Bài tập Toán cao cấp - Trường Đại học Tài chính - Marketing

Nội dung text: Bài tập Toán cao cấp - Trường Đại học Tài chính - Marketing

1. Bài 8: Tìm x sao cho: 1 x x23 x 1 2 4 8 = 0. 1 3 9 27 1 4 16 64 Đáp số : x 2  x 3  x 4. Bài 9: Tính định thức cấp n sau: 1 2 3 n a 1 1 1 1 0 3 n 1 a 1 1 1. 1 2 0 n 2. 1 1 a 1 1 2 3 0 1 1 1 a 1 2 2 2 a+2b a+2b a+2b 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n a+2b a+2b a+2b 3. 2 2 3 2 4. 2 1 2 2 2 n a+2b a+2b a+2b 2 2 2 n n 1 n 2 n n n1 Đáp số : 1) n!; 2) a n 1 a 1 ; 3) ; 4) 0 . 10
2. Bài 10: Các phần tử của ma trận vuông cấp 3 chỉ nhận giá trị 0 và 1. Tìm giá trị lớn nhất của định thức đó. Đáp số : 2. Bài 11: Tính định thức của ma trận vuông cấp n, biết rằng: 1. aij min(i, j) 2. aij max(i, j) Đáp số: 1) 1; 2) ( 1)n1 n . Bài 12: 21 11 Cho A và B . 12 11 n Tính B 1 AB , n rồi suy ra An . n n n n 3 0 1 3 1 3 1 Đáp số : 1n . B AB ; A nn 0 1 2 3 1 3 1 Bài 13: 54 Cho AM. 2 43 2 1 Chứng minh rằng : A 2A I2 0. Suy ra A. Hướng dẫn : Tính trực tiếp ta có điều phải chứng minh rồi suy ra 11
3. Bài 14: Tìm a để ma trận sau khả nghịch và tính A. 1 1 1 0 A 1 a 1 0 2 1 a 2 1 1 1 1 Đáp số : a3 ; A 1 1 1 . a3 2 2 a 1 Bài 15: Tìm m sao cho các ma trận sau khả nghịch 1 1 1 m 1 2 2 1 1 m 1 1. 2 m 2 m 5 2. 1 m 1 1 m 1 m 1 m 1 1 1 Đáp số : 1) m 1  m 3; 2) m 1  m 3. Bài 16: Tìm x sao cho: 1 x x -1 x + 2 0 0 x2 -1 0 = 0. x 1 x x - 2 0 0 x5 +1 x 100 Đáp số : x 0  x 1  x 1. 12
4. Bài 17: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau (nếu có ): 1 1 1 1 2 3 1. 1 2 1 2. 2 1 2 2 3 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 3 1 4 1 1 1 1 3. 4. 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Đáp số : 31 1 1 4 3 22 1 1 1) A 1 3 2 ; 2) A 2 3 2 ; 1 1 1 53 2 22 1 1 5 1 1 1 1 1 2 3 6 4 4 4 4 1 1 5 1 1 1 1 0 1 2 3 6 1 4 4 4 4 3) A ; 4) A . 11 1 1 1 1 00 22 4 4 4 4 11 1 1 1 1 00 22 4 4 4 4 13
5. Bài 18: Cho các ma trận -3 4 6 1 -1 2 8 3 A = 0 1 1 ; B = ; C 0 1 2 74 2 -3 -4 1. Tìm ma trận X sao cho : XA B. 2. Tìm ma trận Y sao cho BY C . 15 4m 7 4n 7 4 11 Đáp số : 1) X ;2) Y 7 2m 4 2n . 2 2 3 mn Bài 19: Cho A là ma trận vuông cấp n, n 1 hãy tìm hạng của ma trận phụ hợp trong các trường hợp sau: 1. rank(A) n . 2. rank(A) n 2. 3. rank(A) n 1. Đáp số :1. rank(A* ) n ; 2. rank(A* ) 0 ;3. rank(A* ) 1. Bài 20: Cho ma trận A như sau: 2 1 3 4 1 3 1 2 A 3 2 2 2 1 4 4 6 1. Tìm hạng của ma trận A. 14
