Giáo trình Giải tích 1 - Nguyễn Hữu Tiệp

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 1 - Nguyễn Hữu Tiệp

1. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ 1 1 1 1 22. un = + + ··· + ĐS: 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4 √ √ 23. u1 = 13, un+1 = 12 + un, n ≥ 1 ĐS:4 √ √ √ 3 3 24. u1 = 5, un+1 = 5un, n ≥ 1 ĐS: 5. 1 4 2 1 25. u1 = , un+1 = un − u ĐS: . 2 3 n 3 √ 1 1 + 5 26. u1 = 1, un+1 = 1 + , ĐS: . un 2 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα y n = 2 : y = x2 y = x2 * TXD : D = R. * T GT : T = [0, ∞). * Hàm số tăng trên khoảng (0, ∞) và giảm 0 x trên khoảng (−∞, 0). * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. y 1 n = −1 : y = 1 x y = x * TXD : D = R \{0}. * T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). * Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và 0 x (0, +∞) * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Đại học Bách khoa TPHCM Trang 11 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
2. 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC √ y √ n = −1 : y = x y = x * TXD : D = [0, ∞). * T GT : T = [0, ∞). * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và 0 x (0, +∞) * Không có tính chẵn lẻ. √ y = − x 1.2.2 Hàm lượng giác y = sin x Hàm số Công thức TXD : D = R * . i) sin2 x + cos2x = 1 2π : sin(x) = * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ ii) sin 2x = sin x cos x sin(x + 2π) iii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x * T GT : T = [−1, 1]. 1 − cos 2x π π iv) sin2 x = * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 2 v) sin π = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z. * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). 2 y 2 y = sin x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 x −1 −2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 12 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
3. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Hàm số y = cos x Công thức * TXD : D = R. i) cos 2x = cos2 x − sin2 x * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : cos(x) = ii) cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − sin2 x cos(x + 2π) 1 + cos 2x iii) cos2 x = * T GT : T = [−1, 1]. 2 cos 0 = 1; cos π = −1, cos(± π ) = 0. * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. iv) 2 y 2 y = cos x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 x −1 −2 Hàm số y = tan x π Công thức * TXD : D = R \{ 2 + kπ, k ∈ Z}. sin x i) tan x = * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π : tan(x) = cos x tan(x + π) ii) tan(π − x) = tan(−x) = − tan x * T GT : T = R. π π iii) tan(π + x) = tan(x) * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 π iv) tan 0 = 0, tan( 2 ) không xác định. * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Đại học Bách khoa TPHCM Trang 13 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4. 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC y y = tan x x −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit Công thức Hàm số y = ax, (a > 1) i) ax.ay = ax+y * TXD : D = R. ii) (ax)y = axy * T GT : T = (0, ∞). iii) ax.bx = (ab)x * Hàm số tăng trên (−∞, ∞) 1 iv) a−x = ax y y = ax(a > 1) (0; 1) 0 x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 14 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
5. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Công thức Hàm số y = ax, (0 < a < 1) ax i) = ax−y * TXD : D = R. ay T GT : T = (0, ∞) ax ax * . ii) = bx b * Hàm số giảm trên (−∞, ∞) iii) ax.y = (ax)y. y y = ax(0 < a < 1) (0; 1) 0 x 1.2.4 Hàm y = ln x y = ln x ⇐⇒ x = ey 0 < x < ∞ −∞ < y < ∞. y y = ln x 0 x Công thức 1 • ln(x+y) = ln(x)+ln(y).• ln = − ln x x x • ln = ln x − ln y α y • ln x = α ln x. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 15 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
6. 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2.5 Hàm Hyperbolic Hàm số y = sinh x, cosh x * Định nghĩa Công thức ex − e−x sinh x = ∈ R i) Các công thức của hàm Hyperbolic được suy từ 2 ex + e−x công thức lượng giác bình thường bằng cách thay cosh x = ≥ 1 sin → i sinh cos → cosh, tan → i tanh, cot → −i cot 2 ii) cosh2 x − sinh2 x = 1 * TXD : D = R. iii) cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x * y = sinh x là hàm lẻ và tăng trên R. * y = cosh x là hàm chẵn. y y y = cosh x y = sinh x 0 x (0; 1) 0 x 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arcsin x y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y π π −1 ≤ x ≤ 1 − ≤ y ≤ 2 2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 16 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
7. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ y 1.57 y = arcsin x y = sin x −1.57 0 1.57 x −1.57 y = arccos x y = arccos x ⇐⇒ x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π y 3.14 y = arccos x 1.57 0 1.57 3.14 x y = arccos x Hàm y = arctan x y = arctan x ⇐⇒ x = tan y π π −∞ ≤ x ≤ ∞ − ≤ y ≤ 2 2 1.2.7 Hàm Hợp Định nghĩa 1.8 (Hàm Hợp) Cho 2 hàm số z = g(y) và y = f(x). Hàm số z = g(f(x)) gọi là hàm hợp của f và g. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 17 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
8. 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC √ √ Ví dụ Cho z = y, y = cos x. Hàm z = cos x là hàm hợp của 2 hàm đã cho. √ √ Ví dụ Cho z = sin u, u = y, y = ln x. Khi đó, hàm z = sin ln x là hàm hợp của 3 hàm đã cho. 1.2.8 Hàm ngược Cho hàm số y = f(x): X −→ Y . Xét tập hợp f −1(y) = {x ∈ X : f(x) = y}. Tập này có thể có nhiều hơn một phần tử hoặc là tập rỗng. Nếu f −1(y) luôn có đúng 1 phần tử với mọi y ∈ Y thì f −1 là một ánh xạ gọi là ánh xạ ngược của hàm số y = f(x). f −1 : Y −→ X y 7→ x = f −1(x) ⇐⇒ y = f(x) Ví dụ 1.9 a Xét hàm số y = f(x) = x2 : R −→ R. Tập f −1(1) = {x ∈ R : x2 = 1} = {−1, 1} có 2 phần tử. Tập f −1(−1) = {x ∈ R : x2 = ∅}. 