Giáo trình Biến phức định lý và áp dụng

Nội dung text: Giáo trình Biến phức định lý và áp dụng

1. 12 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 =0. Về sau biểu thức dạng √ a + b −1,b=06 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng "ảo" và sau đó được Gauss gọi là số phức2 và thường được kí hiệu là a + bi, trong đó kí hiệu √ i := −1 được L.Euler3 đưa vào 1777 gọi là đơn vị "ảo". Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn √ ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := −1 là đơn vị "ảo" cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem đó là một kí hiệu trừu tượng thoả mãn định nghĩa i2 = −1. Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch √ lí sau đây: vì i = −1 nên i2 = −1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được √ √ √ i2 = −1 −1=p(−1)(−1) = p(−1)2 = 1=1. Hóa ra −1=1! Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i2 = −1 2Thuật ngữ "số phức" là do nhà toán học Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đầu tiên (1803) 3L. Euler (1707-1783) là nhà toán học Thụy sĩ
2. 1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 13 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước. Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách "Phương pháp toạ độ " của mình, Viện sỹ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tuỳ ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS. Theo một định lí của hình học sơ cấp, độ dài đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các đoạn thẳng AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương đoạn thẳng RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS.Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức. kí hiệu điểm −1làA ; điểm +1 là B và điểm i là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau: Đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là −1vàSB là +1. Như vậy, theo định lí vừa nhắc lại ở trên ta có i2 =(−1)(+1) = −1. Thật đáng tiếc là phép chứng minh kỳ lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II. Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm "nguỵ biện". Chẳng hạn, khi giải hệ phương trình x + y =10 xy =40 √ √ Cardano đã tìm được nghiệm 5+ −5 và 5+ −5 và ông đã gọi nghiệm này là "âm thuần tuý" và thậm chí còn gọi là "nghiệm âm nguỵ biện". Có lẽ tên gọi "ảo" là di sản vĩnh cửu của "một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học".
3. 14 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: "Các đại lượng ảo - đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật". Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn "Đại số" (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số "ảo". Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss4 (năm 1831). Vào thế kỷ XVII - XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A.Moivre5 nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức!) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh hoạ hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh hoạ số phức cũng được gọi là "sơ đồ Argand" để ghi nhận công lao của nhà toán học Thuỵ Sỹ R.Argand - người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập. Lí thuyết thuần tuý số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a; b),a∈ R,b∈ R được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị "ảo" i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0; 1), tức là đơn vị "ảo" được lí giải một cách hiện thực. 4C.Gauss (1777-1855) là nhà toán học Đức 5A.Moivre (1667-1754) là nhà toán học Anh
4. 1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 15 Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R nghiệm i của phương trình x2 +1=0. Với định lí cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực R (và do đó cả trường số hữu tỷ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực. Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi N → Z → Q → R → C với các bao hàm thức: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức. Như vậy, các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ có thể thu được bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức. Chẳng hạn nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã bứt phá ra khỏi phạm vi số phức và thu được các quatenion là trường hợp đơn giản nhất của hệ siêu
