Giáo trình Đại số tuyến tính

Nội dung text: Giáo trình Đại số tuyến tính

1. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän     1 2  2 1  Ví d ụ 16. Xét hai ma tr ận A =   và B =   , ta có:     1 0  4 3     10 7  3 4  • AB= ≠   = BA ,    21   78  2 2 12 21  33 2418  2        • (A+= B )  +   =   =   , 10  43  53   3024      2     2 2 2 12  1221   21  • A++=2 AB B  + 2   +        10   1043    43      32 2014   8 5   3121  =+  +   =   .       12 4 2   2013   2517  Suy ra (AB+ )2 ≠+ A 2 2 AB + B 2 .   3 2 1− 1  Ví d ụ 17. Cho hàm s ố fx()= 2 x − 4 x và ma tr ận A =  . Tìm ma tr ận f( A ) + I .   2 0 1   Gi ải. Ta có:         2 1− 11  − 1   1 − 2  3 1− 11  − 2   1 − 3  A =   =   , A =   =   .           0101     01  0101     01  Suy ra:        13−  12 −   10  26−  48 −   10  − 12  f() A+= I 2 − 4   +   = −   +  =   . 2            01   01   01  02   04   01  0− 1  Ví d ụ 18. Tìm ma tr ận D= ( ABC ) 5 , trong đó:      −21  30   01  A=, B =   , C =   .      10   81−   12    −1 0  Gi ải. Ta có: ABC =  .    0 3   5 5   −10 (1) − 0  − 10  Vậy D = =  =   .  5    03 0 3   0243    2011 2 0  Ví d ụ 19. Tìm ma tr ận (I− A ) , v ới A =  . 2   1 0       10  20   − 10  Gi ải. Ta có: I−= A  −   =   2      01   10   − 11      2 −10  − 10   10  ⇒−=(I A )    ==   I 2      2 −11   − 11   01  1005 ⇒−(IA )2010 =− ( IA ) 2  = () I 1005 = I . 2 2  22    2011 −10  − 10  Vậy (I− A ) = I .  =   . 2 2    −11   − 11  11
2. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính α α  cos− sin  n Ví d ụ 20. Cho ma tr ận A =  . Tìm A, ∀ n ∈ ℕ .   sinα cos α  Gi ải • Ta có: α α  α α  0 1 0  cos0− sin0  1 cos1− sin1  A = =   , A= A =   ,      0 1  sin0α cos0 α  sin1α cos1 α  α αα  α  2α 2 α αα  α α  2 cos− sin  cos − sin  cos− sin − 2 sin cos  cos2− sin 2  A =    =   =  .     2 2    sinα cos α   sin α cos α   2 sinαα cos cos α− sin α   sin 2α cos2 α  kα k α  k cos− sin  • Gi ả s ử A =   (∗ )   sinkα cos k α  • V ới n= k + 1, t ừ (∗ ) ta có: kα k αα  α  kα k α  k+1 cos− sin  cos − sin  cos(+ 1) − sin( + 1)  A =    =  .      sinkα cos k α   sin α cos α  sin(k+ 1)α cos( k + 1) α   nα n α  n cos− sin  Vậy A= , ∀ n ∈ ℕ .   sinnα cos n α  A a i+ j 2 Ví d ụ 21. Cho ma tr ận = (ij ) 40 có các ph ần t ử aij =( − 1) . Tìm phần t ử α25 c ủa ma tr ận A . Gi ải Ph ần t ử α25 c ần tìm là tích dòng th ứ 2 c ủa A và c ột th ứ 5 c ủa A . Các ph ần t ử trên dòng th ứ 2 của A là: 2+ 1 a21 =−( 1) =− 1 , a22 = 1, , a2 39 = − 1, a2 40 = 1. Các ph ần t ử trên c ột th ứ 5 c ủa A là: 1+ 5 a15 =( − 1) = 1 , a25 = − 1 , , a39 5 = 1, a40 5 = − 1 . Vậy α =−1.1 +−+ 1( 1) +− ( 1).1 +− 1( 1) =− 40 . 