6. 2. Tìm ma trận phụ hợp của A. Đáp số : 1. rank(A) 2 ;2. A0* (ma trận O cấp n). Bài 21: Tính hạng của các ma trận sau: 1 5 4 3 1 3 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 4 5 1. 2. 5 3 8 1 1 1 1 3 6 9 4 9 10 5 2 12 2 1 2 10 1 5 4 3 1 0 1 3 4 5 2 1 2 1 0 1 0 2 3 4 3. 4. 5 3 8 1 1 3 2 0 5 12 4 9 10 5 2 4 3 5 0 5 Đáp số: 1) 3; 2) 2; 3) 2; 4) 4. Bài 22: Tùy theo m, tìm hạng của các ma trận sau: 3 1 1 4 m 5m m m 4 10 1 1. 2m m 10m 2. 1 7 17 3 m 2m 3m 2 2 4 3 1 2 3 4 1 2 1 1 1 2 3 4 5 m 1 1 1 1 3. 4. 3 4 5 6 1 m 0 1 1 4 5 6 m 1 2 2 1 1 Đáp số : 1) m 0, rank 0; m 0,rank 2; 15
7. 2) m 0, rank 02; m 0,rank 3; 3) m 7, rank 2; m 7,rank 3; 4) m 1, rank 3; m 1,rank 4. Bài 23*: Tính An , biết rằng: cos x sin x 21 1. A 2. A sin x cos x 12 41 31 3. A 1 03 2 4. A 1 3 1 22 Đáp số: n cosnx sin nx 1) A ; sin nx cosnx 1 3nn 1 3 1 2) n ; A nn 2 3 1 3 1 4n 4 n 3 n 3) n ; A n 03 n n n cos sin 2sin n 6 6 6 4) A . n n n sin cos sin 6 6 6 16
8. Bài 24*: 4 a b 3 1 Tìm a, b sao cho . ba 13 44 Đáp số : a 2 cos k ; b 2 sin k . 24 2 24 2 Bài 25*: Cho hai ma trận 2 0 0 2 1 0 A 1 1 0 ; B 0 1 0 0 0 2 0 0 2 Chứng minh rằng det(Ann B ) chia hết cho 2n1 . Hướng dẫn : 100 100 100 110 A 010 100;B 010 000 001 001 001 001 . Bài 26: Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B như sau: 0,1 0,3 170 A;B 0,5 0,2 280 Hãy tìm ma trận tổng cầu X. 17
9. 385,96 Đáp số : X 591,21 Bài 27: Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là: 0,2 0 0,3 A t 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ năm t. 2. Biết x(t) 800,1500,700 ,tìm sản lượng mỗi ngành năm t. Hướng dẫn: 1 1 a) C  I A(t) ; b) X(t)  I A(t) x(t) . Bài 28: Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau: 0,3 0,2 0,3 A 0,1 0,3 0,2 0,3 0,3 0,2 1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này. 2. Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành là 180,150,100 (tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm (t 1) và năm t như nhau. 18
10. Hướng dẫn: 1 1 a) C  I A(t) ; b) X(t 1)  I A(t 1) x(t 1). 19
11. Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A. Yêu cầu đối với sinh viên 1. Nắm được định nghĩa và các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính. Thành thạo giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss. 2. Nắm được định nghĩa hệ Cramer và cách giải hệ Cramer, phương pháp ma trận nghịch đảo, phương pháp Cramer (Định thức). 