤|a0 − a0| + |h Q(z0 + h))| ak√ k < |a0|−|a0| + O( ) < |a0| khi  đủ bé . Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của z0.
   
6. II. Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích 1. CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 1.1 Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa hình thức của một biến Z là tổng hình thức vô hạn
   ∞ k 2 akZ = a0 + a1Z + a2Z + ··· , k=0 p q p+q ak ∈ C gọi là hệ số thứ k của chuỗi, Z là biến, thỏa: Z Z = Z . Hai chuỗi lũy thừa gọi là bằng nhau nếuu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau. Như vậy cho một chuỗi lũy thừa hình thức tương đương cho dãy: (a0,a1, ··· ,ak, ··· ) Ký hiệu C[[Z]] là tập mọi chuỗi lũy thừa hình thức của một biến Z.
   ∞ k Cấp của chuỗi S(Z)= akZ là số: ω(S)=inf{k : ak =0},ω(0) = +∞. k=0 ω Khi đó S(Z)=aωZ + các số hạng lũy thừa >ω. Ví dụ. Một đa thức được xem là chuỗi với đồng nhất sau: n n n+1 n+2 a0 + a1Z + ···+ anZ = a0 + a1Z + ···+ anZ +0Z +0Z + ··· 1.2 Đại số các chuỗi hình thức. Trên C[[Z]] định nghĩa 2 phép toán
   ∞
   ∞
   ∞ k k k phép cộng: ( akZ )+( bkZ )= (ak + bk)Z . k=0 k=0 k=0
   ∞
   ∞
   ∞ k k k phép nhân: ( akZ )( bkZ )= ckZ , với cn = a0bn + ···+ anb0. k=0 k=0 k=0 Khi đó (C[[Z]], +, ·) là một đại số với đơn vị là 1=1+0Z +0Z2 + ···. Hơn nữa, nó là miền nguyên (i.e. vành thỏa: S =0,T =0 ⇒ ST =0)do ω(ST)=ω(S)+ω(T ).
   ∞
   ∞ k k 1.3 Phép chia. Cho S(Z)=( akZ ) và T (Z)=( bkZ ). k=0 k=0
   ∞ k Bài toán: Khi nào tồn tại chuỗi Q(Z)= ckZ , sao cho S(Z)=T (Z)Q(Z). Khi k=0 S(Z) đó, ta ký hiệu Q(Z)= , và gọi là chuỗi thương của S(Z) và T (Z). T (Z) Mệnh đề. Gỉa sử S(0) = a0 =0. Điều kiện cần và đủ để tồn tại Q(Z) ∈ C[[Z]] sao
7. II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức. 12 S(Z) cho = Q(Z), là hệ số T (0) = b =0. Khi đó T (Z) 0
   ∞ k akZ
   ∞ a 1 k=0 = c Zk, với c = 0 ,c = (a − b c −···−b c )
   ∞ k 0 b n b n n 0 1 n−1 k k=0 0 0 bkZ k=0 Chứng minh: Sự tồn tại Q(Z) sao cho S(Z)=T (Z)Q(Z), suy ra a0 = b0c0. Theo gỉa thiết a0 =0, vậy b0 =0. Ngược lại, giả sử a0 =0,b0 =0. Ta cần xác định các hệ số ck sao cho
   ∞
   ∞
   ∞ k k k akZ =( bkZ )( ckZ ) k=0 k=0 k=0 Theo phép nhân, đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình với ẩn c0,c1, ···: an = b0cn + b1cn−1 + ···+ bnc0 n =0, 1, 2, ··· a0 1 Vì a0 =0, hệ có duy nhất nghiệm: c0 = ,cn = (an − bnc0 −···−b1cn−1).
   b0 b0 S(Z) Bài tập: Chứng minh, nếu bỏ gỉa thiết a =0, thì ∈ C[[Z]] khi và chỉ khi 0 T (Z) ω(S)=ω(T ).(HƯỚNG DẪN. Xem nhận xét sau các ví dụ dới đây). Ví dụ. 1 a) Cho đa thức T (Z)=1− Z. Để tìm thương , có thể dùng công thức ở mệnh T (Z) đề trên hay nhận xét sau.
   ∞ Xét chuỗi hình học Q(Z)=1+Z + Z2 + ···= Zk . k=0 Ta có ZQ(Z)= Z + Z2 + ···. Vậy (1 − Z)Q(Z)=1. 1
   ∞ Nói cách khác =1+Z + Z2 + ···= Zk 1 − Z k=0 Ví dụ này cũng cho thấy nghịch đảo một đa thức không là một đa thức. b) Phương pháp ở ví dụ trên có thể sử dụng để tìm nghịch đảo chuỗi lũy thừa
   ∞ k T (Z)= bkZ , với b0 =0, nh sau. k=0 2 Viết T (Z)=b0(1 − Φ(Z)), trong đó Φ(Z)=c1Z + c2Z + ···, i.e. Φ(0) = 0. 1 1 1 Suy ra = = (1 + Φ(Z)+Φ(Z)2 + ···). T (Z) b0(1 − Φ(Z)) b0
   ∞ S(Z) c) Cho S(Z)= a Zk. Khi đó = a +(a + a )Z + ···+ s Zn + ···, k 1 − Z 0 0 1 n k=0 trong đó sn = a0 + ···+ an.
8. II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức. 13 Nhận xét. Cho S(Z),T(Z) ∈ C[[Z]],T(Z) =0. Khi đó có biểu diễn chuỗi lũy thừa hình thức với hữu hạn số hạng lũy thừa âm: S(Z) c c c = −m + −m+1 + ···+ −1 + c + c Z + c Z2 + ··· T (Z) Zm Zm−1 Z 0 1 2 Thật vậy, gọi p và q là cấp của S và T . Khi đó p p q q S(Z)=Z (ap+ap+1Z+···)=Z S1(Z) và T (Z)=Z (bq+bq+1Z+···)=Z T1(Z) 1 Do T1(0) = bq =0, nên = U(Z) ∈ C[[Z]]. Vậy có thể biểu diễn T1(Z) S(Z) ZpS (Z) S (Z)U(Z) = 1 = 1 (m = q − p). q m T (Z) Z T1(Z) Z Từ đó suy ra biểu diễn nêu trên.
   ∞ k 1.4 Đạo hàm hình thức. Cho S(Z)= akZ . Đạo hàm của S(Z), là chuỗi k=0 dS được ký hiệu bởi S(Z) hay , và được định nghĩa dZ
   ∞  k−1 S (Z)= kakZ . k=1 Dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta có các công thức tính đạo hàm quen biết: ∀S, T ∈ C[[Z]], và ∀α, β ∈ C,   S  ST − ST (αS + βT) = αS + βT, (ST) = ST + ST , và = (T (0) =0). T T 2 Đạo hàm cấp n được định nghĩa qui nạp: S(n)(Z)=(S(n−1)(Z)) ,n∈ N. (n) (n) Ta có S (Z)=n!an + số hạng bậc ≥ 1. Vậy S (0) = n!an. Suy ra công thức Taylor hình thức:
   ∞ S(k)(0) S(Z)= Zk k! k=0
   ∞
   ∞ k l 1.5 Thay biến. Cho S(Z)= akZ , T (Z)= blZ ,b0 = T (0) = 0. k=0 k=0 Thay Z bởi T (Z) vào S, gọi là chuỗi hợp S ◦ T , định nghĩa bởi
   ∞ k S ◦ T (Z)=S(T (Z)) = ak(T (Z)) . k=0 Nhận xét. Việc thay biến như trên cho ta một chuỗi lũy thừa hình thức, i.e. định nghĩa
   ∞ n k là hợp cách. Thật vậy, gọi cn là hệ số của Z trong ak(T (Z)) . Khi đó theo phép k=0 nhân, ta có:
   n
   c = a ( b ···b ) n k p1 pk k=1 p1+···+pk=n
9. II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức. 14 Viết một cách ngắn gọn: n n cn = hệ số của Z trong a0 + a1T (Z)+···+ anT (Z) = a1bn + Pn(a2, ··· ,an,b1, ··· ,bn−1)(Pn là đa thức ) Vậy cn chỉ phụ thuộc vào n hệ số đầu của S và T . Ví dụ. 1 a) =1+cZ + c2Z2 + c3Z3 ···. 1 − cZ
   ∞ k b) Cho S(Z)= akZ . Ta có thể tách chuỗi có mũ chẵn và lẻ: k=0 1 (S(Z)+S(−Z)) = a + a Z2 + a z4 + ··· 2 0 2 4 1 (S(Z) − S(−Z)) = a Z + a Z3 + a Z5 + ··· 2 1 3 5 Tổng quát, dùng căn của đơn vị có thể tách chuỗi có số mũ mod m: gọi ω = e2πi/m, ta có 1
   
   ω−jrS(ωjZ)= a Zk (0 ≤ r 1. 1 1 Suy ra b1 = ,bn = Pn(a2, ··· ,an,b1, ··· ,bn−1). a1 a1  Từ T (0) = 0,T (0) =0, áp dụng chứng minh vừa rồi cho S := T , ta có S1 sao cho
10. II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức. 15 S1(0) = 0,T ◦ S1 = I. Suy ra S1 = I ◦ S1 =(S ◦ T ) ◦ S1 = S ◦ (T ◦ S1)=S, i.e. T ◦ S = I.
    Nhận xét. Vì T (S(Z)) = Z và S(T (W )) = W , có thể nói các biến đổi hình thức W = S(Z) và Z = T (W ), là ngược đảo của nhau. Mệnh đề trên còn gọi là Định lý hàm ngược hình thức. 1.7 Quan hệ đồng dư modulo ZN và ký hiệu O(ZN ). Trong tính toán với chuỗi lũy thừa thường ta “chặt cụt” ở một độ dài N ∈ N nào đó, và xử lý như đa thức.