2 b Xét hàm số y = f(x) = x : R+ −→ R+. −1 2 √ −1 Tập f (y) = {x ∈ R+ : x = y} = { y} luôn có duy nhất 1 phần tử. Do đó y 7→ f (y) là √ √ ánh xạ ngược của hàm số y = f(x). Ta viết f −1(y) = y hay f −1(x) = x. 1.2.9 Hàm tham số hóa Định nghĩa 1.9 (Hàm cho theo tham số) Cho hàm số y = y(x) qua một biến trung gian t: ( x = x(t) y = y(t) gọi là hàm cho theo tham số. Đường cong (C) được xác đinh bởi hàm trên gọi là đường cong tham số, hay hàm trên gọi là tham số hóa của đường cong (C). Ví dụ 1.10 ( x = 1 + 2t a). Cho đường cong C có tham số hóa là đường thẳng qua M(1, 0) và có véc y = 0 − t tơ chỉ phương a = (2; −1): x + 2y = 1 ( x = 1 + 3 cos(t) b). Cho đường cong (C) có tham số hóa là đường tròn tâm I(1; 2) bán y = 2 + 3 sin t kính bằng 3: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 18 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
9. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ ( x = a cos t x2 y2 c). Cho đường cong (C) có tham số hóa là Elip + = 1 (bằng cách khử t y = b sin t a2 b2 từ phương trình tham số) Ví dụ 1.11 Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x). √ x − 1 3 x x 3 a) f(x) = . b) f(x) = e − 1. c) f(e ) = 3(x + 1) . x + 1 Bài làm x − 1 y + 1 a) y = f(x) = ⇐⇒ y(x + 1) = (x − 1) ⇐⇒ x = . x + 1 y − 1 y + 1 x + 1 Vậy f −1(y) = hay f −1(x) = . y − 1 x − 1 √ b) y = f(x) = 3 ex − 1 ⇐⇒ x = ln(y3 + 1) =⇒ f −1(x) = ln(x3 + 1). x 3 x c) f(e ) = 3(x + 1) . Đặt t = e ⇐⇒ x = ln t. √ √ 3 y −1 3 x −1 f(t) = 3(ln t + 1)3 hay y = f(x) = 3(ln x + 1)3 ⇐⇒ x = e 3 =⇒ f −1(x) = e 3 . Bài tập Câu 1) Tìm miền xác định của hàm số 1 a) f(x) = ln( x − 1). b) f(x) = arccos ln(1 + x) 1 c) f(x) = (1 + )x. x √  2  x − 1, x > 0,  1 d) f(x) = , x ≤ 0. rπ  + arctan x  4 Câu 2) Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) biết a) f(x) = ln(x3 + 1), x > −1. b) f(x + 1) = e2x + 1. p3 c) f(ex + 1) = ln(x2 + 1). 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.10 (Giới hạn hàm số) cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 19 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
10. 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC i) lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 0, ∃N, ∀x ∈ D : x > N −→ |f(x) − a| 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 x0 Định lý   lim f(x) = a x→x− lim f(x) = a ⇐⇒ 0 x→x0 lim f(x) = a.  + x→x0 |x| Ví dụ 1.13 Tính giới hạn lim . x→0 x Bài làm: biểu thức chứa trị tuyệt đối nên không tính trực tiếp được giới hạn. |x| x 0 x lim === lim = −1. lim === lim = −1. x→0− x x→0− x x→0+ x x→0+ x |x| Vậy không tồn tại giới hạn lim . x→0 x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 20 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
11. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.3.2 Các giới hạn cơ bản Giới hạn khi x → 0 1) Các hàm x, sin x, arcsin x, sinh x, tan x, arctan x, ln(x + 1), ex − 1 khi chia cho nhau sẽ hội tụ về 1 khi x → 0 sin x tan x ln(x + 1) (a) lim = 1 (c) lim x = 1 (e) lim = x→0 x x→0 e − 1 x→0 sinh x sinh x 1 (d) lim = arcsin x x→0 ln(x + 1) x (b) lim = 1 1 (f) lim = 1 x→0 x x→0 ex − 1 2) Bốn hàm khác 1 − cos x 1 1 α (a) lim = (c) lim(1 + αx) x = e x→0 x2 2 x→0 cosh x − 1 1 (1 + x)α − 1 (b) lim = (d) lim = α x→0 x2 2 x→0 x Các giới hạn khi x → +∞ tương tự như giới hạn dãy số 1. lim qx = 0, |q| 0 4. lim 1 + = ea. x→+∞ xα x→±∞ x Ví dụ 1.14 Tính giới hạn sin2 2x sin 2x2 x2 a) I = lim = lim . .4=1 .2.4 = 8. x→0 1 − cos x x→0 2x 1 − cos x √ 1 √ 3 1 (1+t) 3 −1 1 3 x − 1 1 + t − 1 (1 + t) 3 − 1 5 lim √ t===x−1→0 lim √ = lim = lim t = 3 = . b) 5 5 1 1 1 x→1 t→0 t→0 t→0 (1+t) 5 −1 x − 1 1 + t − 1 (1 + t) 5 − 1 5 3 t ln 1 ln t 1 t x t= →+∞ − c) I = lim xx = lim eln x = lim ex ln x ===x lim e t = lim e t = e−0 = 1. x→0+ x→0+ x→0+ t→+∞ t→+∞ x x2. 