3. Nội dung định lý Cronecker – Capelli về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 4. Biết vận dụng các kiến thức về hệ phương trình vào giải một số mô hình kinh tế. B. Bài tập Bài 1: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer: x1 x 2 2x 3 6 1. 2x1 3x 2 7x 3 16 5x1 2x 2 x 3 16 7x1 2x 2 3x 3 15 2. 5x1 3x 2 2x 3 15 10x1 11x 2 5x 3 36 20
12. x1 x 2 2x 3 1 3. 2x1 x 2 2x 3 4 4x1 x 2 4x 3 2 3x1 2x 2 x 3 5 4. 2x1 3x 2 x 3 1 2x1 x 2 3x 3 11 2x1 x 2 5x 3 x 4 5 x1 x 2 3x 3 4x 4 1 5. 3x1 6x 2 2x 3 x 4 8 2x1 2x 2 2x 3 3x 4 2 x1 x 2 x 3 x 4 5 x1 2x 2 3x 3 4x 4 3 6. 4x1 x 2 2x 3 3x 4 7 3x1 2x 2 3x 3 4x 4 2 2x1 x 2 3x 3 2x 4 4 3x1 3x 2 3x 3 2x 4 6 7. 3x1 x 2 x 3 2x 4 6 3x1 x 2 3x 3 x 4 6 Đáp số: 1) 3, 1, 1 ; 2) 2, 1,1 ; 3) 1, 2, 2 ; 4) 2, 2, 3 ; 14 11 37 63 5) 2, , 0, ; 6) 5, , , ; 7) 2, 0, 0, 0 . 55 4 2 4 21
13. Bài 2: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss: 2x1 x 2 2x 3 10 1. 3x123 2x 2x 1 5x1 4x 2 3x 3 4 x1 2x 2 x 3 7 2. 2x1 x 2 4x 3 17 3x1 2x 2 2x 3 14 x1 2x 2 x 3 3 3. 2x1 5x 2 4x 3 5 3x123 4x 2x 12 2x1 x 2 3x 3 1 4. 5x1 2x 2 6x 3 5 3x1 x 2 4x 3 7 2x1 x 2 2x 3 8 5. 3x1 2x 2 4x 3 15 5x1 4x 2 x 3 1 x1 2x 2 2x 3 1 6. 3x1 x 2 2x 3 7 5x1 3x 2 4x 3 2 22
14. 2x1 5x 2 3x 3 2x 4 4 7. 3x1 7x 2 2x 3 4x 4 9 5x1 10x 2 5x 3 7x 4 22 x12 x 7 x234 x x 5 8. x1 x 2 x 3 x 4 6 x24 x 10 x1 2x 2 x 3 5 9. 2x1 5x 2 x 3 3 x1 3x 2 2x 3 1 3x1 2x 2 5x 3 x 4 6 2x1 3x 2 x 3 5x 4 2 10. x1 x 2 6x 3 4x 4 3 5x1 5x 2 4x 3 6x 4 7 Đáp số: 1) 1, 2, 3 ; 2) 2, 1, 3 ; 3) 2, 1,1 ; 10 2 3 4) 3, 2, 1 ; 5) 1, 2, 4 ;6) ,, ; 7 7 2 7) 11m 11, 5m 4, m, 1 ; 8) 17, 24, 33, 14 ; 9. Vô nghiệm; 10. Vô nghiệm . 23
15. Bài 3: Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: x1 2x 2 x 3 0 1. 2x1 5x 2 x 3 0 3x1 2x 2 x 3 0 x1 x 2 2x 3 3x 4 0 2. 2x1 3x 2 3x 3 x 4 0 5x1 7x 2 4x 3 x 4 0 2x1 2x 2 x 3 0 3. 3x1 x 2 x 3 0 x1 3x 2 2x 3 0 3x1 2x 2 5x 3 x 4 0 2x1 3x 2 x 3 5x 4 0 4 x1 2x 2 4x 4 0 x1 x 2 4x 3 9x 4 0 x1 3x 2 2x 3 x 4 0 x1 x 2 x 3 x 4 0 5. 4x1 x 2 x 3 x 4 0 4x1 3x 2 4x 3 x 4 0 6x1 5x 2 7x 3 8x 4 0 6x1 11x 2 2x 3 4x 4 0 6. 6x1 2x 2 3x 3 4x 4 0 x1 x 2 x 3 0 24
16. x1 2x 2 x 3 0 x2 3x 3 x 4 0 7. 4x1 x 3 x 4 0 x1 x 2 5x 4 0 3x1 4x 2 5x 3 7x 4 0 2x1 3x 2 3x 3 2x 4 0 8. 4x1 11x 2 13x 3 16x 4 0 7x1 2x 2 x 3 3x 4 0 Đáp số: 1) 0, 0, 0 ; 2) 5a 4b, 7a 7b, a, b ; 3) ; 4) 0, 0, 0, 0 ; 5) 6a, 15a, 20a, 11a ; 6) ;7) ; 8) 3a 13b, 19a 20b, 17a, 17b . Bài 4: Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau: mx1 x 2 x 3 m 1. 2x1 m 1 x 2 m 1 x 3 m 1 x1 x 2 mx 3 1 x1 3x 2 2x 3 4x 4 1 x1 4x 2 4x 3 3x 4 2 2. x1 5x 2 6x 3 mx 4 3 2x1 5x 2 2x 3 9x 4 1 25