25 40 soá haïng A a ai j A2 Ví d ụ 22. Cho ma tr ận = (ij ) 100 có các ph ần t ử ij =( − 1) . . Tìm ph ần t ử α76 c ủa ma tr ận . Gi ải Ph ần t ử α76 c ần tìm là tích dòng th ứ 7 c ủa A và c ột th ứ 6 c ủa A . Các ph ần t ử trên dòng th ứ 7 c ủa A là: 7 a71 =−( 1) .1 =− 1 , a72 = − 2 , , a7 99 = − 99 , a7 100 = − 100 . Các ph ần t ử trên c ột th ứ 6 c ủa A là: 1 a16 =−( 1) .6 =− 6 , a26 = 6 , , a99 6 = − 6 , a100 6 = 6 . Vậy α76 =6(1 −+−++ 2 3 4 99 − 100) =− 300 . A a a i j A2 Ví d ụ 23. Cho ma tr ận = (ij ) 100 có các ph ần t ử ij =( − 1) .3 . Tìm phần t ử α34 c ủa ma tr ận . Gi ải Ph ần t ử α34 c ần tìm là tích dòng th ứ 3 c ủa A và c ột th ứ 4 c ủa A . Dòng th ứ 3 c ủa A là (3−− 32 − 3 3 − 3 99 − 3) 100 12
3. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän Cột th ứ 4 c ủa A là (3−44 3 − 3 4 − 3 44 3) T 1− ( − 3)100 3 5 V ậy α =3(34 −+−+ 3 2 3 3 3 99 − 3) 100 =3.3.4 = (13) − 100 . 34 1− ( − 3) 4 1.2.5. Phép chuy ển v ị ℝ T Cho ma tr ận A∈ M m× n ( ) . Ma tr ận chuy ển v ị (Transposed matrix) c ủa A , ký hi ệu là A , là m ột ma tr ận cấp n× m nh ận được t ừ A b ằng cách chuy ển t ất c ả các dòng trong A thành các c ột tươ ng ứng c ủa AT . Phép bi ến đổ i ma tr ận A thành ma tr ận AT được g ọi là phép chuy ển v ị. 1 4      1 2 3  T  Ví d ụ 24. Ma tr ận chuy ển v ị c ủa A =   là A = 2 5 .     4 5 6     3 6  
   Tính ch ất T T T ℝ i) (AB+ ) = A + B , ∀A, B ∈ M m× n ( ) . T T ℝ ℝ ii) (λA )= λ . A , ∀∈A M m× n ( ), ∀∈λ . T T ℝ iii) (A ) = A , ∀A ∈ M m× n ( ) . T T T ℝ ℝ 4i) (AB ) = BA , ∀∈AMmn×(), ∀∈ BM np × () .    1− 1       0 1− 2  Ví d ụ 25. Cho hai ma tr ận A =  0 2  và B =   .       −1 0 − 3   −3 − 2   1) Tính (AB ) T ; 2) Tính BT A T và so sánh k ết qu ả v ới (AB ) T . Gi ải 1) Ta có:    11−    111   0 1− 2    AB =02  =−−  206      −1 0 − 3    −3 − 2  2 − 3 12   T  111  122−     T    ⇒()AB =− 20 −= 6  10 − 3  .    2− 3 12   1 − 6 12  2) Ta có: 0− 1      T 1 0− 3  T  A= , B =  1 0      −1 2 − 2     −2 − 3   01−  122 −      T T  1 0− 3   ⇒=B A 10  =−  103  .     −1 2 − 2    −2 − 3  1 − 6 12  Vậy BAT T= ( AB ) T . 13
4. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính 1.3. Các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận 1.3.1. Định ngh ĩa A Cho ma tr ận A= ( a ij ) m× n (m ≥ 2) . Ta g ọi phép bi ến đổ i s ơ c ấp dòng trên là m ột trong các d ạng sau d↔ d 1) Hoán v ị dòng i và dòng k cho nhau để A tr ở thành B : A→i k B . d→λ d 2) Nhân dòng i với s ố λ ≠ 0 để A tr ở thành C : A→i i C . d→ d + λ d 3) Thay dòng i bởi t ổng dòng i v ới λ l ần dòng k để A thành D : A→i i k D .
