Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Ước lượng tham số - Nguyễn Văn Tiến

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Ước lượng tham số - Nguyễn Văn Tiến

1. Ước lượng điểm • Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể. • Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên. • Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số . • Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 11
2. Ước lượng điểm • Ước lượng hợp lý cực đại • Ước lượng không chệch • Ước lượng hiệu quả nhất • Ước lượng vững Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12
3. Ước lượng không chệch (ƯLKC) • Thống kê T=f(X1;X2; ;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu: E(T) = • Nếu E(T)  thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số . • Độ chệch của ước lượng: E(T) − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13
4. Ví dụ 1 • Trong chương 6 ta có: • Vậy: EX( ) =  X laø ÖL khoâng cheäch cuûa  ES( *22) =  Fplaø ÖL khoâng cheäch cuûa 2 (n −1) 2 *2 2 2 ES =  SS, laø ÖL khoâng cheäch cuûa ( ) n 2 22 S laø ÖL cheäch  2 ES( ) =  EFp( ) = Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14
5. Ước lượng KC tốt hơn • Cho X, Y là hai ULKC của tham số . • Có nghĩa là: EXEY( ) ==( ) • Nếu: VXVY( ) ( ) • Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15
6. Ví dụ 1. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn). a) CMR: các thống kê sau: XX+ XXX+ + + ZXZZ=;; =12 = 12 n 1 1 2 2 n n đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 16
7. Ước lượng hiệu quả • Thống kê T=f(X1;X2; ;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu: • T là ULKC của  • V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên. • Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17
8. BĐT Cramer-Rao • Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định. • Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có: 1 Var( T ) 2 ln( fX( , )) nE  Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18
9. Ví dụ 2. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê: X+2 X + + nX X + X + + X ZX==2 1 2nn; 1 2 1 nn( +1) n a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19
10. Ví dụ 3 • Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: X là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ. Giải. Dễ thấy X là ước lượng không chệch và:  2 Var X = ( ) n • Hàm ppxs của tổng thể: 2 (x− ) − 1 2 f( x,,) == f( x) e 2  2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20
11. Ví dụ 3 • Ta có: 2 (x −  )  − − ln  2 2 2 ( )  ln( fx( , )) x −  ==  2 • Và: 2 X −  112 EEX= − = 2 4( ) 2    Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21
12. Ví dụ 3 • Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có: 1  2 Var T = = Var X ( ) 2 ( )  ln( fX( , )) n nE  • Vậy thống kê X là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22
13. Các ULHQ • Ta chứng minh được: X laø ÖLHQ cuûa  . SS2,* 2 laø ÖLHQ cuûa  2 . Fplaø ÖLHQ cuûa . Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23
14. Ước lượng vững • Cho thống kê T=f(X1;X2; ;Xn) • Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu: limPT−  =10 ,   n→+ ( n ) • Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng. • Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24
15. Các ước lượng vững • Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được: X laø ÖLV cuûa  . 2 2 SSS22,( ) ,( * ) laø ÖLV cuûa  . Fplaø ÖLV cuûa . Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25
16. Tóm lại X laø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa  . 2 SS22,( * ) laø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa  . Fplaø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa . • Ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán khi cỡ mẫu khá lớn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26
17. Ôn tập • Một thống kê mẫu là một hàm của các biến ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là một biến ngẫu nhiên? • Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc? • Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch? • Phương sai mẫu là ước lượng không chệch, hiệu quả của phương sai của bnn gốc? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27
18. Ước lượng khoảng • Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn. Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số  với độ tin cậy (1 - ) . Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28
19. Ước lượng khoảng • (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng. • (1 - ): độ tin cậy của ước lượng. • |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy. • ε : độ chính xác (sai số). • Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù hợp. • a, b là 2 thống kê mẫu Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 29
20. Bài toán • Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào đó). • Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30). • Tìm (a,b) sao cho: P( a p b) =1 − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30
21. Công thức ước lượng • Khoảng ước lượng 2 phía của p: FFFF(11−−) ( ) F− t11−− p F + t 22nn • Rút gọn: FF(1− ) F− p F +  = t1− 2 n • Các chú ý: Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31
22. ƯLK tỷ lệ Kích thước mẫu Tổng thể Tỷ lệ mẫu Phân phối pp(1− ) F N p; n>30 B(1,p) n (Fp− ) n ZN= ~( 0,1) pp(1− ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32
23. Khoảng tin cậy • Hai phía: FF1− FF−+; ( ) ( )  = t1− 2 n • Chú ý: p(11−− p) F( F ) nn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33
24. Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu • Ta có: FF(1− ) n  = t t1− =  1− FF1− 2 n 2 ( ) 2 2 t1− F(1− F) t1− 2 2 n =+1 n =+1 2 2 4  Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 34
25. Ví dụ 1 • Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa. • Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%? • Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 35
26. Ví dụ 2 • Một ks muốn ước lượng tỷ lệ khách có nhu cầu nghỉ nhiều hơn 1 ngày. Họ muốn có độ tin cậy 96% và sai số không quá 5%. Hỏi cần lấy mẫu thích hợp là bao nhiêu • A. Nếu chưa có thông tin gì về phép ước lượng này. • B. Nếu dựa vào tài liệu trước đây cho biết tỷ lệ này là 25%. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 36
27. Phân phối của trung bình mẫu Tổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu 2 XN~;2  ( ) XN~;  Tùy ý n  2 Không chuẩn XN ; n>30 n Không chuẩn 2  Có thể được với nhưng đối XN ; n n nhỏ. xứng. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 37
28. Chuẩn hóa ppxs Tổng thể TB mẫu Chuẩn hóa Chuẩn,  2 ( Xn−  ) XN~;  ZN= ~( 0;1) đã biết  n  2 n>30,  ( Xn−  ) XN ; ZN= ~( 0;1) đã biết  n  n>30,  2 ( Xn−  ) XN ; Z=−~1 t( n ) chưa biết  n S Chuẩn, n<30 2  ( Xn−  ) chưa biết  XN~;  Z=−~1 t( n ) n S Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 38
29. Ước lượng cho  • Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác định). • Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho Z. • Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho tham số . Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 39