17. m 1 x1 x 2 x 3 1 3. x1 m 1 x 2 x 3 1 x1 x 2 m 1 x 3 1 x1 2x 2 4x 3 3x 4 0 3x1 5x 2 6x 3 4x 4 0 4. 4x1 5x 2 2x 3 3x 4 0 x1 x 2 2x 3 mx 4 0 Đáp số: 1) TH1: m 1  m 2: hệ có nghiệm duy nhất; TH2 : m1 : hệ vô số nghiệm; TH3 : m2 : hệ vô nghiệm. 2) Hệ vô số nghiệm với mọi m; 3) TH1: m 0  m 3: hệ có nghiệm duy nhất; TH2 : m0 : hệ vô số nghiệm; TH3 : m3 : hệ vô nghiệm. 4) Hệ vô số nghiệm với mọi m. Bài 5: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. x1 x 2 3x 3 2 1. x1 2x 2 3x 3 6 2x1 4x 2 5x 3 6 x1 x 2 x 3 x 4 1 x1 x 2 x 3 x 4 1 2. x12 x 1 x34 x 1 26
18. x1 x 2 x 3 x 4 1 x1 x 2 x 3 x 4 1 3. x1 x 2 x 3 x 4 1 x1 x 2 x 3 x 4 1 Đáp số: 11 1) 64, 8, 18 ; 2) 0, 1, , ; 3) 0, 0, 1, 0 . 22 Bài 6: Cho hệ phương trình x1 x 2 x 3 1 2x1 3x 2 mx 3 3 x1 mx 2 3x 3 2 Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Đáp số : m 2  m 3. Bài 7: Cho hệ phương trình kx1 x 2 x 3 1 x1 kx 2 x 3 1 x1 x 2 kx 3 1 Định k để hệ phương trình vô nghiệm. Đáp số: k2 . 27
19. Bài 8: Cho phương trình 5x1 3x 2 2x 3 4x 4 3 4x1 2x 2 3x 3 7x 4 1 8x1 6x 2 x 3 5x 4 9 7x1 3x 2 7x 3 17x 4 k Định k để hệ phương trình có vô số nghiệm. Đáp số: k0 . Bài 9: Cho phương trình 3x1 2x 2 5x 3 4x 4 3 2x1 3x 2 6x 3 8x 4 5 x1 6x 2 9x 3 20x 4 11 4x1 x 2 4x 3 mx 4 2 Định m để hệ phương trình vô nghiệm. Đáp số : m0 . Bài 10: Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên là: Q 20P 3P P P 30; Q 11P P 2P 5P 115 S11 1 2 3 4 D 1 2 3 4 Q 2P 18P 2P P 50; Q P 9P P 2P 250 S22 1 2 3 4 D 1 2 3 4 Q P 2P 12P 40; Q P P 7P 3P 150 S33 1 2 3 D 1 2 3 4 Q 2P P 18P 15; Q P 2P 10P 180 S44 2 3 4 D 1 3 4 28
20. Tìm điểm cân bằng thị trường. Đáp số: P1 10, P 2 15, P 3 15, P 4 10 . 29
21. Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ A. Yêu cầu đối với sinh viên 1. Nắm vững khái niệm cơ bản về vectơ, không gian vectơ, không gian con. 2. Nắm vững các khái niệm về hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, cơ sở hạng của hệ vectơ. B. Bài tập Bài 1: Chứng minh các tập sau là không gian vectơ. n 1. x,x, ,x1 2 n /x i ,i 1,nvới hai phép toán sau: - Phép cộng: x,x, ,x12 n y,y, ,y 12 n x 1122 y,x y, ,x nn y - Phép nhân: k x ,x , ,x kx ,kx , ,kx 1 2 n 1 2 n  ab 2. 2  / a,b,c,d ,với hai phép toán cộng  cd hai ma trận và nhân một số thực với một ma trận. Hướng dẫn: Dùng định nghĩa. 30