   Chú ý i) Trong dạng 3), s ố th ực λ có th ể là 0. d→ d + λ d ii) Trong th ực hành ta th ường làm g ộp A→i i k E . iii) T ươ ng t ự, ta c ũng có các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên cột c ủa ma tr ận. Ví d ụ 26. Dùng các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dòng để đưa ma tr ận sau đây về ma tr ận tam giác trên:   2 1− 1      A =1 − 2 3 .   3− 1 2   Gi ải. Ta có: 211−   123 −     d↔ d   1 2   A =123 − →  211 −     312−   312 −      123−  123 −  ddd→ −2  ddd→ −   2 2 1 3 3 2   →d d d 057 − →  057 −  . 3→ 3 − 3 1       057−    000  Ví d ụ 27. Dùng các phép bi ến đổ i s ơ c ấp để đưa ma tr ận sau đây về ma tr ận đơn v ị:   1 1− 1      B =1 − 2 2 .   2− 1 2   Gi ải. Ta có: 111−   110    c→ c + c   3 3 2   B =122 − →  120 −     212−   211 −  110   100    ddd→− ddd →+   2 1 2 3 3 2   →d→ d − 2 d 030 →1 010  . 3 3 1 d d d   1→ 1 − 2   1 3   031−  d→ d  001  23 2 1.3.2. Ma tr ận s ơ c ấp Ma tr ận thu được t ừ ma tr ận đơn v ị In b ởi đúng m ột phép bi ến đổ i s ơ c ấp dòng hay cột được g ọi là ma tr ận s ơ c ấp. 14
5. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän Ví d ụ 28. Ch ứng t ỏ rằng các ma tr ận sau đây là s ơ c ấp:       0 0 1  1 0 0  1 0 0              A = 0 1 0  , B =0 − 5 0  và C = 2 1 0  .       1 0 0   0 0 1   0 0 1   Gi ải. Ta có: 100   001     c↔ c   I=010 →1 3  010  = A , 3       001   100  100  100     d→− 5 d   I =010 →2 2  050 −  = B , 3       001  001  100  100    d→ d + 2 d   I =010 →2 2 1  210  = C . 3       001  001  Do các ma tr ận A, B , C thu được t ừ ma tr ận đơn v ị I 3 b ởi đúng m ột phép bi ến đổ i s ơ c ấp dòng hay cột nên là các ma tr ận s ơ c ấp. 1.4. Ma tr ận b ậc thang và b ậc thang rút g ọn 1.4.1. Ma tr ận b ậc thang
   Định ngh ĩa • Trong m ột ma tr ận, m ột dòng có t ất c ả các ph ần t ử đề u b ằng 0 được g ọi là dòng b ằng không hay dòng không. • Trong m ột ma tr ận, phần t ử khác 0 đầ u tiên tính t ừ trái sang ph ải của một dòng được g ọi là ph ần t ử cơ s ở c ủa dòng đó. • Ma tr ận b ậc thang là ma tr ận khác không có cấp m× n (m , n ≥ 2) th ỏa cả hai điều ki ện sau 1) Các dòng b ằng không ở phía d ưới các dòng khác không; 2) Phần t ử c ơ s ở c ủa một dòng b ất k ỳ n ằm bên ph ải ph ần t ử cơ s ở c ủa dòng ở phía trên dòng đó. Ví d ụ 29. • Các ma tr ận sau là bậc thang:     1 0 2  0 1 2 3      I , A = 0 0 3  , B = 0 0 4 5  . n         0 0 0   0 0 0 1   • Các ma tr ận sau không ph ải là b ậc thang:       0 2 7  2 3 5  0 3 5              C = 0 3 4  , D = 0 0 0 , E = 0 0 0  .       0 0 5   0 1 3   5 0 0  
   Định lý Mọi ma tr ận đề u có th ể đưa được về ma tr ận bậc thang b ằng một s ố hữu h ạn các phép bi ến đổ i sơ c ấp. 15
6. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính 1.4.2. Ma tr ận b ậc thang rút g ọn
   Định ngh ĩa Ma tr ận b ậc thang rút g ọn là ma tr ận b ậc thang có ph ần t ử c ơ s ở c ủa m ột dòng b ất k ỳ đề u b ằng 1 và là ph ần t ử khác 0 duy nh ất c ủa c ột ch ứa ph ần t ử đó.     1 3 0 0  0 1 0 3      Ví d ụ 30. Các ma tr ận I , A = 0 0 1 0 , B = 0 0 1 2  là các ma tr ận b ậc thang rút g ọn. n         0 0 0 1   0 0 0 0     1 2 3  Ma tr ận C =   không ph ải là b ậc thang rút g ọn.   0 0 1  1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch 1.5.1. Định ngh ĩa • Ma tr ận vuông A c ấp n được g ọi là kh ả ngh ịch n ếu t ồn t ại ma tr ận vuông cùng c ấp B sao cho AB= BA = I n . • Ma tr ận B là duy nh ất và được g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa ma tr ận A , ký hi ệu là B= A −1 .