1 x2 − 1  −2  x d) I = lim = lim 1 + = (e−2)0 = 1. (tương tự giới hạn dãy số). x→∞ x2 + 1 x→∞ x2 + 1 √ x2 + 2x − x2 e) I = lim ( x2 + 2x + x) = lim √ x→−∞ x→−∞ x2 + 2x − x 2x 2x 2 2 = lim = lim = lim = = −1. x→−∞ q 2 x→−∞ q 2 x→−∞ q 2 −2 |x| 1 + x − x −x 1 + x − x − 1 + x − 1 1 1 . sin 2x f) I = lim (1 + sin 2x) x = lim (1 +2 sin 2 x) sin 2x x = (e2)2 = e4. x→0 x→0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 21 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
12. 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 cot x2 1 1 cosh x−1 x g) lim (cosh x) = lim (1 + (cosh x − 1)) tan x2 = lim (1 + (cosh x − 1)) cosh x−1 x2 tan x2 = x→0 x→0 x→0 1. 1 .1 √ e 2 = e. x sin x h) I = lim √ . x→+∞ x3 + 1 arctan x x sin x x Ta có 0 ≤ √ ≤ √ , ∀x > 0. x3 + 1 arctan x x3 + 1 arctan x x π lim 0 = lim √ = 0. = 0. Vậy I = 0. x→+∞ x→+∞ x3 + 1 arctan x 2 Bài tập 2 2 x2 + 4x 2x2 + 3x 11. I = lim (cos x + 5 sin x)cot x 1. I = lim 6. I = lim x→0 x→+∞ x2 − 4 x→∞ 2x2 − 1 1  x 2 4 sin2 x 1 1 2 x2 2. I = lim (1 + 2x ) 7. I = lim e x + 12. I = lim (1 + sin(2x )) x→0 x→∞ x x→0 cot x 3. I = lim (ln(e + x)) 1 x→0 8. I = lim(cosh x) 1−cos x 1 x→0 13. I = lim (1 + 2x4 cos x)) x4 1 x→0 1 2 sin2 2x x+ 4. I = lim (1 − tan x) 9. I = lim xe x x→0 x→−∞ 2x 2 1 1 1 e + x 5. I = lim (cos x) x2 10. I = lim(cos 2x + sin x) sin x 14. I = lim ln x→0 x→0 x→+∞ x x2 1.3.3 Vô cùng bé Định nghĩa 1.12 (Vô cùng bé) . Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → x0 nếu lim f(x) = 0 x→x0 Ví dụ 1.15 a) f(x) = 2x2 − 3 sin x là VCB khi x → 0. Vì lim f(x) = lim 2x2 − 3 sin x = 0. x→0 x→0 1 1 b) f(x) = không phải VCB khi x → 0. Vì lim = −1 6= 0. x − 1 x→0 x − 1 1 Nhưng là VCB khi x → ∞. Vì lim = 0. x→∞ x − 1 Tính chất i) Tổng hữu hạn các VCB là một VCB. ii) Tích 2 VCB là một VCB. iii) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. iv) Thương 2 VCB chưa chắc là VCB. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 22 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
13. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ f(x) Định nghĩa 1.13 (cấp vô cùng bé) Cho f(x), g(x) là 2 VCB khi x → x0 và lim = k x→x0 g(x) i) Nếu k = 0 thì ta nói f(x) có bậc VCB cao hơn g(x), ta viết f(x) = o(g(x)). ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f(x) và g(x) là 2VCB cùng cấp. iii) Nếu k = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là 2 VCB tương đương: f(x) ∼ g(x). k iv) Nếu f(x)(x − x0) thì ta nói f(x) là VCB bậc k. Ví dụ 1.16 so sánh các VCB sau khi x → 0 √ √ a) 1 − x2 − 1 và tan x. c) e3x − 1 và 1 + 6x − 1. 1 ln(1 − 2x2) x4 + 3x2 d) x sin và x b) và . x Bài làm √ √ 1 − x2 − 1 1 − x2 − 1 x √ a) lim = lim . .