22. Bài 2: Hỏi các tập dưới đây là không gian con của 3 hay không? 1. Các vectơ có dạng a,0,0 . 2. Các vectơ có dạng a,1,1 . Đáp số : 1) là không gian con; 2) không là không gian con. Bài 3: Cho không gian vectơ V trên trường số thưc , là một vectơ cố định thuộc . Chứng minh rằng tập hợp W r r R là một không gian con của . Hướng dẫn: Dùng định nghĩa về không gian con. Bài 4: Trong không gian , cho các vectơ u12 1, 2,3 ,u 0,1, 3 . Xét xem vectơ u 2, 3,3 có phải là tổ hợp tuyến tính của u12 ,u hay không ? Đáp số: là tổ hợp tuyến tính của Bài 5: Trong không gian , xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 hay không? 1. u 1,0,1 ,u 1,1,0 ,u 0,1,1 ,u 1,2,1 1 2 3 2. u1 2,1,0 ,u 2 3, 1,1 ,u 3 2,0, 2 ,u 1,3,1 . Đáp số: 1) là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 ; 2) là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 . 31
23. Bài 6: Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w. Trong đó: 1. x 7, 2, 15 , u 2, 3, 5 , v 3, 7, 8 , w 1, 6, 1 2. x 1,4, 7,7 ,u 4,1,3, 2 ,v 1,2, 3,2 ,w 16,9,1, 3 Đáp số: 1) x 6u 2v w ; 2) x 3u 5v w . Bài 7: Trong không gian các ma trận thực vuông cấp hai M2 , cho bốn vectơ: 1 3 1 0 1 1 0 1 u ,u1 ,u 2 ,u 3 . 2 2 1 0 0 0 1 1 Hỏi vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 hay không ? Đáp số: là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 . Bài 8: Trong không gian 3 , cho các vectơ: u12 1, 2,3 ,u 0,1, 3 . Tìm m để vectơ u 1,m, 3 là tổ hợp tuyến tính của u12 ,u . Đáp số: m0 . Bài 9: Hãy xác định m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của u, v, w: 1. u 2,3,5,v 3,7,8,w 1, 6,1,x 7, 2,m 32
24. 2. u 3,2,5,v 2,4,7,w 5,6,m,x 1,3,5 Đáp số: 1) m 15 ; 2) m 12. Bài 10: Trong không gian 3 , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1. u1 1,1,0 ,u 2 0,1,1 ,u 3 1,0,1 2. u1 1,1,0 ,u 2 0,1,1 ,u 3 2,3,1 Đáp số : 1) độc lập; 2) phụ thuộc. Bài 11: Trong không gian 4 , các hệ véctơ sau là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? 1. u1 ( 1,2,0,1),u 2 (1,2,3, 1),u 3 (0,4,3,0) 2. u1 (1,2,3,2),u 2 ( 1,2,1, 2),u 3 (1, 3, 2,2) 3. u1 (1,0,0, 1),u 2 (2,1,1,0),u 3 (1,1,2,1) Đáp số: 1) phụ thuộc; 2) phụ thuộc; 3) độc lập. Bài 12: Trong không gian các ma trận thực vuông cấp hai M2 , cho hệ gồm bốn vectơ: 1 0 1 1 1 1 1 1 e1 , e 2 , e 3 , e 4 . 0 0 0 0 1 0 1 1 Chứng minh rằng hệ trên độc lập tuyến tính. Hướng dẫn: Xét hệ thuần nhất tương ứng và chứng minh nó có nghiệm duy nhất. 33
