Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4 - Bài 1: Lý thuyết mẫu - Lê Trường Giang

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4 - Bài 1: Lý thuyết mẫu - Lê Trường Giang

1. Bài 1. TỔNG THỂ VÀ MẪU 3. Hàm phân phối thực nghiệm Giả sử XXX12; ; ; n là một mẫu ngẫu nhiên được xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên X với hàm phân phối xác suất FxX . Định nghĩa: Hàm phân phối thực nghiệm ngẫu nhiên tương ứng với mẫu , kí hiệu là Fxn , xác định bởi công thức sau 0 neáux min( X12 , X , , Xn ), k Fxn neáu coù k phaàn töû trong maãu < x, n 1 neáux max( X12 , X , , Xn ).
2. Bài 1. TỔNG THỂ VÀ MẪU 3. Hàm phân phối thực nghiệm Định lí Glivenko: P lim sup FnX x F x 0 1 n x Ý nghĩa: Hàm phân phối thực nghiệm là một xấp xỉ của hàm phân phối lý thuyết. Xấp xỉ đó càng tốt khi cỡ mẫu n càng lớn.
3. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 1. Thống kê 2. Trung bình mẫu ngẫu nhiên 3. Tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên 4. Phương sai mẫu ngẫu nhiên 5. Phương sai mẫu có điều chỉnh
4. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 1. Thống kê Thống kê là một hàm xác định trên các biến ngẫu nhiên của mẫu. Một thống kê của mẫu WXXXnn 12, , , được kí hiệu là GGXXX 1, 2, , n . 1 Chẳng hạn, XXXX là một thống kê trên mâu n 12 n ngẫu nhiên Wnn XXX12 , , , .
5. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 2. Trung bình mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên WXXXnn 12, , , , trung bình mẫu ngẫu nhiên là một thống kê X được xác định 1 XXXX . n 12 n Mẫu cụ thể wnn x12 , x , , x , trung bình thực nghiệm x được cho bởi 1 n 1 n x xi x  nii x . n i 1 n i 1 Một số đặc trưng của trung bình mẫu ngẫu nhiên  2 i. EX  ii. VXar n  2 Xn  iii. Nếu XN, 2 thì XN , và N 0;1 . n 
6. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 2. Trung bình mẫu ngẫu nhiên Ví dụ 1. Chiều cao (cm) của một loại cây công nghiệp là BNN tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình là 75 và độ lệch chuẩn là 10. Người ta đo ngẫu nhiên 25 cây loại trên, tính xác suất để chiều cao trung bình của 25 cây đó nằm trong khoảng từ 71cm đến 79cm ĐS: 0,9554
7. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 2. Trung bình mẫu ngẫu nhiên Định lý giới hạn trung tâm. Cho mẫu ngẫu nhiên WXXXnn 12, , , được thành lập từ biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng  , phương sai  2 . Khi đó  x 2 x t X  1 limP x e2 dt P Z x , Z N 0;1 . n  2 n Xn  Nhận xét. Khi n 30 ta có thể xem thống kê có luật phân  phối chuẩn tắc N 0;1 cho dù biến ngẫu nhiên tổng thể X có bất kì phân phối nào.
8. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 3. Tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên Mẫu WXXXnn 12, , , được lập từ tổng thể X B 1; p , khi đó trung 1 n bình XX  i được gọi là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên, kí hiệu là Fn . n i 1 Ta tính được các đặc trưng sau 1 n pp 1 i, E F E X p. ii. VFar . ni n  n n i 1 Mẫu cụ thể wnn x12 , x , , x , ta có tỉ lệ phần tử có tính chất A trong mẫu là n 1 nA fx  i nni 1 với nA là số phần tử có tính chất A.
9. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 3. Tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên Định lý De Moivre – Laplace, từ mẫu ngẫu nhiên WXXXnn 12, , , 1 n được lập từ tổng thể X B 1; p , tỉ lệ mẫu là FXni  , n i 1  x ta có Fp limP n x . P Z x , Z N 0;1 . n pp 1 n Cụ thể n>30; n.p >5 và n(p-1) > 5 ta có thể sử dụng xấp xỉ trên. Fp n N 0;1 . pp 1 n
10. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 4. Phương sai mẫu ngẫu nhiên Cho mẫu ngẫu nhiên WXXXnn 12, , , được lập từ tổng thể X có kỳ vọng  và phương sai  2 , thống kê S n 2 1 2 SXX  i n i 1 được gọi là phương sai mẫu. 2 Độ lệch chuẩn mẫu được định nghĩa SS . Chú ý. Thống kê S còn được viết dưới dạng sau n 2 1 2222 SXXXX  ii . n i 1
11. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 5. Phương sai mẫu có điều chỉnh Cho mẫu ngẫu nhiên WXXXnn 12, , , được lập từ tổng thể X có kỳ vọng  và phương sai  2 , thống kê S n 2 1 2 SXX  i . n 1i 1 được gọi là phương sai mẫu điều chỉnh. Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh được định nghĩa SS 2 .
12. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 5. Phương sai mẫu có điều chỉnh Chú ý. Ta có thể biểu diễn phương sai mẫu điều chỉnh n 2 1 2 n 2 S XXi . nn 11i 1 Mẫu cụ thể wnn x12 , x , , x kích thước n được cho theo bảng tần số sau xi x1 x2 xk ni n1 n2 nk k  nni i 1 Khi đó, sai sai mẫu điều chỉnh được cho bởi k 1 2 s22 n x n x . n 1  ii i 1
13. Bài 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. Ví dụ 2. Thống kê lượng đường cát trắng bán ra mỗi ngày của của hàng A cho trong bảng sau 25 27,5 22 25 18 16 20 21,5 16 25 18 17,5 21,5 30 18 25 19,5 20 18,5 21 Tính trung bình và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh?
14. Mô tả sự biến thiên của số trung bình: sai số chuẩn (Trích bài giảng của GS. Nguyễn Văn Tuấn – Australia) • Nếu chúng ta chọn mẫu N lần (mỗi lần với n đối tượng), thì chúng ta sẽ có N số trung bình. Độ lệch chuẩn của N số trung bình này chính là sai số chuẩn. Do đó, sai số chuẩn phản ảnh độ dao động hay biến thiên của các số trung bình mẫu (sample averages). • Công thức tính sai số chuẩn (SE – standard error): s SE . n
15. Ý nghĩa của độ lệch chuẩn và sai số chuẩn • Gọi số trung bình của một quần thể là μ (nên nhớ rằng chúng ta không biết giá trị của μ). Gọi số trung bình tính từ mẫu là x và độ lệch chuẩn là s. Theo lý thuyết xác suất của phân phối chuẩn, chúng ta có thể nói rằng: . 95% cá nhân trong quần thể đó có giá trị từ xs1,96 đến xs1,96 . . 95% số trung bình tính từ mẫu có giá trị từ x1,96 SE đến x1,96 SE .
16. • Như vậy, độ lệch chuẩn phản ảnh độ biến thiên của một số cá nhân trong một quần thể. Còn sai số chuẩn phản ảnh độ dao động của các số trung bình chọn từ quần thể.