(−x) = 0. Suy ra 1 − x2 − 1 là VCB cấp cao x→0 tan x x→0 −x2 tan x hơn tan x. ln(1 − 2x2) ln(1 − 2x2) −2x2 ln(1 − 2x2) −2 b) lim = lim = lim = −2. x→0 x4 + 3x2 x→0 −2x2 x2(x2 + 3) x→0 −2x2 x2 + 3 Suy ra ln(1 − 2x2) và x4 + 3x2 là 2 VCB cùng cấp. e3x − 1 e3x − 1 6x 1 e3x − 1 1 1 1 1 c) lim √ = lim .√ . = lim . √ . = 1. = 1 x→0 1 + 6x − 1 x→0 3x 1 + 6x − 1 2 x→0 3x 1+6x−1 2 1 2 √ 6x 2 Suy ra e3x − 1 và 1 + 6x − 1 tương đương. 1 x sin 1 d) lim x = lim sin không tồn tại nên 2 VCB này không so sánh được. x→0 x x→0 x Các VCB thường gặp khi x → 0 ?x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ sinh x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1. x2 ? ∼ 1 − cos x ∼ cosh x − 1. 2 ? (1 + x)α − 1 ∼ αx. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 23 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
14. 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Tính chất cho các VCB tương đương khi x → x0 f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x) i) f(x)g(x) ∼ f1(x)g1(x) ii) Tổng f1(x) + g1(x) gọi là dạng triệt tiêu nếu f(x) có bậc VCB thấp hơn f(x) + g(x). Nếu không phải dạng triệt tiêu thì f(x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp nhất. iii) f(x) f (x) lim = lim 1 x→x0 g(x) x→x0 g1(x) Chú ý: • Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc thấp nhất thì là dạng triệt tiêu. • Thay VCB tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu. • Không thay tương đương cho hàm hợp. Ví dụ 1.17 Rút gọn các VCB sau khi x → 0. a) f(x) = 3x5 − 5x6 − 4x3 ∼ −4x3 : bậc thấp nhất là 3 b) f(x) = (e3x − 1)(sin2 2x + 3x3) ∼ 3x.((2x)2 + 3x3) ∼ 3x.x2 = 3x3. (2x)2 c) f(x) = x cos 2x − x + 3x3 = −x(1 − cos 2x) + 3x3 ∼ −x + 3x3 = x3. 2 √ 3 1 1 1 2 4 2 d) f(x) = 1 + 2x − cos 2x = [(1 + 2x) 3 − 1] + [1 − cos 2x] ∼ .2x − (2x) = − x . 3 2 3 e) f(x) = (1 + 2x2 − 3x3)3 − cos(2x + x2) = [(1 + 2x2 − 3x3)3 − 1] + [1 − cos(2x + x2)] 1 1 ∼ 3.(2x2 − 3x3)+ (2x + x2)2 ∼ 3.2x2 + (2x)2 = 8x2. 2 2 f) f(x) = tan x − sin x ∼ x − x = 0−→ Sai. Vì tan x và sin x đều bậc nhất. Khi thay tương đương mất đi bậc nhất do đó là dạng triệt tiêu. Không bao giờ tương đương ra không. Ta làm lại như sau: x2 x3 f(x) = tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ∼ x. = . 2 2 √ g) f(x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x √ √ 1 1 Cách 1: f(x) = 1 + 2x + 2x2 −1−x ∼ 1 + 2x−1−x = ((1+2x) 2 −1)−x ∼ 2x−x = 2 0−→ Sai. 2 chỗ: thay tương đương hàm hợp và thay tương đương dạng triệt tiêu Đại học Bách khoa TPHCM Trang 24 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
15. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ √ 1 Cách 2: f(x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ (2x + 2x2) − x = x2−→ Sai. 2 Dạng triệt tiêu: mất đi bậc nhất. √ √ 1 + 2x − 1 Cách 3: f(x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ 1 + 2x − 1 − x = √ − x √ 1 + 2x + 1 x(1 − 1 + 2x) x.(− 1 .2x) x2 = √ ∼ 2√ = − −→ Sai. 1 + 1 + 2x 1 + 1 2 ∼ đầu tiên sai vì thay tương đương hàm hợp, các ∼ sau thì đúng. √ 1 + 2x + 2x2 − 1 Cách 4: f(x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 − x = √ − x √ 1 + 2x + 2x2 + 1 x(1 + 2x − 1 + 2x + 2x2) x.