25. Bài 13: Cho V là không gian vectơ trên và x,y,z V . Chứng minh rằng x,y,z độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x y,y z,z x cũng độc lập tuyến tính. Hướng dẫn: Dùng định nghĩa độc lập tuyến tính. Bài 14: 31 Biểu thị ma trận E dưới dạng tổ hợp tuyến tính 11 của các ma trận sau: 1 1 0 0 0 2 A,B,C 1 0 1 1 0 1 Đáp số: E 3A 2B C. Bài 15: Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không 1. v1 1,1,1,v 2 2,2,0,v 3 3,0,0  2. v1 2, 1,3,v 2 4,1,2,v 3 8, 1,8 . Đáp số: 1) sinh ra 3 ; 2) không sinh ra 3 . Bài 16: Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của 3 1. S 12 1,2,3 , 0,2,3  2. S 1 1,2,3 , 2 0,2,3 , 3 0,0,5  3. S 1 1,1,2 , 2 1,2,5 , 3 0,1,3  34
26. 4. S 1 1,0,1 , 2 1,1,0 , 3 1, 1,1 , 4 2,0,5  Đáp số: 1) không là cơ sở; 2) là cơ sở; 3) không là cơ sở; 4) không là cơ sở. Bài 17: Trong không gian 4 , tìm hạng và một cơ sở của các hệ vectơ sau 1. 1 1, 2, 0, 1 , 2 1, 2, 3, 1 , 3 0, 4, 3, 0 . 2. 1 1, 4, 8, 12 ,  2 2, 1, 3, 1 ,  3 2, 8, 16, 24 ,  4 1, 1, 2, 3 Đáp số: // 1) rank 2 ; cơ sở 12 1,2,0,1 , 0,4,3,0 ; 2) rank 3; cơ sở /// 1 1, 4, 8, 12 ,  2 0, 1, 2, 3 ,  3 0, 0, 1, 2 . Bài 18: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của 3 sinh bởi các vectơ sau: 1. 1 (1, 1,2), 2 (2,1,3), 3 ( 1,5,0) 2. 1 (2,4,1), 2 (3,6, 2), 3 ( 1,2, 1/ 2) Đáp số: 1) Số chiều 3; cơ sở /// 1 (1, 1, 2), 2 (0, 1, 2), 3 (0, 0, 1); // 2) Số chiều 2; cơ sở 12 (1, 2, 3), (0, 0, 1). 35
27. Bài 19: Xác định số chiều và tìm một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ sau: 3x1 x 2 x 3 x 4 0 1. 5x1 x 2 x 3 x 4 0 3x1 x 2 2x 3 0 2. x1 3x 2 4x 3 0 x1 2x 2 x 3 0 2x1 4x 2 x 3 x 4 0 x1 5x 2 2x 3 0 3. 2x2 2x 3 x 4 0 x 3x x 0 1 2 4 x1 2x 2 x 3 x 4 0 x1 x 2 x 3 0 3x1 2x 2 x 3 0 4. 2x1 x 2 2x 3 0 4x 3x 0 12 5x1 3x 2 3x 3 0 Đáp số: 1) cơ sở W u12 ( 1, 1,4,0), u (0, 1,0,1) và số chiều dimW 2. 2) cơ sở W ( 1,1,1) và số chiều dimW 1. 3) W (0,0,0) và số chiều dimW 0 . 4) cơ sở W (3, 4,1 và số chiều dimW 1. 36