   Chú ý i) (A−1 ) − 1 = A ii) N ếu ma tr ận B là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A thì A c ũng là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa B .     2 5   3− 5  Ví d ụ 31. A =   và B =   là hai ma tr ận ngh ịch đả o c ủa nhau vì AB= BA = I .     2 1 3   −1 2     0 0 1    Ví d ụ 32. Cho bi ết ma tr ận A = 0 1 0  th ỏa đẳng th ức: A3− A 2 − AI + = (0 ) . Tìm A−1 .   3ij 3   1 0 0   Gi ải. Ta có: AAAI3 2 AAAI3 2 AA2 AI I − −+=3(0ij ) 3 ⇔−+ += 3 ⇔( − ++3 ) = 3 .   0 0 1    Vậy A−1=− AAI 2 + + = 0 1 0 . 3     1 0 0   Ví d ụ 33. Cho A∈ M n (ℝ ) là ma trận l ũy linh c ấp k . −1k − 1 Ch ứng minh r ằng (IAn − ) = A +++ AI n . Gi ải. Ta có: k−1k − 1 k k − 1 2 (IAAn − )( +++= AIn )( A +++−+ AIAA n )( +++ AA ) k =−IAIn =− n(0 ijn ) = I n . k−1 Suy ra A+ + A + I n là ngh ịch đả o c ủa (In − A ) . −1k − 1 Vậy (IAn − ) = A +++ AI n .
   Chú ý i) N ếu ma tr ận vuông A có ít nh ất 1 dòng (hay 1 c ột) bằng không thì không kh ả ngh ịch. 16
7. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän ii) I−1 = I ; (AB ) −1= BA − 1 − 1 . iii) N ếu ac− bd ≠ 0 thì −1   ab1  cb−  = .      dcac− bd − da      2 5  2 1  Ví d ụ 34. Cho hai ma tr ận A =   và B =  .     1 3  3 2   Th ực hi ện các phép tính: 1) (AB ) −1 ; 2) B−1 A − 1 . Gi ải 1) Ta có: −1 −1 2 5  2 1    19 12  7− 12  7 − 12  −1       1    (AB ) =    =   = =   . 1332    117  19.7− 11.12 −11 19  − 11 19           2) Ta có:       −1 1 3− 5  3 − 5  −1 1 2− 1  2 − 1  A = =   , B = =         2.3− 1.5 −12   − 12  2.2− 3.1 −32   − 32      −1 − 1 2− 13  − 5   7 − 12  ⇒B A =   =   .      −32   − 12   − 1119  1.5.2. Thu ật toán tìm ma tr ận ngh ịch đả o bằng phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng −1 Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) , ta tìm A (n ếu có) nh ư sau • Bước 1. L ập ma tr ận A I b ằng cách ghép I vào bên ph ải của A . ( n ) n • Bước 2. Dùng phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dòng để đưa A I v ề d ạng A′ B (với A′ là ma tr ận b ậc ( n ) ( ) thang rút g ọn). Khi đó: ′ i) nếu A≠ I n thì ta kết lu ận A không kh ả ngh ịch; ′ −1 ii) nếu A= I n thì ta kết lu ận A kh ả ngh ịch và A= B .    1− 5  Ví d ụ 35. Tìm ma tr ận ngh ịch đả o (n ếu có) c ủa A =  .   −2 10  Gi ải. Ta có:     1− 510d→ d + 2 d  1510 −  A I = →2 2 1   . ()2    −21001   0021    1− 5  Do A′ =  ≠ I nên ma tr ận A không kh ả ngh ịch.   2 0 0    1− 5  Ví d ụ 36. Tìm ma tr ận ngh ịch đả o (n ếu có) c ủa B =  .   1 5  Gi ải. Ta có: 17
8. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính     1510−d→ d − d  1510 −  B I = →2 2 1   ()2    1501   01011−  1 1  1    d→ d   d→2 d + d 2011 1 1  10  1 1 2   2  2 2  →  →1  .  d→ d  01011− 2 2  0111    10  −   10 10     −1 1  5 5  Vậy B =  .   10 −1 1    1 1− 1      Ví d ụ 37. Tìm ngh ịch đả o (n ếu có) c ủa ma tr ận C = 1 0 1 .   2 1 0   Gi ải. Ta có: 111100−  11 − 1100     d→ d − d   C I =101010 →2 2 1  012110 − −  ()3 d→ d − 2 d   3 3 1   210001  −− 012201  10 10 1 0    d→ d + d   →1 1 2 01 − 21 − 10  . d3→ d 3 − d 2   d→− d   2 2   00 0 − 1 − 11  Vậy ma tr ận C không kh ả ngh ịch. 1− 101      0− 110  Ví d ụ 38. Tìm ngh ịch đả o c ủa ma tr ận D =  . 0 0 11      0 0 01  Gi ải. Ta có: 1− 1011000  10001− 11 − 2          0− 1100100  d→ d − d 01000− 11 − 1  D I   3 3 4   . ()4 =  →d→ d − d    2 3 2   0 0 110010  d→ d + d − d 00100 0 1− 1    1 1 2 4       0 0 010001  00010 0 0 1  1− 11 − 2      0− 11 − 1  Vậy D−1 =  . ■ 0 0 1− 1      0 0 0 1  18
9. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän 2. ĐỊNH TH ỨC 2.1. Ma tr ận con c ấp k
   Định ngh ĩa ℝ Cho ma tr ận A=() aijn ∈ M n () . • Ma tr ận vuông c ấp k được l ập t ừ các ph ần t ử n ằm trên giao c ủa k dòng và k c ột c ủa A được g ọi là ma tr ận con c ấp k c ủa A . • Ma tr ận Mij có c ấp n − 1 thu được t ừ A b ằng cách b ỏ đi dòng th ứ i và c ột th ứ j được g ọi là ma tr ận con c ủa A ứng v ới ph ần t ử aij .   1 2 3    Ví d ụ 39. Xét ma tr ận A = 4 5 6 , ta có các ma tr ận con ứng v ới các ph ần t ử a là:   ij   7 8 9         5 6  4 6  4 5  M =  , M =   , M =  , 11   12   13   8 9  7 9  7 8        2 3  1 3  1 2  M =   , M =  , M =  , 21   22   23   8 9  7 9  7 8        2 3  1 3  1 2  M =   , M =  , M =  . 31   32   33   5 6   4 6  4 5  2.2. Định ngh ĩa đị nh th ức Định th ức (determinant) c ủa ma tr ận A= ( a ij ) n , ký hi ệu là det A hay |A | , là một s ố th ực được định ngh ĩa quy n ạp theo n nh ư sau n A a a • N ếu = 1 thì det =11 = 11 . a a • Nếu n = 2 thì det A=11 12 = aaaa − . a a 11 22 12 21 21 22 • Nếu n ≥ 3 thì detAaA=1111 + aA 1212 ++ aA 1n 1 n 1+j trong đó A1j=( − 1) det( Mj 1 j )( = 1,2, , n ) .
