Bài giảng Toán cao cấp C1

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1

1. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số ye2x . §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giải. Ta có y22 e2xx y 2 e 2 (n ) n 2 x n n2 x n 3.1. Các định lý y 2 e d y2 e dx . 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số fx() xác định trong (;)ab và có đạo hàm tại VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f( x ) tan x tại x0 . 4 x0 (;) a b . Nếu fx() đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) 33 f 16HD d f16 dx . tại x0 trong (;)ab thì fx(0 ) 0. 4 4 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số fx() liên tục trong [;]ab và khả vi trong (;)ab. Nếu f()() a f b thì c(;) a b sao cho fc( ) 0.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số Cho hai hàm số fx(), gx() liên tục trong [;]ab, khả vi 3.2.1. Hàm số đơn điệu trong (;)ab và g( x ) 0, x ( a ; b ). a) Định nghĩa Khi đó, c(;) a b sao cho: Cho hàm số fx() liên tục trong trong (;)ab. f()()() b f a f c Khi đó: . g()()() b g a g c • fx() đƣợc gọi là tăng ngặt trong (;)ab nếu f()() x f x 3.1.4. Định lý Lagrange 12 0, x12,(;) x a b và xx12. Cho hàm số fx() liên tục trong [;]ab, khả vi trong (;)ab. xx12 Khi đó, c(;) a b sao cho: • fx() đƣợc gọi là giảm ngặt trong (;)ab nếu f()() b f a f()() x12 f x fc( ). 0, x12,(;) x a b và . ba xx12  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • fx() đƣợc gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (;)ab b) Định lý 1 Cho hàm số fx() khả vi trong trong (;)ab. Khi đó: f()() x f x f()() x f x nếu 120 hay 120, • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) thì fx() tăng ngặt trong (;)ab. xx xx 12 12 • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) thì fx() giảm ngặt trong (;)ab. x12,(;) x a b và xx12. • Nếu f( x ) 0, x ( a ; b ) hay f( x ) 0, x ( a ; b ) thì fx() tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (;)ab. • fx() đƣợc gọi là đơn điệu trong (;)ab nếu tăng ngặt hay giảm ngặt trong . c) Định lý 2 • Nếu fx() tăng ngặt trong (;)ab thì fx( ) 0 trong (;)ab • đơn điệu trong và liên tục trong (;]ab thì và không tồn tại (;)(;)ab sao cho fx( ) 0. đơn điệu trong (;]ab (trƣờng hợp khác tƣơng tự). • Nếu fx() giảm ngặt trong (;)ab thì fx( ) 0 trong (;)ab và không tồn tại (;)(;)ab sao cho fx( ) 0. 10
2. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa a) Định nghĩa • Nếu fx() liên tục trong (;)ab chứa x và f()() x f x , 0 0 Cho hàm số y f() x có MXĐ D và XD. x(;)\{} a b x thì fx() đạt cực tiểu tại x . 0 0 • Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của fx() trên X nếu: • Nếu fx() liên tục trong (;)ab chứa x và f()() x f x , 0 0 x X:() f x M và f( x ) M , x X . x(;)\{} a b x thì fx() đạt cực đại tại x . 00 0 0 Ký hiệu là: Mmax f ( x ). b) Định lý xX Cho fx() có đạo hàm đến cấp 2n trong (;)ab chứa x 0 • Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của fx() trên X nếu: thỏa f( x ) f(2n 1) ( x ) 0 và fx(2n )( ) 0. 000 x00 X:() f x m và f( x ) m , x X . • Nếu fx(2n )( ) 0 thì fx() đạt cực tiểu tại x . Ký hiệu là: mmin f ( x ). 0 0 xX (2n ) • Nếu fx(0 ) 0 thì fx() đạt cực đại tại x0.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý b) Phƣơng pháp tìm max – min • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên XD. . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Nếu Mmax f ( x ) và mmin f ( x ) thì: Cho hàm số y f() x liên tục trên đoạn [;]ab. xX xX Để tìm maxfx ( ) và minfx ( ), ta thực hiện các bƣớc sau: m f(), x M x X . x[;] a b x[;] a b • Bƣớc 1. Giải phƣơng trình fx( ) 0. Giả sử có n nghiệm x1, , xn [ a ; b ] (loại các nghiệm ngoài [;]ab). • Bƣớc 2. Tính f( a ), f ( x1 ), , f ( xn ), f ( b ). • Bƣớc 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tƣơng ứng cần tìm.