28. Bài 20: Trong không gian 3 , xét hệ vectơ: S 1 1,1,1 , 2 1,1, 2 , 3 1, 2, 3  1. Chứng minh rằng S là một cơ sở của 3 , 2. Tìm tọa độ của x 6, 9, 14 trong cơ sở S. T Đáp số: 1) A1 ; 2) x 1 2 3 . S  S Bài 21: Trong không gian 4 xét tập hợp : W= x,x,x,x1 2 3 4 :x 1 x 2 x 3 2x 4 0 1. Chứng tỏ rằng W là một không gian con của . 2. Tìm một cơ sở và số chiều cho W. 3. Kiểm tra xem các vectơ sau có nằm trong W không ? u= 1, 1, 0, -1 , v 1, 0, 0, 1 , w 1, 0, 1, 0 . Đáp số: 1) Dùng định nghĩa; 2) Cơ sở của W 1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 2,0,01  , dimW 3; 3) u W; v,w W. Bài 22: Trong không gian cho hệ: S 1 0,1,1,1 , 2 1,0,1,1 , 3 1,1,0,1 , 4 1,1,1,0  4 1. Chứng minh rằng S là một cơ sở của . 2. Tìm tọa độ của vectơ x 1,1,1,1 trong S . T 1111 Đáp số: 1) A3S ; 2) x . S 3333 37
29. Bài 23: Trong không gian 4 cho tập: S u1 1,2, 1, 2 , u 2 2,3,0, 1 ,u 3 1,2,1,4 , u 4 1,3,1,0 . 1. Chứng minh rằng S là một cơ sở của . 2. Tìm tọa độ của vectơ x 7, 14, 1, 2 trong . T 26 2 17 2 Đáp số: 1) AS 14 ; 2) x . S 7 7 7 7 Bài 24: 3 Trong không gian , tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở S1 đến S2 và ma trận đổi cơ sở từ cơ sở đến , trong các trường hợp sau: 1. S1 e 1 1,0,0 ,e 2 0,1,0 ,e 3 0,0,1  S2 f 1 2,1,1 ,f 2 1,2,1 ,f 3 1,1,2  . 2. S1 u 1 1,1,0 ,u 2 0,1,1 ,u 3 1,0,1  S2 v 1 2,1,1 ,v 2 1,2,1 ,v 3 1,1,2 . Đáp số: 2 1 1 1) P S S 1 2 1 , 12 1 1 2 3 / 4 1/ 4 1/ 4 PS S 1/4 3/4 1/4 21 1/ 4 1/ 4 3 / 4 38
30. 1 1 0 2) P S S 0 1 1 , 12 1 0 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 PS S 1/2 1/2 1/2 21 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Bài 25: Trong không gian 3 , cho các hệ vectơ: S1 u 1 1,1,1 ,u 2 1,1,2 ,u 3 1,2,3  S v 2,1, 1 ,v 3,2,5 ,v 1, 1,m 2 1 2 3  3 1. Chứng minh rằng S1 là cơ sở của . 3 2. Tìm m để S2 là một cơ sở của . 3. Với m0 . Tìm ma trận chuyển PSS 12 và PSS 21 . Đáp số: 1) A1S ; 2) m 20 . 4 0 0 1/ 4 0 0 3)PS S 14 3,PS S 1/4 2/5 3/5 1 2 2 1 112 1/41/54/5 Bài 26: Cho hai hệ vectơ trong không gian 4 : S 0,1,0,2 , 1,1,0,1 , 1,2,0,1 , 1,0,2,1 1 1 2 3 4  39
31. S2 =  1 1,0,2, 1 ,  2 0,3,0,2 ,  3 0,1,3,1 ,  4 0, 1,0,1  1. Chứng minh chúng là hai cơ sở của 4 . 2. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S1 sang cơ sở S2 . 3. Tìm tọa độ của 2,0,4,0 đối với cơ sở . 4. Tìm tọa của đối với cơ sở . Đáp số: 1) A 4, A 15. SS12 2 1 1 1/ 2 2 2 1 3 / 2 2) PSS . 12 0 2 1/ 2 3 / 2 1 0 3 / 2 0 T 3)   2 2 / 5 0 6 / 5 . S2 T 4)   3 5 1 2 . S1 Bài 27: 3 Xét trong không gian hai cơ sở S1 u 1 , u 2 , u 3 , S2 v 1 , v 2 , v 3 trong đó: u1 3,0, 3,u 2 3,2,1,u 3 1,6, 1 , v1 6, 6,0,v 2 2, 6,4,v 3 2,3,7 , 1. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang S1 . 40