Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng

Ta gọi một hộp trong IR" là tập hợp có dạng

trong đó, I, là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (a, b), (a, b,, [a, b,), (a, b) . Nếu các I, đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp đóng (mở). Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì D và D lần lượt là các hộp mở (có thể rỗng) và đóng. Khoảng I, được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm. D được gọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng 1, là không suy biến. Lúc đó, nếu k < thì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại. Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi D = 0. D được gọi là hộp mở tương đối k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở. Chẳng hạn hộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng có các cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R? là các đoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối hại chiều trong R3 là các hình chữ nhật (không kể các cạnh) có các cạnh song song với 2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm. Có thể kiểm tra được rằng mọi hộp đóng m chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3 hộp mở tương đối (có chiều từ 0 đến 1) rời nhau!!