   Chú ý i) detIn = 1 , det(0ij ) n = 0 . ii) Quy t ắc sáu đường chéo ( Quy t ắc Sarius ): ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗=∗ ∗ ∗+∗ ∗ ∗+∗ ∗ ∗ −∗ ∗ ∗−∗ ∗ ∗−∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ (ba ph ần t ử n ằm trên các đoạn n ối thì nhân v ới nhau). 19
10. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính Ví d ụ 40. Tính định th ức c ủa các ma tr ận sau:     1 2− 1  3− 2    1) A =   ; 2) B =3 − 2 1  .     1 4    2 1 1   Gi ải 3− 2 1) detA = = 3.4 −−= 1.(2) 14 . 1 4 −21 31 32− 2) detB =− 1.( 1)11+ +− 2( 1) 12 + +−− ( 1)( 1) 13 + =−−3 2.1 +− ( 1).7 =− 12 . 11 21 21 Cách khác. S ử d ụng quy t ắc sáu đường chéo, ta có: detB =− 1.( 2).1 + 2.1.2 + 3.1.( − 1) −−−−2.( 2)( 1) 3.2.1 − 1.1.1 =− 12 . 003− 1      412− 1  Ví d ụ 41. Tính định th ức c ủa ma tr ận A =  . 3 1 0 2      2 3 3 5  Gi ải. Ta có: 13+ 14 + detAA= 0.11 + 0. A 12 + 3. A 13 +− ( 1). A 14 =−3( 1) detM13 −− ( 1) det M 14 41− 1 412 =331 2 + 310 =− 49 . 23 5 233 2.3. Các tính ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) , ta có các tính ch ất c ơ b ản sau 2.3.1. Tính ch ất 1 det(AT )= det A 12 13 Ví d ụ 42. = = − 2 . 34 24 2.3.2. Tính ch ất 2 Nếu hoán v ị hai dòng (hay hai c ột) cho nhau thì định th ức đổ i d ấu. 1 3 2 −1 1 1 1− 1 1 Ví d ụ 43. 2− 2 1 = −2 − 2 1 = − 2 2 1. −1 1 1 1 3 2 3 1 2
    Hệ qu ả Định th ức có ít nh ất hai dòng (hay hai c ột) gi ống nhau thì b ằng 0. 3 3 1 x x2 x 3 Ví d ụ 44. 221= 0 ; 1y2 y 5 = 0 . 1 1 7 1 y2 y 5 20
11. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän 2.3.3. Tính ch ất 3 Nếu nhân một dòng (hay một c ột) v ới số th ực λ thì định th ức t ăng lên λ l ần. 3.1 0 3.(− 1) 1 0 − 1 x+ 1 xx3 1 xx 3 Ví d ụ 45. 21− 2 = 321 − 2 ; x+1 yy3 = ( x + 1) 1 yy 3 . 31 7 317 x+ 1 zz3 1 zz 3
    Hệ qu ả • Định th ức có ít nh ất 1 dòng (hay 1 c ột) b ằng không thì b ằng 0. • Định th ức có 2 dòng (hay 2 c ột) t ỉ l ệ v ới nhau thì b ằng 0. x 0 1 6− 6 − 9 Ví d ụ 46. x2 0 y = 0 ; 2 2− 3 = 0 . x30 y 2 −8 − 3 12 2.3.4. Tính ch ất 4 N ếu đị nh th ức có m ột dòng (hay một c ột) mà m ỗi ph ần t ử là t ổng c ủa hai s ố h ạng thì ta có th ể tách thành t ổng hai định th ức. xxx+1 − 1 110 − xxx Ví d ụ 47. x y y3= xyy 3 + xyy 3 ; 1zz3 1 zz 3 1 zz 3 cos2x 2 3 sin 2 x 2 3 1 2 3 sin2x 56+ cos 2 x 56 = 156. sin2x 8 9 cos 2 x 8 9 1 8 9 2.3.5. Tính ch ất 5 Định th ức s ẽ không đổ i n ếu ta c ộng vào một dòng (hay m ột c ột) v ới λ l ần dòng (hay c ột) khác. 1 2 3 Ví d ụ 48. Dùng tính ch ất 5, đư a định th ức sau v ề d ạng tam giác trên: =−1 2 − 1 . 2 3 4 1 d d d ddd123 ddd 12 3 3→ 3 + 2 1 2 3 221→+ 331 →− 2 4 Gi ải. Ta có: =042 = 04 2 = 0 4 2 . 234 012− − 3 0 0 − 2 x 2 2 Ví d ụ 49. Sử d ụng các tính ch ất để tính định th ức = 2x 2 . 2 2 x x+4 x + 4 x + 4 1 1 1 d1→ d 1 + d 2 + d 3 Gi ải. Ta có: = 2x 2 =(x + 4) 2 x 2 2 2 x 2 2 x 21