5. 16 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn phức nhưng đành phải từ bỏ tính chất giao hoán của phép nhân. Hệ thống các quatenion là hệ không giao hoán và các quatenion thể hiện được trong không gian bốn chiều R4. Dạng tổng quát của quatenion là a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R, trong đó 1; i; j; k được Hamilton chỉ ra là các đơn vị siêu phức và được Hamilton gọi là các quatenion. Ở đây i2 = j2 = k2 = ijk = −1 và chính Hamilton đã lập ra bảng nhân sau đây: xij k i −1 k −j j −k −1 i kj−i −1 Để dễ nhớ bảng nhân này ta lưu ý hình vẽ bổ trợ sau. Ta biểu diễn các quatenion i, j, k bởi ba điểm trên đường tròn theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ. Tích của hai số bất kì trong bộ ba i, j, k bằng số thứ ba nếu phép vòng quanh từ thừa số thứ nhất đến thừa số thứ hai là theo chiều kim đồng hồ và bằng số thứ ba và với dấu trừ nếu phép vòng quanh đó ngược chiều kim đồng hồ. Rõ ràng là phép nhân không có tính chất giao hoán. Đối với toán học ngày nay các số phức và siêu phức là những chỉnh thể hoàn toàn tự nhiên, nó không "ảo" hơn chút nào so với chính các số thực. Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tắc thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà toán học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của
6. 1.2. Các dạng biểu diễn số phức 17 phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số). Tuy nhiên sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được. Ví như khi xây dựng trường số phức người ta đã không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực, hay khi xây dựng tập hợp các số quatenion ta cũng không bảo toàn được luật giao hoán của phép nhân. Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết: "Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người". Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho toà lâu đài toán học tráng lệ mà con người đang sở hữu. 1.2 Các dạng biểu diễn số phức 1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định bởi việc cho hai số thực a và b thông thường (a, b ∈ R) gọi là các thành phần của chúng. Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng quy luật của các phép tính bằng ngôn ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu "nghi vấn" i là Hamilton. Cụ thể, ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự) thông thường. Vì tập hợp số thực là tập hợp con của tập hợp số phức C nên khi xác định các phép tính số học cơ bản trên các số phức ta cần đòi hỏi rằng khi áp dụng cho các số thực các phép toán đó đưa lại kết quả như kết quả thu được trong số học các số thực. Mặt khác, nếu ta mong muốn các số phức có những ứng dụng trong các vấn đề của giải tích thì ta cần đòi hỏi rằng các phép toán cơ bản được đưa vào đó phải thoả mãn các tiên đề thông thường của số học các số thực. Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a; b),a∈ R,b ∈ R, được gọi
7. 18 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây: a = c i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b)=(c; d) ⇔  b = d. Chú ý rằng đối với hai số phức bằng nhau (a; b) và (c; d) ta có thể viết (a; b) ≡ (c; d) (nếu muốn nhấn mạnh đây là quan hệ đồng nhất giữa hai cặp số thực sắp thứ tự) hoặc (a; b)=(c; d) (nếu muốn nói rằng đây là quan hệ bằng nhau giữa hai số phức). ii) Phép cộng trong tập số phức: (a; b)+(c; d):=(a + c; b + d) và cặp (a + c; b + d) được gọi là tổng của các cặp (a; b) và (c; d). iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b)(c; d):=(ac − bd; ad + bc) và cặp (ac − bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d). iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa là (a; 0) := a hay là (a;0)≡ a. Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngôn ngữ số thực và các phép toán trên chúng. Trong định nghĩa này ba tiên đề đầu thực chất là định nghĩa khái niệm bằng nhau, khái niệm tổng và khái niệm tích của các số phức. Do đó việc đối chiếu các tiên đề đó với nhau sẽ không dẫn đến bất cứ mâu thuẫn nào. Điều duy nhất có thể gây ra đôi chút lo ngại là tiên đề iv). Vấn đề là ở chỗ vốn dĩ các khái niệm bằng nhau, tổng và tích các số thực có ý nghĩa hoàn toàn xác định và do đó nếu các khái niệm này không tương thích với những khái niệm được đề cập đến trong các tiên đề i) - iii) khi xét các số thực với tư cách là các cặp dạng đặc biệt thì buộc phải loại trừ tiên đề iv). Do đó ta cần đối chiếu tiên đề iv) với các tiên đề i), ii) và iii).
8. 1.2. Các dạng biểu diễn số phức 19 1) i) - iv). Giả sử hai số thực a và b bằng nhau như những cặp dạng đặc biệt đồng nhất với chúng: (a;0)=(b;0). Khi đó theo tiên đề i), ta có (a;0)=(b;0)⇔ a = b, tức là chúng bằng nhau theo nghĩa thông thường. 2) ii) - iv). Theo tiên đề ii), tổng hai số thực a và c được xét như những cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp (a + c;0+0)= (a + c;0). Nhưng theo tiên đề iv) thì (a + c;0)≡ a + c. Như vậy (a;0)+(c;0)=(a + c;0+0)=(a + c;0)≡ a + c, tức là đồng nhất bằng tổng a + c theo nghĩa thông thường. 3) iii) - iv). Theo tiên đề iii), tích các số thực a và b được xét như những cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp (ac − 0 · 0; a · 0+0· c)=(ac;0) và theo tiên đề iv) ta có (ac;0)≡ ac. Như vậy (a; 0)(c;0)=(ac;0)≡ ac, tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường. Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii) và iii). Ta cũng lưu ý các công thức sau đây được suy trực tiếp từ iii) và iv): λ(a; b)=(λa; λb),λ∈ R. Thật vậy, từ iv) và iii) ta có: λ(a; b)=(λ; 0)(a; b)=(λa − 0 · b; λb +0· a)=(λa; λb). Nếu λ = m ∈ N thì theo ii) ta có (a; b)+(a; b)=(2a;2b);
9. 20 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn (2a;2b)+(a; b)=(3a;3b), tức là (ma; mb) là kết quả phép cộng liên tiếp m số hạng bằng (a; b). Điều đó phù hợp với biểu tượng thông thường là phép nhân với số tự nhiên tương ứng với phép cộng m số hạng bằng nhau. Dễ dàng thấy rằng các tiên đề ii) và iii) là tương thích với nhau và các quy luật thông thường của các phép tính thực hiện trên các số vẫn được bảo toàn khi chuyển sang số phức (đương nhiên phải cắt bỏ các quy luật có quan hệ tới tính chất sắp được tuyến tính). Từ định nghĩa suy ra trong tập hợp C phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp và giao hoán ; phép nhân liên hệ với phép cộng theo luật phân bố ; phép cộng có phép tính ngược là phép trừ và do đó tồn tại phần tử 0 là cặp (0 ; 0) vì (a; b) + (0; 0) = (a; b), ∀a, b ∈ R. Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức C là cặp (1; 0) vì theo tiên đề iii) (a; b)(1; 0) = (a; b). Hai số phức z =(a; b) và z¯ =(a; −b) được gọi là liên hợp với nhau. Ta có zz¯ =(a; b)(a; −b)=a2 + b2 ≥ 0. Từ tính chất này suy ra rằng với mọi (a; b) =6 (0; 0) tồn tại cặp nghịch đảo (a; b)−1, cụ thể là cặp 1 a b (a; −b)= , − . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Như vậy ta đã chứng minh rằng tập hợp các số phức C lập thành một trường. Trường đó có tính chất : (a) R ⊂ C. (b) Phương trình x2 +1=0có nghiệm trong C. Đó là cặp (0 ; 1) và (0 ; -1). Dưới dạng cặp các phép toán trên C được thực hiện theo các quy tắc
10. 1.2. Các dạng biểu diễn số phức 21 (i). (a1; b1)+(a2; b2)=(a1 +a2; b1 +b2);(a1; b1)−(a2; b2)=(a1 −a2; b1 −b2) ; (ii). (a1; b1)(a2; b2)=(a1a2 − b1b2; a1b2 + a2b1); (a ; b ) a a + b b a b − aq b 1 1  1 2 1 2 1 2 2 1  6 (iii). = 2 2 ; 2 2 , trong đó (a2; b2) = (0; 0). (a2; b2) a2 + b2 a2 + b2 1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số Như vậy, ta đã định nghĩa và diễn đạt mọi quy tắc tính thực hiện trên các số phức bằng ngôn ngữ các thành phần tức là bằng ngôn ngữ các số thực. Điều này rất quan trọng vì với cách đó người ta không bị ám ảnh bởi "cái ảo"của kí hiệu i mang lại (mặc dù nó rất thực vì i là cặp (0 ; 1).) Bây giờ ta trở về với cách viết thông thường (hay dưới dạng Descartes) đối với số phức. Rõ ràng là mọi số phức (a; b) ∈ C đều biểu diễn được dưới dạng (a; b)=(a; 0) + (0; b)=(a;0)+(b; 0)(0; 1) = a + bi, trong đó cặp (0; 1) được kí hiệu bởi chữ i. Từ tiên đề iii), suy rằng i2 = (0; 1)(0; 1) = (0 · 0 − 1 · 1; 0 · 1+1· 0)=(−1; 0) = −1. Như vậy ta đã trở về với cách viết thông thường đối với số phức (a; b) dưới dạng a + bi nhưng giờ đây đơn vị ảo i có ý nghĩa hoàn toàn hiện thực vì nó là một trong các cặp số thực mà các phép tính trên chúng được định nghĩa bởi các tiên đề i), ii), iii) và iv), đó chính là cặp (0; 1). Thậm chí, có thể xem nhân tử i bên cạnh số thực b như một dấu hiệu chỉ rõ số thực b là thành phần thứ hai của số phức (a; b). Thành phần thứ nhất của số phức z = a + bi được gọi là phần thực của số đó và được kí hiệu Re z, thành phần thứ hai được gọi là phần ảo và được kí hiệu là Im z. Cần nhấn mạnh rằng phần ảo cũng như phần thực của số phức là những số thực.