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chú ý 3 f( x ) x42 x x 3 trên đoạn [0; 2]. • Nếu đề bài chƣa cho đoạn [;]ab thì ta phải tìm MXĐ 2 của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1. Giải. Ta có: hàm số fx() liên tục trên đoạn [0; 2]. 1 • Có thể đổi biến số t t() x và viết y f( x ) g ( t ( x )). f( x ) 4 x3 3 x 1 0 x x 1. Gọi T là miền giá trị của hàm tx() (ta thƣờng gọi là 2 1 điều kiện của t đối với x ) thì: Do x [0; 2] nên ta loại. 2 maxf ( x ) max g ( t ), minf ( x ) min g ( t ). 3 x X t T x X t T Mặt khác: f(0) 3, f (1) , f (2) 11. 2 3 Vậy maxfx ( ) 11 tại x 2, minfx ( ) tại x 1. x [0;2] x [0;2] 2 11
3. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. QUY TẮC L’HOSPITAL eexx2 VD 1. Tìm giới hạn L lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) x 0 x 2 Cho hai hàm số fx(), gx() khả vi trong lân cận của điểm xx22sin x0 và gx( ) 0 trong lân cận của (có thể gx(0 ) 0). VD 2. Tìm giới hạn L lim . 22 Nếu limf ( x ) lim g ( x ) 0 (hoặc ) và x 0 xx.arctan x x x x 1 1 00 A. L 0; B. L ; C. L ; D. L . fx() fx() lim k thì lim k . 2 3 xx0 gx() xx0 gx() Chú ý . Chiều ngƣợc lại trong định lý là không đúng. . Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tính chất 1) kfxdx.()(), k fxdxk 1.1. Định nghĩa • Hàm số Fx() đƣợc gọi là một nguyên hàm của fx() trên 2) f()() x dx f x C khoảng (;)ab nếu F( x ) f ( x ), x ( a ; b ). d 3) f()() x dx f x Ký hiệu f() x dx (đọc là tích phân). dx 4) [fx ( ) gxdx ( )] fxdx ( ) gxdx ( ) . Nhận xét • Nếu Fx() là nguyên hàm của fx() thì F() x C cũng là nguyên hàm của fx().  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số dx1 x MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 11) arctan C xa22aa 1) a. dx ax C , a dx x 1 12) arcsinCa , 0 x 22 a 2) x dx C, 1 ax 1 dx1 x a dx dx 13) ln C 3) ln xC; 4) 2 xC xa222a x a x x dx x 14) ln tan C ax 5) exx dx e C ; 6) ax dx C sinx 2 lna dx x 15) ln tan C 7) cosxdx sin x C ; 8) sinxdx cos x C cosx 2 4 dx dx dx 9) tanxC; 10) cotxC 16) ln x x2 a C cos2 x sin2 x xa2 12
4. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số dx dx VD 1. Tính I . VD 2. Tính I . 4 x 2 xx2 6 12x 12x A. ICln ; B. ICln ; Giải. Biến đổi: 42x 42x 1 1 1 1 1 . 12x 12x 2 C. ICln ; D. ICln . xx6 (x 2)( x 3) 5 x 3 x 2 22x 22x 1 1 1 dx12 x Vậy I dx Giải. ICAln . 5xx 3 2 22 x 2 42x 1 1x 3 lnx 3 ln x 2 C ln C . 5 5x 2  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số dx 1.2. Phƣơng pháp đổi biến VD 4. Tính I . a) Định lý xx(3 3) Nếu f()() x dx F x C với ()t khả vi thì: Đặt t x3233 dt x dx x2 dx f(())() t t dt F (()) t C . Giải. Biến đổi I . xx33( 3) dx VD 3. Tính I . 1tx 3 1 3 xx3 ln2 lnCC ln . 99t x 3 3 dx Giải. Đặt tln x dt x dt t lnx ICarcsin arcsinC . 3 t2 3 3  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số cotx VD 5. Tính I dx . c) Tích phân hàm lƣợng giác 2 sin4 x 3 I R(sin x ,cos x ) dx . Giải. Biến đổi: cosxdx sin3 x cos xdx Cách giải I . • Nếu R( sin x ,cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc sinxx (2 sin4 3) sin44xx (2 sin 3) của sin lẻ) thì ta đặt txcos . Đặt t2sin43 x 3 dt 8sin x cos xdx . • Nếu R(sin x , cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc 1dt 1 1 1 I dt của cosin lẻ) thì ta đặt txsin . 4t ( t 3) 12 t 3 t • Nếu R( sin x , cos x ) R (sin x ,cos x ) (nghĩa là bậc 1tx 3 1 2sin4 lnCC ln . của sin và cosin chẵn) thì ta đặt txtan hoặc hạ bậc. 12t 12 2sin4 x 3 13
5. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 • Nếu R(sin x ,cos x ) thì ta đặt: VDVD 163 . Tính Isin32 2 x cos x dx . asin x b cos x c Giải. Biến đổi I8 cos52 x (1 cos x )(sin x dx ). x21 t t2 ttan sin x , cos x . 2 22 11tt Đặt tcos x dt sin x dx . Vậy I8 t52 ( t 1) dt 44 t8 t 6 Ccos 8 x cos 6 x C . 33  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số x 1.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần VD 81 7: . Tính I dx . a) Công thức 2x uxvxdx()()()()()() uxvx uxvxdx Giải. Biến đổi I x.2 x dx . udv uv vdu. hay ux 2 x Đặt du dx, v dv2 x dx ln 2 VDVD 176 :. Tính I xln x dx . x.2x 1 x.2xx 2 uxln dx x 2 I2 x dx C . Giải. Đặt du, v ln 2 ln 2 ln 2 2 dv xdx x 2 ln 2 Chú ý 11 11 • Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc khi I x2 ln x xdx x22ln x x C . 22 24 lấy từng phần.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3 sin x 3 VD 91 8: . Tính Icos x e dx . VDVD10 19 :. Tính Icos x dx . 2 sin x Giải. Biến đổi I(1 sin x ) e cos x dx . 3 32 Giải. Đặt t x x t dx3 t dt Đặt tsin x I (1 t2 ) et dt . I3 t22 cos t dt 3 t d (sin t ) 2 ut1 du2 tdt Đặt 2 dv et dt vet 3t sin t 6 td (cos t ) 2 I et(1 t22 ) 2 te t dt e t (1 t ) 2 t ( de t ) 3t sin t 6 t cos t 6sin t C 3 2 3 3 3 et(1 t2 ) 2 te t 2 e t dt 3x 6 sin x 6 x cos x C . etx( t 1)2 C e sin (sin x 1) 2 C . 14
6. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Các dạng tích phân từng phần thƣờng gặp §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số fx() xác định trên [;]ab. • Đối với dạng tích phân P() x ex dx , Px() là đa thức, Ta chia đoạn [;]ab thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia thì ta đặt: x0 a x 1 xnn 1 x b. u P( x ), dv ex dx . Lấy điểm k[;]xx k1 k tùy ý (kn1, ). n Lập tổng tích phân: f(k )( x k x k 1 ). • Đối với dạng tích phân P( x )ln x dx , k 1 Px() là đa thức, thì ta đặt: Giới hạn hữu hạn (nếu có) I lim đƣợc gọi max(xx ) 0 k kk1 uln x , dv P ( x ) dx . là tích phân xác định của fx() trên đoạn [;]ab. b Ký hiệu là I f(). x dx a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất b bb 5) f( x ) 0, x [ a ; b ] f ( x ) dx 0 1) k.()(), f x dx k f x dx k a bb aa b b b 6) fx() gx (), x [;] ab fxdx () gxdx () 2) [fx ( ) gxdx ( )] fxdx ( ) gxdx ( ) aa a a a bb a b a 7) a b f()() x dx f x dx 3) fxdx( ) 0; fxdx ( ) fxdx ( ) aa a a b b c b 8) m f(),[;] x M x a b 4) fxdx()()(),[;] fxdx fxdxc ab b a a c m()()() b a f x dx M b a a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 dx 9) Nếu fx() liên tục trên đoạn [;]ab thì VD 1. Tích phân bị chặn (hữu hạn) vì 22 b 0 xxcos c[ ab ; ] : fxdx ( ) fcba ( )( ). 1 hàm số fx() liên tục trên đoạn [0; 1]. a xx22cos b 1 1 VD 2. Giá trị trung bình của hàm số fx() trên [1;e ] Khi đó, đại lƣợng f()() c f x dx đƣợc gọi là x ba e a 11dx giá trị trung bình của fx() trên đoạn [a; b]. là . e111 x e 15
7. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz x 2 3 VD2VD 4:. Cho (x ) t ln tdt , x 0. Tìm ()x . a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo) 1 Cho hàm fx() khả tích trên [;]ab, với mỗi x[;] a b thì Giải. Đặt t u2 dt2 udu, x t1 u 1, t x2 u x . hàm số ()()x f t dt liên tục tại mọi x0 [;] a b 2 a xx và ()()x f x . (x ) t3 ln tdt 2 u 7 ln u 2 du 11 x t2 VD 3. Xét (x ) e dt , x 0. (x ) 2 x72 ln x . 0 2 2 Ta có: f() t et và ()()x f x ex .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét b) Công thức Newton – Leibnitz 1) Có hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣ §1. Nếu fx() liên tục trên [;]ab và Fx() là một nguyên hàm x 2) Hàm số fx() liên tục và lẻ trên [;] thì: tùy ý của thì ()()x f t dt và F( x ) ( x )+ C a f( x ) dx 0. là nguyên hàm của trên . Vậy ta có: 3) Hàm số fx() liên tục và chẵn trên [;] thì: b b f( x ) dx F ( x ) F ( b ) F ( a ). f( x ) dx 2 f ( x ) dx . a a 0  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3 b dx VD 35 .: Tính I . 4) Để tính f() x dx , ta dùng bảng xét dấu của fx() để 2 1 xx25 a tách fx() thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ. e (xx2 1)ln VD4VD 6:. Tính I dx . x Đặc biệt 1 bb 3 f()() x dx f x dx nếu f( x ) 0, x ( a ; b ). 3 aa VD5VD 8.: Tính I x4 x dx . 3 16
8. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng các đƣờng yx2 và yx4. a) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tổng quát 1 2 A. S ; B. S 15 15 4 8 C. S ; D. S . 15 15 S Giải. Hoành độ giao điểm: x24 x x1, x 0 01 b d 2 4 2 4 4 S f()() x f x dx S g()() y g y dy S()(). x x dx x x dx C 21 21 15 a c 10  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 2 Hoành độ giao điểm x24 x x1, x 0 các đƣờng xy và yx2. 11 Giải. Biến đổi: S x2 x 4 dx2 x 2 x 4 dx x y22 x y 10 . 1 y x22 x y 4 2 (x24 x ) dx C . 15 0 Tung độ giao điểm: y2 y2 y 1, y 2 2 2 1 1 27 S( y 2) y2 dy y 2 2 y y 3 . 2 3 6 1 1  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi b) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tham số x 2x các đƣờng ye 1, ye 3 và x 0. Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong có phƣơng trình 1 ln 4 1 1 ln 2 1 A. ln 4 ; B. ; C. ; D. ln 2 x x( t ), y y ( t ) với t [;] thì: 2 2 2 2 Giải. Hoành độ giao điểm: eexx132 S y( t ). x ( t ) dt . e2x e x2 0 e x 2 x ln 2. xy22 ln 2 ln 2 VD 4. Tính diện tích hình elip S :1. 1 22 S( e22x e x 2) dx e x e x 2 x ab 2 0 0 Giải. Phƣơng trình tham số của elip là: 11 x acos t ln 4 ln 4 A. ,t [0; 2 ]. 22 y bsin t 17
9. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 22 3.2. Tính độ dài l của đƣờng cong S bsin ta .( sin tdtab ) sin2 tdt a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát 00 2 1 cos2t Cho cung AB có phƣơng trình y f( x ), x [ a ; b ] thì: ab dt ab. 2 b 0 l1 [ f ( x )]2 dx . AB a x 2 VD 5. Tính độ dài cung parabol y từ gốc tọa độ 2 1 O(0; 0) đến điểm M 1; . 2  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham số 11 l1 ( y )22 dx 1 x dx Cho cung AB có phƣơng trình tham số 00 x x() t ,[;]t thì: 1 y y() t 1 x1 x22 ln x 1 x 2 0 l[ x ( t )]22 [ y ( t )] dt . AB 21 ln 1 2 . 22  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phƣơng trình: 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay xt2 1 a) Vật thể quay quanh Ox ,t 0; 1 . 2 Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi yln t t 1 y f( x ), y 0, xa, xb quay quanh Ox là: b Giải. Ta có: 2 1 V[ f ( x )] dx . l[ x ( t )]22 [ y ( t )] dt a 0 VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 yln x , y 0, x1, x e quay xung quanh Ox. 1 t 1 e dt 1. e 22 Giải. Vln x dx ( x ln x x ) . 0 tt11 1 1 18
10. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số xy22 VD 8. Tính V do (E ) : 1 quay quanh Ox. b) Vật thể quay quanh Oy ab22 Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Giải. Ta có: x g() y , x 0, yc và yd quay quanh Oy là: 2 2 2 x y2 b 2 2 d 1 y a x . 2 a2 b 2 a 2 V[ g ( y )] dy . c a b2 4 Vậy V a2 x 2 dx ab 2. 2 3 VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi a a y2 x x2 , y 0 quay xung quanh Oy.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 Chú ý Giải. Parabol y2 x x đƣợc viết lại: Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y2 x x22 ( x 1) 1 y y f() x , y 0, xa và xb quay xung quanh Oy còn đƣợc tính theo công thức: x1 1 y , x 1 . b x1 1 y , x 1 V2 xf ( x ) dx (*). a 1 22 VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Vậy V1 1 y 1 1 y dy 2 2 0 34 2 28xx 1 1 Giải. V2 x (2 x x ) dx 2 . 883 3 4 3 4 1y dy (1 y ) . 0 0 33 0 0 19