30. Khoảng tin cậy_th 1,2 • Khoảng tin cậy hai phía của μ:  (ab; ) • Kết quả:   = t ( XX−+; ) 1− 2 n • Chú ý:  t1− ; 2 n Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 40
31. Nhớ các khoảng tin cậy_th 3 • Trường hợp 3 ta thay  bằng s. Nguyên nhân: S là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, của . S  = t ( XX−+; ) 1− 2 n • Chú ý: pp Student xấp xỉ với N(0,1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 41
32. Nhớ các khoảng tin cậy_th 4 • Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết . Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong bảng t. S ( XX−+; )  =−tn ( 1) 2 n Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 42
33. Ví dụ 1 • Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm. Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150 ni 5 10 20 30 5 10 20 a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 43
34. Ví dụ 1 b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy 98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa. c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sp của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 44
35. Cách làm bài • Xác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm định • Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay tỷ lệ tổng thể. • Xác định khoảng tin cậy • Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn • Tính độ chính xác  • Thay vào công thức và kết luận. • Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu; tìm độ tin cậy. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 45
36. Ví dụ 2 • Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 46
37. Ví dụ 3. • Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn • Đáp số: (12,1791;17,4208) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 47
38. Ví dụ 4 Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát: Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5 Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1 a. Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%. b. Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy 99% cho mức lương trung bình. Để có sai số 0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 48
39. Ước lượng phương sai • Tổng thể có phân phối chuẩn. • Phương sai tổng thể chưa biết. • Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai với độ tin cậy (1- ). • Biết  hoặc chưa biết . • Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ lệ. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 49
40. Phân phối của hàm PS mẫu Tổng thể PS mẫu Hàm của PS mẫu 2 nS *2 n X −  Z == i Chuẩn, * 2 2  S i=1 đã biết  ( ) Zn~  2 ( ) 2 (nS−1) 2 n XX− Z ==i Chuẩn 2  2  chưa biết  S i=1 Zn~1 2 ( − ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 50
41. Nhớ các khoảng tin cậy_TH1 • Hai phía: nS*2 nS *2 ;  (nn) ( ) 1− 22 • Cách ghi khác: nn 22 ( xxii−−) ( ) ii==11;  (nn) ( ) 1− 22 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 51
42. Nhớ các khoảng tin cậy_TH2 • Hai phía: (n−−11) S22( n) S ;  (nn−−11) ( ) 1− 22 • Cách ghi khác: nn22 ( xii−− x) ( x x) ii==11;  (nn−−11) ( ) 1− 22 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 52
43. Ví dụ 1 • Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau: X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 • Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp: a) Biết kỳ vọng là 20? b) Không biết kỳ vọng? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 53
44. Ví dụ 2 • Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau: 100 2 x=37,9;( xi − x) = 1059 i=1 • Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin cậy 95% • Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương sai của năng suất. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 54
45. Thêm • Tìm giá trị sau: 0,025 (99) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 55
46. Thêm • Nghĩa là ta cần tìm giá trị t sao cho: P( Z = t) 0,025 khi Z ~ 2 ( 99) • Tương đương P( Z = t) 0,025 khi Z ~ N ( 99;198) do Z~ 2 ( 99) N ( 99;198) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 56
47. Bài toán • Tìm t sao cho P( Z = t) 0,025 khi Z ~ N ( 99;198) t − 99 P( Z t) =0,5 − = 0,025 198 t − 99  =0,475 = ( 1,96) 198 t − 99 =1,96 t = 99 + 1,96. 198 = 198 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 57
48. Bài 1 • Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao sản xuất ta có: xs==39,8;2 0,144 • Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình  với độ tin cậy 95%. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 58
49. Bài 2 • Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 1,5. a) Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%? b) Với sai số 0,5 điểm. Hãy xác định độ tin cậy? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 59
50. Bài 3 • Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h. a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%? b) Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin cậy? c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 60
51. Bài 4 • Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A. a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với độ tin cậy 96%? b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%? c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 61
52. Bài 6 • Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 62
53. Bài 7 • Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%? b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 63
54. Bài 8 • Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau: X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 • Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp: a) Biết kỳ vọng là 20? b) Không biết kỳ vọng? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 64
55. Bài 9 • Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở FTU ta có bảng sau: Số 700- 800- 900- 1000- 1100- 1200- 1300- 1400- lượt 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 Số 9 18 30 25 14 11 9 5 ngày • Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những ngày đông. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 65
56. Bài 9 a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU với độ tin cậy 99%. b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên, nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày? c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày với độ tin cậy 95% biết • Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày • Không biết số lượt gửi xe trung bình Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 66
57. Bài 10 • Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy: Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29 Số bao 8 10 10 8 5 a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một bao gạo với độ tin cậy 95%. b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở xuống trong kho với độ tin cậy 90%. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 67