12. Baøi giaûng Ñaïi soá Tuyeán tính 1 1 1 d2→ d 2 − 2 d 1 =+(x 4)0 x − 2 0 =+− ( xx 4)( 2).2 d3→ d 3 − 2 d 1 0 0x − 2
    Chú ý Trong tính ch ất 5, dòng (hay c ột) mà ta mu ốn thay đổ i thì không được nhân v ới bất k ỳ s ố th ực nào khác 1. 2.4. Định lý Laplace v ề khai tri ển đị nh th ức i+ j Cho ma tr ận A= ( a ij ) n . G ọi Aij=( − 1) det( M ij ) là ph ần bù đại s ố c ủa ph ần t ử aij , ta có khai tri ển Laplace nh ư sau
    Khai tri ển theo dòng th ứ i n detAaA= + aA ++ aA = aA ii11 ii 22 inin∑ ijij j=1
    Khai tri ển theo c ột th ứ j n detAaA= + aA ++ aA = aA 11jj 22 jj njnj∑ ijij i=1 1 0 0 2 2 0 1 2 Ví d ụ 50. Tính định th ức = b ằng hai cách: 1 3 2 3 3 0 2 1 1) khai tri ển theo dòng 1; 2) khai tri ển theo c ột 2. Gi ải 1) Khai tri ển theo dòng 1, ta có 012 201 =1.1.3 2 3 +− ( 1).2.1 3 2 = 3 . 021 302 2) Khai tri ển theo c ột 2, ta có 1 0 2 =−( 1).3.2 1 2 = 3 . 3 2 1
    Nh ận xét Khi tính định th ức, ta nên khai tri ển Laplace theo dòng (hay c ột) có ch ứa nhi ều ph ần t ử 0 nh ất. 1 1 1 2 2− 1 1 3 Ví d ụ 51. Áp d ụng tính ch ất và khai tri ển Laplace, hãy tính định th ức = . 1 2− 12 3 3 2 1 22
13. Ñoaøn Vöông Nguyeân Chöông 1. Ñònh thöùc – Ma traän 11 1 2 d→ d − 2 d −3 − 1 − 1 2 2 1 0− 3 − 1 − 1 khai trieån coät 1 Gi ải. Ta có = =1 − 2 0 =− 34 . d d d 3→ 3 − 1 01− 20 d→ d − 3 d 4 4 1 0− 1 − 5 00− 1 − 5
    Các k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ Định th ức c ủa ma tr ận chéo và tam giác được tính theo công th ức: aa⋯ a aaa • det[diag(11 22nn )]= 1122 nn aa11 12 a 1n a 11 0 0 0a a aa 0 • 22 2n = 21 22 = a a a ⋮ ⋮⋱⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 11 22 nn 00 ann aa n1 n 2 a nn 2.5. Định lý Laplace mở r ộng (khai tri ển đị nh th ức theo k dòng hay k c ột) Cho ma tr ận A= ( a ij ) n . Xét k dòng và k c ột nh ư sau: i1< i 2 < < i k và j1< j 2 < < j k • Gọi đị nh th ức c ủa ma tr ận con c ấp k g ồm các ph ần t ử n ằm trên k dòng và k c ột đã xét ở trên là a a⋯ a ij11 ij 12 ij 1 k ⋯ aij a ij a ij δ = 21 22 2 k ⋮ ⋮⋱⋮ a a⋯ a ijk1 ij k 2 ij kk • Định th ức β c ủa ma tr ận con c ấp n− k nh ận được t ừ A b ằng cách b ỏ đi k dòng và k c ột ở trên được g ọi là định th ức con bù c ủa δ . • Đại l ượng ii++++ ijj + ++ j =( − 1) 12k 12 k β được gọi là ph ần bù đại s ố c ủa δ .
    Định lý Định th ức c ủa m ột ma tr ận vuông b ằng t ổng c ủa tích m ọi đị nh th ức rút ra t ừ k dòng (hay k c ột) với ph ần bù t ươ ng ứng c ủa chúng. 1 1 1 2      2− 1 1 3  Ví d ụ 52. Xét ma tr ận A =  . 1 2− 12      3 3 2 1  2 3 • Ch ọn hai dòng 2 và 3, hai c ột 1 và 4, ta có định th ức δ = . 1 2 1 1 • Bỏ đi hai dòng và hai c ột đã ch ọn, ta được đị nh th ức β = . 3 2 23