›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến

•Khái niệm vectơ ngẫu nhiên

•Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên.

•Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều ký hiệu là (X,Y) với X là biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y là biến ngẫu nhiên thứ 2.

•Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là liên tục hay rời rạc.

•Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y)

•Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu nhiên.

•Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc

•Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục

•Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất phức tạp nên ta không xét trường hợp này.

•Trong phần này ta chỉ xét biến hai chiều rời rạc (X,Y).

ppt 37 trang hoanghoa 08/11/2022 6160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_4_bien_ngau_nhien_hai_chi.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến

  1. Ppxs thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất của X: X x1 x2 xn P p1● p2● pn● • Bảng phân phối xác suất của Y: Y y1 y2 ym P p●1 p●2 p●m Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 11
  2. Ví dụ 1 • Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất: Y X 1 2 3 1 0,10 0,25 0,10 2 0,15 0,05 0,35 • Tìm luật ppxs của các biến X và Y. • Tính F(2,3) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12
  3. Hai bnn độc lập • Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc lập nếu: PXxYy( =i, = j) = PXxPYy( = i) ( = j ) hay pij= p i•• p j • Dấu hiệu: • Hai hàng bất kỳ tỷ lệ. • Hai cột bất kỳ tỷ lệ. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13
  4. Ví dụ 2 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 • Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2) • Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14
  5. Ppxs có điều kiện • Từ công thức điều kiện ta có: P( X== xij, Y y ) pij P( X= xij Y = y) = =, i = 1, n P( Y= y j ) p• j P( X== xij, Y y ) pij P( Y= yji X = x) = =, j = 1, m P( X= xii) p • Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15
  6. Bảng ppxs điều kiện 1 • PPXS của X với điều kiện Y=yj X x12xx n p1 j p2 j p nj P( X== xij Y y ) p•••jjppj • Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj 1 E( X Y= yj) =( x1 p 1 j + x 2 p 2 j + + x n p nj ) p• j Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 16
  7. Bảng ppxs điều kiện 2 • PPXS của Y với điều kiện X=xi Y y1 y2 ym pi1 p i2 p im PY( ==yji X x ) . ppi••• ip i • Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi 1 E( Y X= xi) =( y1 p i 1 + y 2 p i 2 + + y m p im ) pi• Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17
  8. Ví dụ 3 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 • Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18
  9. Ví dụ 4 • Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y (triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng thời như sau: Y 500 700 900 X (400-600) (600-800) (800-1000) 30 0,10 0,05 0 50 0,15 0,20 0,05 80 0,05 0,05 0,35 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19
  10. Ví dụ 4 • Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu? A. 60,5 B. 48,3333 C. 51,6667 D. 76,25 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20
  11. Các tham số đặc trưng của bnn • Kỳ vọng • Phương sai • Hệ số tương quan • Hiệp phương sai Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21
  12. Kỳ vọng của X • Bảng phân phối xác suất của X: X x1 x2 xn P p1● p2● pn● n E( X) = xi. P( X = x i) = x i p1• = X ii=1 E( X) =  xi pij ij Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22
  13. Kỳ vọng của Y • Bảng phân phối xác suất của Y: Y y1 y2 ym P p●1 p●2 p●m m E( Y) = yj. P( Y = y j) = y j p• j = Y jj=1 E( Y) =  yj pij ji Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23
  14. Kỳ vọng của hàm theo X,Y • Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=g(X,Y) là biến mới. • Ta có: EgXY( ( ,,,)) = gxyPXxYy( i j) ( = i = j ) ij E( g( X,, Y)) =  g( xi y j) p ij ij Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24
  15. Ví dụ • Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 EZEXY( ) =( +) =(0 + 0) .0,1 +( 0 + 1) .0,2 +(0 + 2) .0,3 +( 1 + 0) .0,05 +( 1 + 1) .0,15 +(1 + 2) .0,2 = 1,75 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25
  16. Phương sai của X, Y • Được tính như đối với biến ngẫu nhiên một chiều. • Sử dụng bảng phân phối xác suất lề của X, Y. 2 2 2 VXEXEXEX( ) =( −( )) =( ) − (X ) 2 2 2 VXEYEYEY( ) =( −( )) =( ) − (Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26
  17. Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng. cov( XYEXY , ) =( −XY)( − ) cov( X , Y) =− E( XY ) XY Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27
  18. Tính chất Covariance 1 1) cov( XYYX ,) = cov( , ) 2)cov( XXVX , ) = ( ) 3) cov( XXYXYXY+ ',) = cov( ,) + cov( ', ) 4)cov(kX , Y) = k cov( X , Y ) 5)cov(aX+ c , bY + d) = ab cov( X , Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28
  19. Tính chất Covariance 2 6)Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì cov( XY ,) = 0, ngöôïc laïi khoâng chaéc ñuùng. 7)VXYVX( +) =( ) +VYX( ) + 2cov( ,Y ) 8) V( aX bY) = a2 V( X) + b2 V( Y) 2 ab cov( X, Y ) 2 9) cov( XY, ) VXVY( ). ( ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 29
  20. Hệ số tương quan • Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu và định nghĩa bởi công thức: cov( XY , ) XY, = XY • Hệ số tương quan còn ký hiệu là: ( X,;, Y) r( X Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30
  21. Tính chất i)− 1 XY, 1 vôùi moïi X, Y. ii)Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì XY, = 0. XY, neáu ab>0 iii) aX++ c, bY d = − XY, neáu ab 0 XY, = −1 neáu a<0 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31
  22. Ý nghĩa • Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. • Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng chặt. • Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng yếu. • Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32
  23. Hàm hồi qui của X đối với Y • Kỳ vọng có điều kiện: E( X Y= y) là một hàm theo y, được gọi là hàm hồi quy của X đối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Decartes gọi là đường hồi quy. Chú ý: y y12, y , , ym Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33
  24. Hàm hồi qui của Y đối với X • Kỳ vọng có điều kiện: E( Y X= x) là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Y đối với X. Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy. Chú ý: x x12, x , , xn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 34
  25. Bài tập • 1. Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp có 3 bi đỏ, 2 bi vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bị đỏ và số bi vàng có trong 2 bi lấy ra. • A) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y • B) Tính P(X+Y<2) • C) Tìm phân phối xác suất biên (phân phối lề) của X và Y. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 35
  26. Bài tập • 2. Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời như sau: Y 1 2 3 X 4 0,10 0,15 0,1 5 0,25 0,20 0,2 • Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 36
  27. Bài tập • 3. Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) có ppxs đồng thời như sau: Y -2 5 10 X - 1 0,10 0,05 0 4 0,15 0,20 0,05 8 0,05 0,05 0,35 • A) Tính Cov(A,Y) • B) Tìm tỉ lệ đầu tư vào A, B để thu nhập hàng năm ít rủi ro nhất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 37