›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2, Phần 1: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Lê Trường Giang

Định nghĩa. BNN X thuộc loại rời rạc nếu Im(X) là tập hữu hạn
hay vô hạn đếm được.
Ví dụ 2.Thực hiện dãy phép thử Bernoulli, gọi X là BNN chỉ số lần
thực hiện phép thử cho đến khi xuất hiện lần thành công đầu tiên.
Trong ví dụ này Im(X) = {1, 2, 3, …}, dó đó X là BNN rời rạc.
P X k q q k       . 1 , 1,2,...  k1
Định nghĩa. BNN X là liên tục nếu Im(X) là một khoảng
hay đoạn số thực, và là tập vô hạn không đếm được. 
Chú ý
BNN coi như được xác định nếu như ta biết được 2 yếu tố sau:
 Tập các giá trị của BNN,
 Các xác suất mà BNN nhận giá trị thuộc tập đó. 
pdf 36 trang hoanghoa 08/11/2022 5980
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2, Phần 1: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Lê Trường Giang", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_chuong_2_bien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2, Phần 1: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Lê Trường Giang

  1. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Ví dụ 6B. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn. a) Lập bảng phân phối xác suất của X ? b) Tính PX 24 ?
  2. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa. BNN X liên tục, với hai giá trị thực ab , xác suất của sự kiện a X b là P a X b . Giả sử một hàm f không âm, thỏa b P a X b f x dx. a Hàm f như trên được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau i. f x 0,  x . ii. f x dx 1. Ngược lại, f thỏa đồng thời i và ii thì f là hàm mật độ xác suất.
  3. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên BNN X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P X a 0,  a . Suy ra PaXb PaXb PaXb PaXb . y P(a ≤ X ≤ b) b f(x) Xác suất P a X b f x dx a là miền diện tích tô đen a O b x Ví dụ 7. Cho X là BNN có hàm mật độ xác suất như sau ax 2 neáu x [0,1] a. Xaùc ñònh a ? fx 0 neáux [0,1]. b. Tính P 0,25 X 0,5 ?
  4. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Định nghĩa. Cho BNN X , hàm phân phối xác suất của X kí hiệu là F(x) được xác định F x P X x . y X rời rạc: F x  f t . tx P(X ≤ x) f(x) x X liên tục: F x f t dt . x O x
  5. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Tính chất. BNN X có hàm phân phối F và hàm mật độ f 1. x , 0 F X 1. 2.  xx12, nếu xx12 thì F x12 F x . 3. Nếu a,, b a b thì P a X b F b F a . 4. limF x 0, lim F x 1. xx 5. f x F x tại x là điểm liên tục của f.
  6. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất là X x1 x2 x3 . xn p p1 p2 p3 . pn thì hàm phân phối F x  P X xi cụ thể xxi 0 khi xx 1 p x x x 1 khi 12 pp12 khi x23 x x Fx p p p 12 k khi xkk x x 1 p1 p 2 pn 1 khi xnn 1 x x p12 p pn khi xx n
  7. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Với X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất là fx thì hàm x phân phối xác suất F x f t dt . Cụ thể 0 khi xa x khi x  a , b x f x F x t dtkhi a x b 0 khix a , b   a 1 khi xb x x khi x a t dtkhi x a f x F x a 0 khi xa 0 khi xa
  8. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9A. Cho X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau X 0 1 2 p 0.6 0.3 0.1 Tìm hàm phân phối xác suất của X ?
  9. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9B. Cho X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau X -2 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.1 0.5 0.1 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tính xác suất PX 03 ?
  10. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9C. Tuổi thọ của một bộ phận trong một dây chuyền sản xuất là BNN X (tháng) có hàm mật độ xác suất như sau 25 khix 0,40 2 fx 2 x 10 0 khix 0,40 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tìm xác suất để tuổi thọ của thiết bị nhỏ hơn 1 năm?
  11. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9D. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất như sau 2 khix 2 fx x2 0 khix 2 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tìm PX 35 ?
  12. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 10 (BTN). Một người hằng ngày từ nhà đến cơ quan phải qua 4 ngã tư. Xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi ngã tư là 25%. Lập hàm phân phối xác suất số lần gặp đèn đỏ của người đó.