11. 22 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn Biểu thức (a; b)=a + bi được gọi là dạng đại số hay dạng Descartes của số phức. Hệ thức (a; b)=a + bi chứng tỏ rằng giữa các cặp số thực có thứ tự (a; b) và các biểu thức dạng a + bi tồn tại phép tương ứng đơn trị một - một và phép tương ứng đó được mô tả bởi hệ thức vừa nêu. Nhờ phép tương ứng đó, thay vì xét các cặp ta có thể xét các biểu thức a + bi biểu diễn chúng. Các phép toán (i)-(iii) đối với các số phức viết dưới dạng đại số z1 := a1 + b1i ; z2 := a2 + b2i được định nghĩa như sau (i*) z1 + z2 =(a1 + b1i)+(a2 + b2i)=(a1 + a2)+(b1 + b2)i, z1 − z2 =(a1 + b1i) − (a2 + b2i)=(a1 − a2)+(b1 − b2)i, (ii*) z1z2 =(a1 + b1i)(a2 + b2i)=(a1a2 − b1b2)+(a1b2 + a2b1)i, z a + b i a a + b b a b − a b 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 6 (iii*) = = 2 2 + 2 2 i, trong đó a2 + b2 =0. z2 a2 + b2i a1 + b2 a1 + b2 Nếu z = a + bi thì số phức liên hợp z¯ = a − bi. Do đó z +¯z =2 Re z, z − z¯ =2 Im z, √ √ z · z¯ =|z|2, trong đó |z| = r = z · z¯ = a2 + b2. √ √ Số |z| = r = z · z¯ = a2 + b2 được gọi là môđun của số phức z. Đối với số phức z1,z2 ∈ C, ta luôn có ||z1|−|z2|| ≤ |z1 + z2|≤|z1| + |z2|. 1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức Ta biết rằng giữa tập hợp mọi cặp số thực có thứ tự và tập hợp mọi điểm của mặt phẳng Euclide với các tọa độ Descartes vuông góc R2 có thể xác lập phép tương ứng đơn trị một-một. Để có điều đó mỗi cặp số thực có thứ tự (a; b) cần được đặt tương ứng với điểm M(a; b) có hoành độ x = a và tung độ y = b.
12. 1.2. Các dạng biểu diễn số phức 23 Vì mỗi số phức được định nghĩa như là một cặp số thực có thứ tự nên mỗi số phức (a; b)=a + bi có thể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức (a; b)=a + bi. Đó là phép tương ứng đơn trị một-một. Nhờ phép tương ứng (a; b) 7→ a + bi ta xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0; 0) và điểm mút tại M(a; b). Định nghĩa 1.2. Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn trị một-một (a; b) 7→ a + bi được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và cũng được kí hiệu là C và z = a + bi là một điểm của mặt phẳng đó. Một cách ngắn gọn, mặt phẳng R2 mà các điểm của nó được đồng nhất với các phần tử của trường C được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành của mặt phẳng tọa độ được gọi là trục thực (do các điểm của nó tương ứng với các số (a;0)≡ a ∈ R) còn trục tung được gọi là trục ảo (do các điểm của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b)=bi). Số phức z = a + bi cũng có thể biểu diễn được bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ. Như vậy, vectơ z = a + bi bằng bán kính vectơ của điểm z. Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép cộng và trừ các số phức được thực hiện theo các quy tắc cộng và trừ các vectơ. Tuy nhiên phép nhân và phép chia cần thực hiện theo quy tắc (ii*) và (iii*) do trong đại số vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy. Thông thường, các thuật ngữ "số phức" ; "vectơ " ; "điểm" được xem là đồng nghĩa.
13. 24 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận Trong mục 1.1 và mục 1.2 , ta đã xây dựng trường số phức nhờ các cặp số thực có thứ tự z =(a; b),a,b∈ R. Ưu điểm lớn nhất của phương pháp này là nó "hóa giải" được cái phần thần bí do kí hiệu "nghi vấn" i mang lại. Bên cạnh cách xây dựng đó, còn tồn tại nhiều cách xây dựng khác nữa. Sau đây ta sẽ trình bày cách xây dựng dựa trên phép cộng và nhân ma trận trên trường số thực. Ta xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số thực ( ) M  ab ∈ := −ba a, b R mà trên đó các phép toán cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông thường của đại số ma trận. Có thể chứng minh rằng tập hợp M lập thành một trường. Tiếp đó, mỗi số phức z = a + bi ta đặt tương ứng với ma trận  ab −ba (1.1) Đó là ánh xạ tương ứng đơn trị một-một. Qua ánh xạ này toàn bộ trường số phức được ánh xạ lên tập hợp M các ma trận dạng (1.1). Ta có  ab  cd  a + cb+ d −ba + −dc = −(b + d) a + c (1.2) ac − bd ad + bc  ab ×  cd   −ba −dc = −(ad + bc) ac − bd (1.3) Từ (1.2) và (1.3) suy ra rằng ánh xạ đã xây dựng là đẳng cấu giữa C và M vì ma trận ở vế phải của (1.2) là tương ứng với các số phức (a + c)+(b + d)i =(a + bi)+(c + di) và ma trận ở vế phải của (1.3) là tương ứng với các số phức (ac − bd)+(ad + bc)i =(a + bi)(c + di).