(2x − 1 .(2x + 2x2)) x2 = √ ∼ 2 √ = .−→ Đúng. 1 + 1 + 2x + 2x2 1 + 1 2 Không thay tương đương hàm hợp. Biến đổi cho đến khi hết dạng tổng triệt tiêu rồi mới dùng tương đương. β Ví dụ 1.18 Tìm α, β sao cho f(x) ∼ α(x − x0) khi x → x0. x 1 a) f(x) = e − e , x0 = 1. f(x) = e[ex−1 − 1] ∼ e(x − 1) =⇒ α = e, β = 1. Chú ý: x → 1 =⇒ x − 1 là VCB nên ta áp dụng công thức cho x − 1. √ 3 b) f(x) = x − x, x0 = 1 1 1 2 2 f(x) = [(1 + x − 1) 3 − 1] + 1 − x ∼ (x − 1) − (x − 1) = − (x − 1) =⇒ α = − , β = 1. 3 3 3 √ x c) f(x) = 2 − 1, x0 = 0. √ x √ √ 1 f(x) = eln 2 − 1 = e x ln 2 − 1 ∼ x ln 2 =⇒ α = ln 2, β = . 2 Ví dụ 1.19 Tính các giới hạn sau bằng cách thay VCB tương đương. ln(1 + x tan x) a) I = lim . x→0 x2 + sin3 2x Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2, x2 + sin3 2x ∼ x2 + (2x)3 ∼ x2. ln(1 + x tan x) x2 =⇒ I = lim = lim = 1 x→0 x2 + sin3 2x x→0 x2 1 2 ln cos 2x ln(1 + cos 2x − 1) cos 2x − 1 − .(2x) b) I = lim = lim = lim = lim 2 = 2. x→0 ln(1 − x2) x→0 ln(1 − x2) x→0 −x2 x→0 −x2 2 cos x − ex cos x − 1 + 1 − ex − x − x −x c) lim √ = lim = lim 2 = lim = −1. x→0 x→0 x→0 1 x→0 1 + 2x − 1 2x 2x. 2 x √ √ √ √ 1 − 2x − 3 1 + 6x 1 − 2x − 1 + 1 − 3 1 + 6x −2x. 1 − 6x. 1 d) I = lim = lim = lim 2 3 = 3 x→0 ln(1 − arcsin x) x→0 − arcsin x x→0 −x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 25 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
16. 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x2012 − 1 e) I = lim . x→1 ln x Ta đặt t = x − 1 → 0(x → 0). (t + 1)2012 − 1 2012.t I = lim = lim = 2012. t→0 ln(t + 1) t→0 t 1 1 ln(1+3 tan 2x) 3 tan 2x 3.2x 2 f) I = lim (1 + 3 tan 2x) sin 3x = lim e sin 3x = lim e sin 3x = lim e 3x = e . x→0 x→0 x→0 x→0 √ 3 1 + 3x2 − 1 g) I = lim . x→0 ecos x − 2 1 2 2 1 .3x 2 (1 + 3x ) 3 − 1 x I = lim = lim 3 = lim = −2−→ Sai. x→0 (ecos x − 1) − 1 x→0 cos x − 1 x→0 x2 − 2 x→0 Vì cos x −−→ 1 6= 0 nên áp dụng công thức ecos x − 1 ∼ cos x là sai. Bài này không phải dạng vô định nên suy ra ngay kết quả √ 3 1 + 3x2 − 1 0 I = lim = = 0. x→0 ecos x − 2 e − 2 √ 1 + 2x − 1 − x h) I = lim 2 . Chú ý trên tử dạng triệt tiêu. x→0 cosh 2x − e3x √ (1 + 2x) − (1 + x)2 −x2 −x2 1 + 2x − 1 − x = √ = √ ∼ 1 + 2x + 1 + x 1 + 2x + 1 + x 2 2 2 1 cosh 2x − e3x = (cosh 2x − 1) − (e3x − 1) ∼ (2x)2 − 3x2 = −x2 2 x2 − 1 I = lim 2 = . x→0 −x2 2 1 1 1 1 1 1 x2 x2 e − cos e − 1 + 1 − cos 2 + 2 3 i) I = lim x2. x = lim x2. x = lim x2. x 2x = . x→+∞ x→+∞ π x→+∞ π arctan x 2 2 π 1 x→+∞ 1 Chú ý −−−−→ 0 nên ta áp dụng công thức cho . x x π arctan x → 2 là hằng số nên được thế số ngay từ đầu. 1.3.4 Vô cùng lớn Định nghĩa 1.14 ( Vô cùng lớn) . Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu lim |f(x)| = +∞ x→x0 Tính chất VCL tương tự VCB. Ví dụ 1.20 a) f(x) = 2x2 − 3 sin x là VCL khi x → ∞. Vì lim f(x) = lim 2x2 − 3 sin x = +∞. x→0 x→∞ 1 1 b) f(x) = là VCL khi x → 1. Vì lim = +∞. x − 1 x→1 x − 1 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 26 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
17. CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ f(x) Định nghĩa 1.15 (cấp vô cùng lớn) Cho f(x), g(x) là 2 VCL khi x → x0 và lim = k x→x0 g(x) i) Nếu k = ∞ thì ta nói f(x) có bậc VCL cao hơn g(x), ta viết f(x) = O(g(x)). ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f(x) và g(x) là 2VCL cùng cấp. iii) Nếu k = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL tương đương: f(x) ∼ g(x). k iv) Nếu f(x)(x − x0) thì ta nói f(x) là VCL bậc k. Tính chất cho các VCL tương đương khi x → x0 f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x) i) f(x)g(x) ∼ f1(x)g1(x) ii) Tổng f1(x) + g1(x) gọi là dạng triệt tiêu nếu f(x) có bậc VCL cao hơn f(x) + g(x). Nếu không phải dạng triệt tiêu thì f(x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp cao iii) f(x) f (x) lim = lim 1 x→x0 g(x) x→x0 g1(x) Chú ý: • Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc cao nhất thì là dạng triệt tiêu. • Thay VCL tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu. • Các bài toán VCL có thể chuyển về VCB bằng cách đặt ẩn. Ví dụ 1.21 Tính giới hạn 3x3 − 2x2 3x3 a) lim = lim = 3. x→∞ 1 − 2x2 + x3 x→∞ x3 √ √ √ 2x4 − 4x3 + 3x − 2 2x4 + 3x 2x2 b) lim √ = lim √ = lim = 0 x→+∞ 2x3 − 2x + x3 x→∞ 2x3 − x3 x→+∞ −2x3 √ √ 3x2 − 4 x6 − 3x2 3x2 − 4 x6 −4x3 c) lim √ = lim √ = lim = +∞ x→+∞ 1 + 2x − 5x2 x→+∞ 2x − 5x2 x→+∞ −5x2 x2 + ln30(x + 1) − 2x + 4x 4x 4 d) lim = lim = . x→+∞ 3x − 4x6 + 5.4x x→+∞ 5.4x 5 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 27 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
18. 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC √ √ 1 e) I = lim x2 + 2x − 3 x3 + x2. Đặt t = → 0. Suy ra x→+∞ √ x √ q q 3 1 2 3 1 1 1 + 2t − 1 + t I = lim 2 + − 3 + 2 = lim t→0√+ t t t √t t→0+ t 1 + 2t − 1 + 1 − 3 1 + t t − t 2 = lim = lim 3 = . t→0+ t t→0+ t 3 Bài tập Bài 1) Sắp xếp các hàm số sau theo thứ tự tăng dần của bậc VCL √ (a) x → +∞ : 3x + ln3 x, x ln x, 3x, x(2 + sin4 x) (b) x → +∞ : 2x, x2, x2 + sin4 x, x ln x √ (c) x → +∞ : 3x2 + 1 ln(2x), x ln(x2 + 3), x ln x Đáp án: √ a) 3x, x(2 + sin4 x) ≈ 3x + ln3 x, x ln x b) x ln x, x2 ≈ x2 + sin4 x, 2x c) Bằng nhau hết. Bài 2) Tính các giới hạn √ √ √ √ √ (a) lim x2 + 2x + x x4 + 6x3 − 3x2 + x4 2x2 + 1 − 3x + x2 x→±∞ (c) lim √ (e) lim x→−∞ x2 − 1 x→+∞ x √ 2 x p3 5 3x + 1 2 ln(e − x) + x + x x sin 2x + 2 arcsin 3x x √ (b) lim ( ) (d) lim (f) lim x x→∞ 3x2 − 1 x→+∞ x − x4 + 2x2 x→0 e − ln(1 + 3x − sin(x)) Đáp án: √ √ a) lim x2 + 2x + x = +∞, lim x2 + 2x + x = −1 x→+∞ x→−∞ √ b) 3 e2 c) Bài 3) Tính giới hạn hàm số bằng cách thay VCB tương đương x 2 − 1 e1/x2 − cos 1 (a) lim (g) lim x2 x x→0 sin 3x x→+∞ arctan x sin x − 1 1 1 1 (b) lim 2 x→ π π (h) lim ( − ) 2 tanh (x − 2 ) x→0 x sin x tan x √ √ 5 3 1 1 + 10x − 1 + 3x (i) lim(cosh x) 1−cos x (c) lim x→0 x→0 arcsin(3x) − tanh(x3) xx − 1 2 1 (j) lim (d) lim(1 − tan x) sin2 x x→0+ x ln x x→0 √ √ 3 2 cos x − cos x sin 5x − 3x (k) lim (e) lim x→0 ln(cosh 2x) x→0+ x + ln x 1 1 1 x (f) lim(cos x) x2 (l) lim (e x + ) x→0 x→±∞ x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 28 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp