Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều - Nguyễn Văn Tiến

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều - Nguyễn Văn Tiến

1. Tính chất i) 0 F( x) 1,  x R ii) Fx( )là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Fx( )là hàm liên tục trên R. iii) F(− ) =lim F( x) = 0 x→− F(+ ) =lim F( x) = 1 x→+ iv) P( a X b) = F( b) − F( a). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 11
2. Hàm ppxs Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12
3. Công thức ppxs Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13
4. Bảng ppxs • Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14
5. Bảng ppxs • Bảng phân phối xác suất của X. X x1 . x2 . xn P p1 . p2 . pn • xi : giá trị có thể có của bnn X • pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi). • Chú ý: n  pi =1 i=1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15
6. Hàm khối xác suất • Probability mass function f( x) == P( X x) • Tính chất: i)0 f( x) • Dạng bảng • Dạng đồ thị ii)1 f( x) = x iii) P( A) =  f( x) xA Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 16
7. Bảng ppxs Ví dụ. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra? b) Xác định hàm ppxs tương ứng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17
8. Hàm ppxs • Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp x1 x 2 x 3 và P( X== xii) p • Khi đó: 0,xx 1 p1, x 1 x x 2 F( x) = p1 + p 2, x 2 x x 3 p1+ + pk−− 1 , x k 1 x x k Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18
9. Biến ngẫu nhiên liên tục • Cho X là bnn liên tục • Ta có: iP) (X= a), =0  a ii) P( a X b) = P( a X b) + P( X = b) = P( a X b) • Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số. • Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19
10. Hàm mật độ xác suất • Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồn tại hàm f(x) sao cho: x F( x) = f( t) dt,  x R − • Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X • Viết tắt là: PDF (prob. density function) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20
11. Hàm mật độ xác suất • Nếu X liên tục thì: fx( ) Fx( ) x Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21
12. Tính chất i)0 f( x)  x R + ii)1 f( x) dx = − b iii) P( a X b) = f( x) dx a iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có: F'( x) = f( x) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22
13. Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất ifxxR)0,( )  f(x) thỏa mãn 2 điều + kiện: iifxdx)1 ( ) = − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23
14. Hàm mật độ xác suất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24
15. Ví dụ • Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất kx2 kx2 ,1 x 2 fxf( x) = 3 (12 x ) 3 0 ,x ( 1,2) • A) Tìm k để f(x) là hàm mật độ xác suất • B) Tính xác suất P(1<X<1,25) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25
16. Ví dụ • Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất x2 f( x) =(12 x ) 3 • A) Xác định hàm F(x) • B) Tính xác suất P(0<X<1) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26
17. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG • Kỳ vọng (Expected Value) E(X) • Phương sai (Variance) V(X), Var(X) • Độ lệch chuẩn (Standard Error) • Trung vị (Median) me • Mốt (Mode) m0 • Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV • Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis) • Giá trị tới hạn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27
18. Tham số đặc trưng Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28
19. Ví dụ • Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của những lần tung là bao nhiêu? • Giả sử ta có các kết quả tung như sau: • Thì giá trị trung bình là bao nhiêu. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
20. Chú ý • Trong quá trình lâu dài thì mỗi mặt có tỷ lệ xuất hiện là 1/6. • Giá trị trung bình ở đây là trung bình số học có trọng số của X (trọng số là tỷ lệ, khả năng xuất hiện) • Giá trị trung bình của X, ghi là E(X), hay viết tắt là  (đọc là muy) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30
21. Kỳ vọng (Expected Value) • Ký hiệu: E(X) • Định nghĩa:  xpii ,vôùi X rôøi raïc i EX( ) = + x. f ( x ) dx ,vôùi X lieân tuïc - • E(X) là trung bình theo xác suất của X • Có cùng đơn vị với X Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31
22. Ví dụ 1 • Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự kiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32
23. Ví dụ 2 • Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở 1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs: X 80 100 120 150 P 0,2 0,4 0,3 0,1 • Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm. • Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá 20/kg ngàn mới hết hàng. • Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33
24. Ví dụ 2 • X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử 20.000 f( x) = (100 x) x3 • Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 34
25. Hàm của bnn • Cho bnn X có ppxs: X -1 0 1 2 P 0,2 0,1 0,3 0,4 • Đặt (X)=X2 Phân phối xác suất của (X) Hướng dẫn • Giá trị của (X) • Xác suất nhận các giá trị đó Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 35
26. Kỳ vọng (tt) • Cho bnn X • Kỳ vọng toán học của hàm (X):  (xpii) ,vôùi X rôøi raïc i EX( ( )) = + (x) f( x) dx ,vôùi X lieân tuïc − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 36
27. Tính chất 1)Tính chaát 1: E(C)=C vôùi C laø haèng soá 2)Tính chaát 2: E(C+X)=C+E(X) 3)Tính chaát 3: E(C.X)=C.E(X) 4)Tính chaát 4: E(X Y)=E(X) E(Y) 5)Tính chaát 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 37
28. Ví dụ 3 • Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ: C P( X= k) =, k =1 , 2 , 3 , k 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 38
29. Ví dụ 4 • Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 36. • Gọi X là số mà quả bóng rơi vào • Y là số tiền phải trả cho người chơi • Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu để có lợi. 50, X = 10, X = 00 Y = 1 ,X is odd 2 ,X is even Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 39
30. Ví dụ 5 • Cho X là biến ngẫu nhiên. Đặt Y=(X-c)2 • Giả sử E(Y) tồn tại. Tìm c sao cho E(Y) nhỏ nhất. Hướng dẫn: Đặt g(c)=E(Y) Đáp số: c=E(X) Ý nghĩa: ???????? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 40
31. Ví dụ • Xét hai bnn sau: X 3 4 5 P 0,3 0,4 0,3 Y 1 2 6 8 P 0,4 0,1 0,3 0,2 • So sánh E(X) và E(Y) • Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X, Y Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 41
32. Phương sai (Variance) • Ký hiệu: V(X); Var(X) • Định nghĩa: 2 22 Var( X) = E X − E( X) = E( X ) −  22 E( X) =  xii p ,neáu X rôøi raïc. i + E( X22) = x f( x) dx ,neáu X lieân tuïc. − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 42
33. Phương sai (Variance) 2 x2 p− E X ,neáu X rôøi raïc.  ii ( ) i Var X = + ( ) 2 x2 f( x) dx− E( X ) ,neáu X lieân tuïc. − • Là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng toán của nó. • Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2 • Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 43
34. Phương sai của hàm bnn 2 VXEX =−  ( ( )) ( ) ( X ) 2 V X= x −  P X = x ( ( )) ( ( ) ( X ) ) ( ) x + 2 V X=− x  f x dx ( ( )) ( ( ) ( X ) ) ( ) − Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 44
35. Tính chất của phương sai 1)Tính chaát 1: V(C)=0 vôùi C laø haèng soá 2)Tính chaát 2: V(C+X)=V(X) 3)Tính chaát 3: V(C.X)=C2 .V(X) 4) neáuV(XY)=V(X)V(Y) X vaø Y ñoäc +laäp nn XV X V= ii ( ) neáu caùc Xi ñoäc laäp toaøn phaàn ii==11 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 45
36. Ví dụ 1 • Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là các bnn độc lập X, Y: X 0 15 30 Y -2 15 35 P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,45 0,35 • Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 46
37. Ví dụ 1 X 0 15 30 Y -2 15 35 P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,45 0,35 • Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng? • Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung bình và phương sai của tiền lãi thu được. • Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu. • Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 47
38. Độ lệch chuẩn • V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X. • V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X  ( X) = Var( X ) • (X) có đơn vị là đơn vị của X Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 48
39. Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa • Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn >0. • Đặt: X −  Z =  • Ta có: EZVZ( ) ==01( ) • Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 49
40. Ví dụ 4 Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau: f( x) = kx2 (4 − x) , x  0,4 • Tìm hằng số k? • Xác định hàm ppxs? • Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 50
41. Hệ số biến thiên • Kí hiệu: CVx.  X CVX = ( E( X ) 0) EX( ) • Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất. • So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 51
42. Median (Trung vị) • Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân phối. P( X me ) 0,5 P( X me ) 0,5 • Hay P( X mee) 0,5 P( X m ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 52
43. Median (Trung vị) • Nếu X liên tục thì: me f( x) dx = 0,5 − S1 = 0,5 me Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 53
44. Median (Trung vị) • Nếu X rời rạc thì: m, m  xi , x i++11 neu F( x i) 0,5 = F( x i ) me = xineu F( x i) 0,5 F( x i+1 ) Fx 0 = Fx( 1 ) Fx( i ) ( i+1 ) 0,5 mxei= me= m x i, x i+1  Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 54
45. ModX Ký hiệu: ModX= m0 Nếu X rời rạc: P( X= m0 ) = max P( x = xi ) i Nếu X liên tục: f( m0 ) = max f( x) xR Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 55
46. Ví dụ 1 Cho bnn X X 1 2 3 4 5 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25 Ta có: X 1 2 3 4 5 F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75 Vậy Med( X) ==4 Mod( X ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 56
47. Ví dụ 4 • Cho bnn X có hàm mật độ xác suất 3 x(2− x) ,0 x 2 fx( ) = 4 0 ,x  0,2 • Tìm MedX và ModX? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 57
48. Hệ số bất đối xứng • Kí hiệu: EX( −)3 3 =;  = EX( ) ( X )3 • Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 58
49. Hệ số bất đối xứng • Đồ thị đối xứng =3 0 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 59
50. Hệ số bất đối xứng • Hàm mật độ lệch về bên trái. 3 0  Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 60
51. Hệ số bất đối xứng • Hàm mật độ lệch về bên phải. 3 0  Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 61
52. Hệ số nhọn • Kí hiệu: EX( −)4 =4 ( X )4 • Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn. • Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì 4=3 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 62
53. Hệ số nhọn • 4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn • 4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 63
54. Hệ số nhọn • Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn (x−)2 − 1 2 f( x) = e 2  2 =3 3 4 3 4 4 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 64
55. Hệ số nhọn • Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn (x−)2 − 1 2 f( x) = e 2  2 =3 3 4 3 4 4 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 65
56. Bài tập 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 con xúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X? Tính E(X), V(X) 2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3 hỏng. Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử (thử xong không trả lại) cho đến khi thu được hai bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm luật phân phối của X? Trung bình cần bao nhiêu lần thử. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 66
57. Bài tập 4. Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật độ f( x) = kx2 (4 − x) , x  0;4 a) Tìm hằng số k b) Tìm Mod(X) c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 67
58. Bài tập • Cho bnn X có hàm mật độ 2 ax+ bx + c, x  0;1 fx( ) = 0 ,x  0;1 và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c? b) Đặt Y=X3. Tính E(Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 68
59. Bài tập 5 • Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau: Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0,3 0,15 0,3 0,25 • Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 69
60. Bài tập 5 Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 P 0,3 0,15 0,3 0,25 • Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được trung bình là bao nhiêu? • Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 70
61. Bài tập 7 Cho bnn X có hàm mật độ: 1 sinxx ,  0,  fx( ) = 2 0 ,x  0,  a) Tìm MedX, ModX. b) Tìm E(X), Var(X) nếu có. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 71