  13. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median của biến ngẫu nhiên
  14. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa. BNN X rời rạc, có bảng phân phối xác suất dạng X x1 x2 xn P p1 p2 pn Kỳ vọng của X kí hiệu là  hoặc EX cho bởi n  E X  xii p i 1 hoặc  E X  xii p khi X có vô hạn đếm được các giá trị. i 1 BNN X liên tục với hàm mật độ f , kỳ vọng là giá trị  E X x f x dx
  15. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên  xii pneáu X rôøi raïc i Nếu YX thì EY x f x dxneáu X lieân tuïc. Tính chất. 1. Với k là hằng số thì E k k. 2. E kX kE X . 3. EXYEXEY . 4. E XY E X E Y nếu X và Y độc lập. 5. Nếu XY thì EXEY . 6. Nếu X 0 thì EX 0.
  16. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng nói lên giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Khi BNN có độ phân tán nhỏ thì kỳ vọng có thể làm đại diện cho giá trị của biến ngẫu nhiên.
  17. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ 1. BNN X chỉ số lượng hàng hóa bán ra trong một ngày, có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Tính kỳ vọng của X ?
  18. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ 2. Tuổi thọ của dân cư tại một quốc gia là BNN X có hàm mật độ xác suất như sau 2 2 kx 100 x khi x 0,100 fx 0 khix 0,100 a) Xác định hằng số k? b) Tuổi thọ trung bình của dân cư quốc gia trên là bao nhiêu? c) Tìm tỉ lệ người có tuổi thọ từ 60 đến 70 tuổi?
  19. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Định nghĩa. BNN X có kỳ vọng là  . Phương sai của biến ngẫu nhiên X là số EX()  2 nếu nó tồn tại. Phương sai của X được kí hiệu là Var(X), D(X) hoặc  2 . Khi X rời rạc có bảng phân phối xác suất n X x1 x2 xn 2 Var X  xii p P p1 p2 pn i 1 2 Đối với biến ngẫu nhiên X liên tục Var X x f x dx . Chú ý. Để tính phương sai của X ta có thể dùng công thức sau Var X E X 22  .
  20. 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Ý nghĩa của phương sai: Giá trị phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình của nó
  21. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Ví dụ 3. Cho bảng phân phối xác suất của X X 1 2 3 4 P 0,4 0,24 0,144 0,216 Tính kỳ vọng, phương sai của X. Ví dụ 4. Cho BNN X liên tục, có hàm mật độ xác suất f 3x2 khix 2,2 fx 16 0 khix 2,2 Hãy tính kỳ vọng, phương sai của X.
  22. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Tính chất. 1. Với k là hằng số thì Vkar 0. 2. Var kX k2 . V ar X . 3. Var X Y Var X V ar Y nếu X và Y độc lập. Ví dụ 5. Cho BNN X có kỳ vọng  , phương sai là  2 X  xác định kỳ vọng và phương sai của X * .  Ví dụ 6. Cho các BNN XXX12, , , n độc lập và có cùng kỳ vọng bằng  và phương sai bằng  2 . Hãy tìm kỳ vọng, phương sai 1 và dạng chuẩn hóa của XXXX 12 n . n
  23. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Dù rằng phương sai biểu thị sự phân tán của các biến ngẫu nhiên, tuy nhiên lại không cùng đơn vị với các biến ngẫu nhiên đó. Chính vì thế mà người ta đưa ra một tham số mới có ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Đại lượng đó gọi là độ lệch chuẩn và được ký hiệu là  X hoặc se X . Biểu thức xác định độ lệch chuẩn se X var X
  24. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median a. Mode Định nghĩa: Mode được kí hiệu là Mod(X). Nếu X là BNN rời rạc thì Mode của X là giá trị mà tại đó xác suất P(X = Mod(X)) là lớn nhất. Nếu X là BNN liên tục thì Mode của X là giá trị mà tại đó hàm mật độ xác suất f(x) đạt cực đại. Một BNN X có thể có một hay nhiều Mode hoặc không có Mode nào.
  25. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median b. Median Định nghĩa. Median (trung vị) được kí hiệu là Med(X). Median là giá trị nằm chính giữa phân phối xác suất của BNN. Nói cách khác đó là giá trị chia phân phối của BNN thành hai phần bằng nhau 1 1 Median của biến ngẫu nhiên X là số m sao cho P X m và P X m . 2 2 1 Với X là BNN rời rạc thì Med X x nếu F xi F x i , x i X  . i 2 1 x 0 1 Với X là BNN liên tục thì Med X x nếu F x f x dx . 0 0 2 Chú ý: Median là không duy nhất, có thể có nhiều Median.
  26. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median Ví dụ 7 . Gọi BNN X bảng phân phối xác suất. X -200000 -50000 30000 100000 P 0,3 0,2 0,4 0,1 Tìm Mod(X) và Med(X).