    ∞
    ∞ k k N Hai chuỗi S(Z)= akZ và T (Z)= bkZ gọi là đồng dư modulo Z nếuu k=0 k=0 ak = bk, với k =0, 1, ··· ,N − 1. Khi đó ký hiệu S(Z)=T (Z) mod ZN hay S(Z)=T (Z)+O(ZN ). Nhận xét. Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức bậc ≤ n,
    1 S (Z)= Sk(0)Zk, sao cho S(Z)=S (Z)+O(Zn+1) n k! n k≤n Các phép toán thực hiện ở các phần trước có thể đúc kết như sau. n+1 n+1 Mệnh đề. Nếu S(Z)=Sn(Z)+O(Z ) và T (Z)=Tn(Z)+O(Z ), thì n+1 (1) S(Z)+T (Z)=Sn(Z)+Tn(Z)+O(Z ) n+1 (2) S(Z)T (Z)=Sn(Z)Tn(Z)+O(Z ) n+1 (3) S(T (Z)) = Sn(Tn(Z)) + O(Z ) Ví dụ. 1 1 1 a) Cho chuỗi cos Z =1− Z2 + Z4 + ···+(−1)k Z2k + ···. 2! 4! (2k)! 1 Để xác định đến bậc 4, ta tiến hành như sau. cos Z 1 1 = cos Z 1 1 1 − ( Z2 − Z4 + O(Z6)) 2! 4! 1 1 1 1 =1+(Z2 − Z4 + O(Z6)) + ( Z2 − Z4 + O(Z6))2 + O(Z6) 2! 4! 2! 4! 1 1 1 =1+ Z2 − Z4 +( Z2)2 + O(Z6) 2! 4! 2! 1 1 1 =1+Z2 +(− + )Z4 + O(Z6). 2 24 4 Z Z2 1 b) Cho chuỗi exp(Z)=1+ + + ···+ Zk + ··· . 1! 2! k! Để xác định chuỗi hợp exp(Zcos Z) đến bậc 3, ta tiến hành như sau. 1 1 1 1 exp(Zcos Z)=1+(Z − Z3 + O(Z5)) + (Z − Z3 + O(Z5))2 + (Z + O(Z3))3 + O(Z4) 2! 2! 2! 3! 1 1 1 =1+(Z − Z3)+ Z2 + Z3 + O(Z4) 2! 2! 3! 1 1 1 =1+Z + Z2 +(− + )Z3 + O(Z4) 2! 2 3!
11. II.2 Hội tụ đều 16 1.8 Hàm sinh. Theo một thuật ngữ khác chuỗi
    ∞ k G(Z)= akZ , k=0 còn được gọi là hàm sinh của dãy số (an)n∈N = a0,a1,a2, ··· Như vậy hàm sinh G(Z) là đại lượng duy nhất xác định toàn bộ thông tin của tất cả 1 các số hạng của dãy (an). Ví dụ.
    m k a) Chuỗi Z G(Z)= ak−mZ , là hàm sinh của dãy: (ak−m)=0, ··· , 0,a0,a1, ···. k≥m
    ∞ −m m−1 k b) Chuỗi Z (G(Z) − a0 − a1Z −···−am−1Z )= ak+mZ , là hàm sinh của k=0 dãy: (ak+m)=am,am+1, ··· c) Dãy Fibonacci định nghĩa: a0 =0,a1 =1, và an = an−1 + an−2 (n ≥ 2). Ta có thể xác định biểu thức hiện cho các số hạng an nhờ hàm sinh nh sau. 2 Gọi G(Z) là hàm sinh của dãy (an). Khi đó ZG(Z),ZG(Z) là hàm sinh của (an−1), (an−2) tương ứng. Từ an − an−1 − an−2 =0, ta có (1 − Z − Z2)G(Z)=Z. Z 1 1 1 Suy ra G(Z)= = √ ( − ), 1 − Z − Z2 5 1 − φZ 1 − φZˆ 1 trong đó φ và φˆ = là 2 nghiệm phương trình Z2 − Z − 1=0. φ Từ ví dụ 1.3 a) ta có 1   G(Z)=√ (1 + φZ + φ2Z2 + ···) − (1 + φZˆ + φˆ2Z2 + ···) . 5 1 Suy ra a = √ (φn − φˆn). n 5 Tổng quát, nếu dãy (an) cho bởi công thức đệ qui tuyến tính: an = c1an−1 + ···+ cman−m,n≥ m, với các hệ số cj ∈ C. m Khi đó (1 − c1Z −···−cmZ )G(Z) là đa thức. Dùng phương pháp tương tự như ví dụ trên (tìm nghiệm đa thức, phân tích thành thừa số hữu tỉ, khai triển chuỗi ngược, ) có thể xác định biểu thức hiện của an. 1 d) Nếu G(Z) là hàm sinh của dãy (a ), thì theo ví dụ 1.3 a) G(Z) là hàm sinh n 1 − Z của dãy tổng sn = a0 + ···+ an. 1Lý thuyết hàm sinh có nhiều áp dụng trong phân tích thuật toán. Có thể tham khảo: Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol.1, Addison-Wesley, 1973.